§3空間點、直線、平面之間的位置關系最新課標(1)借助長方體，在直觀相識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上，抽象出空間點、直線、平面的位置關系的定義，了解以下基本領實和定理．(2)基本領實1：過不在一條直線的三個點，有且只有一個平面．(3)基本領實2：假如一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內．(4)基本領實3：假如兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.3.1空間圖形基本位置關系的相識3．2刻畫空間點、線、面位置關系的公理第1課時空間圖形基本位置關系的相識空間圖形的基本領實1、2、3[教材要點]要點一空間圖形的基本關系位置關系圖形表示符號表示點與線的位置關系點A不在直線a上A?a點B在直線a上B∈a點與面的位置關系點A在平面α內A∈α點B在平面α外B?α直線與直線的位置關系平行a與b異面相交________異面直線與平面的位置關系線在面內________線面相交________線面平行________平面與平面的位置關系面面平行________面面相交________eq\x(狀元隨筆)1.用集合語言描述位置關系時，“∈，?，∩”等符號雖然來源于集合符號，但在讀法上卻用幾何語言，例如，A∈α讀作“點A在平面α內”；a?α讀作“直線a在平面α內”；α∩β＝l讀作“平面α，β相交于直線l”．2．幾何符號的用法原則上與集合符號的用法一樣，但個別地方與集合符號略有差異．例如，不用a∩b＝{A}來表示直線a，b相交于點A，而是簡記為a∩b＝A，這里的A既可以理解為一個點，又可以理解為只含一個元素(點)的集合．要點二三個基本領實及三個推論內容圖形符號基本領實1過________的三點，________一個平面A，B，C三點不共線?存在唯一的平面α使A，B，C∈α基本領實2假如一條直線上的________在一個平面內，那么這條直線在________A∈l，B∈l且A∈α，B∈α?________基本領實3假如兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的________P∈α且P∈β?________要點三重要推論推論1經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面．推論2經過兩條相交直線，有且只有一個平面．推論3經過兩條平行直線，有且只有一個平面．eq\x(狀元隨筆)對三個基本領實的理解1．“不在一條直線上”和“三個點”是基本領實1的重點字眼，假如沒有前者，那么只能說“有一個平面”，但可能不唯一；假如將“三個點”改成“四個點”，那么過四個點不肯定存在一個平面．由此可見，“不在一條直線上的三個點”是確定一個平面的恰到好處的條件．這里的“有且只有”包括存在性和唯一性兩個方面，“有”表示“平面存在”，“只有”表示平面唯一．2．從集合的角度看基本領實2，即假如一條直線(集合)上有兩個點(元素)屬于一個平面(集合)，那么這條直線就是這個平面的真子集．這個結論闡述了兩個觀點：一是整條直線在平面內，二是直線上的全部點在平面內．3．基本領實3反映了平面與平面的一種位置關系——相交，且交線唯一．從集合的角度看，對于不重合的兩個平面，只要它們有公共點，那么公共點肯定有多數個，且這多數個點的集合構成一條直線，就是兩平面的交線．[基礎自測]1．推斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)不平行的兩條直線的位置關系為相交．()(2)兩個平面的交線可以是一條線段．()(3)空間不同的三點可以確定一個平面．()(4)四邊形是平面圖形．()2．“直線a經過平面α外一點P”用符號表示為()A．P∈a，a∥αB．a∩α＝PC．P∈a，P?αD．P∈a，aα3．兩個平面若有三個公共點，則這兩個平面()A．相交B．重合C．相交或重合D．以上都不對4．依據如圖所示，在橫線上填入相應的符號或字母：A________平面ABC，A________平面BCD，BD________平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝________.題型一三種語言的相互轉化——自主完成1．依據下列符號表示的語句，說明點、線、面之間的位置關系，并畫出相應的圖形：①A∈α，B?α；②A∈α，m∩α＝A，A?l，l?α；③P∈l，P?α，Q∈l，Q∈α.2．用符號語言表示下列語句，并畫出圖形：①三個平面α，β，γ相交于一點P，且平面α與平面β相交于PA，平面α與平面γ相交于PB，平面β與平面γ相交于PC；②平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC與平面ADC相交于AC.方法歸納(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先細致視察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關系如何，試著先用文字語言表示，再用符號語言表示．(2)要留意符號語言的意義，如點與直線的位置關系只能用“∈”或“?”表示；直線與平面的位置關系只能用“?”或“?”表示．(3)依據已知符號語言或文字語言畫相應的圖形時，要留意實線和虛線的區分．題型二點、線共面問題——師生共研例1證明：兩兩相交且不共點的三條直線在同一平面內．eq\x(狀元隨筆)先說明兩條相交直線確定一個平面，然后證明另外一條直線也在該平面內．或利用基本領實1的推論，說明三條相交直線分別確定兩個平面α，β，然后證明α，β重合．方法歸納證明點、線共面問題的理論依據是基本領實1和基本領實2，常用方法有：(1)先由部分點、線確定一個面，再證其余的點、線都在這個平面內，即用“納入法”；(2)先由其中一部分點、線確定一個平面α，其余點、線確定另一個平面β，再證平面α與β重合，即用“同一法”；(3)假設不共面，結合題設推出沖突，即用“反證法”．跟蹤訓練1已知A∈l，B∈l，C∈l，D?l(如圖)，求證：直線AD，BD，CD共面．題型三點共線或線共點問題——師生共研例2如圖，△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BC∩α＝R.求證：P，Q，R三點共線．方法歸納(1)證明三點共線，可以證明三點都在兩平面的交線上或第三點在兩點所確定的直線上．(2)證明三線共點的基本方法是先證明待證的三條直線中的兩條相交于一點，再證明第三條直線也過該點．常結合基本領實3，證明該點在不重合的兩個平面內，即該點在兩個平面的交線(第三條直線)上，從而證明三線共點．跟蹤訓練2在四面體ABCD中，E，G分別是BC，AB的中點，點F在CD上，點H在AD上，且DF：FC＝DH：HA＝2：3.求證：EF，GH，BD交于一點．易錯辨析忽視基本領實的重要條件致誤例3已知A，B，C，D，E五點中，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，則A，B，C，D，E五點的位置關系是()A．共面B．不共面C．共線D．不確定解析：分兩類進行探討．(1)若B，C，D三點不共線，則它們確定一個平面α.因為A，B，C，D共面，所以點A在平面α內．因為B，C，D，E共面，所以點E在平面α內．所以點A，E都在平面α內，即A，B，C，D，E五點肯定共面．(2)若B，C，D三點共線于l，若A∈l，E∈l，則A，B，C，D，E五點肯定共面，但平面不唯一；若A，E中有且只有一個在l上，則A，B，C，D，E五點肯定共面；若A，E都不在l上，則A，B，C，D，E五點可能共面，也可能不共面．答案：D易錯警示易錯緣由糾錯心得解本題時易誤認為因為A，B，C，D共面，所以點A在B，C，D所確定的平面內，因為B，C，D，E共面，所以點E也在B，C，D所確定的平面內，所以點A，E都在B，C，D所確定的平面內，即A，B，C，D，E五點肯定共面．以上錯解忽視了基本領實1中“不在一條直線上的三個點”這個重要條件．事實上B，C，D三點有可能共線.對于確定平面問題，在應用基本領實1及三個推論時肯定要留意它們成立的前提條件.§3空間點、直線、平面之間的位置關系3．1空間圖形基本位置關系的相識3．2刻畫空間點、線、面位置關系的公理第1課時空間圖形基本位置關系的相識空間圖形的基本領實1、2、3新知初探·課前預習要點一a∩b＝Oa?αa∩α＝Aa∥αα∥βα∩β＝a要點二不在同一條直線上有且只有兩點此平面內l?α公共直線α∩β＝l且P∈l[基礎自測]1．(1)×(2)×(3)×(4)×2．答案：C3．解析：若三個點在同一條直線上，則兩平面可能相交；若這三個點不在同始終線上，則這兩個平面重合．答案：C4．答案：∈??AC題型探究·課堂解透題型一1．解析：①點A在平面α內，點B不在平面α內；②直線l在平面α內，直線m與平面α相交于點A，且點A不在直線l上；③直線l經過平面α外一點P和平面α內一點Q.圖形分別如圖①②③所示．2．解析：①符號語言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC.圖形表示如圖①所示．②符號語言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.圖形表示如圖②所示．題型二例1解析：已知：如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內．法一∵l1∩l2＝A，∴l1和l2確定一個平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2又l2?α，∴B∈α.同理同證C∈α，又B∈l3，C∈l3，∴l3?α.∴直線l1，l2，l3在同一平面內．法二：∵l1∩l2＝A，∴l1，l2確定一個平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3確定一個平面β.∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.同理可證，B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∵不共線的三個點A，B，C既在平面α內，又在平面β內，∴平面α和平面β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內．跟蹤訓練1解析：因為D?l，所以D和l可確定一平面，設為α.因為A∈l，所以A∈α.又D∈α，所以AD?α.同理BD?α，CD?α，所以AD，BD，CD都在平面α內，即它們共面．題型三例2證明：方法一∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈α.又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.由基本領實3可知點P在平面ABC與平面α的交線上，同理可證Q，R也在平面ABC與平面α的交線上，∴P，Q，R三點共線．方法二∵AP∩AQ＝A，∴直線AP與直線AQ確定平面APQ.又AB∩α＝P，AC∩α＝Q，∴平面APQ∩α＝PQ.∵B∈平面APQ，C∈平面APQ，∴BC?平面APQ.∵R∈BC，∴R∈平面APQ，又R∈α，∴R∈PQ，∴P，Q，R三點共線．跟蹤訓練2解析：如圖，連接GE、HF因為E，G分