2024中考二次函數壓軸題專題分類訓練

題型一：面積問題

【例1】（2024湖南益陽）如圖2,拋物線頂點坐標為點以1,4）,交x軸于點月（3,0）,交

y軸于點B.

（1）求拋物線和直線/山為解析式:

(2)求△08的鉛垂高◎及8,汕；

(3)設點夕是拋物線（在第一象限內）上的一個動點，是否存在一點。，使以“=9幺詡,

若存在，求出產點的坐標；若不存在，請說明理由.

【變式練習】

1.（2024廣東省深圳市）如圖，在直角坐標系中，點力的坐標為（一2,0）,連結物，將線

段力繞原點。順時針旋轉120°,得到線段OB.

（1）求點夕的坐標：

（2）求經過力、0、8三點的拋物線的解析式；

（3）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點。，使△〃優’的周長最小？若存在，求出點C

的坐標；若不存在，請說羽理由.

（4）假如點P是（2）中的拋物線上的動點，且在x軸的下方，那么△必〃是否有最大面積？

若有，求出此時尸點的坐標及△A18的最大面積；若沒有，請說明理由.

2.（2024綿陽）如圖，拋物線y=/次+4與x軸的兩個交點分別為A（一4,0）、B

（2,0）,與y軸交于點2頂點為〃.E八,2）為線段比的中點，重的垂直平分線與x

軸、y軸分別交于區G.

（1）求拋物線的函數解析式，并寫出頂點〃的坐標；

（2）在直線價'上求一點〃，使△⑦〃的周長最小，并求出最小周長;

（3）若點/在x軸上方的拋物線上運動，當片運動到什么位置時，

△目改的面積最大？并求出最大面積.

3.（2024銅仁）如圖，已知：直線y=-工+3交x軸于點A,交y軸于點B,拋物線y=ax24bx+c

經過A、B、C（1,0）三點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點D的坐標為（-1,0）,在直線y=-x+3上有一點P,使AABO與AADP相像，

求出點P的坐標；

（3）在（2）的條件下，在x軸下方的拋物線上，是否存在點E,使"ADE的面積等于

四邊形APCE的面積？假如存在，懇求出點E的坐標；假如不存在，請說明理由.

題型二：構造直角三角形

[例2]（2024山東聊城）如圖，已知拋物線y=^+bx^c（aWO）的對稱軸為x=l,且拋

物線經過力（一1,0）、。（0,—3）兩點，與x軸交于另一點自

（1）求這條拋物線所對應的函數關系式；

（2）在拋物線的對稱軸）=1上求一點M使點必到點A的距離與到點。的距離之和最小，

并求此時點"的坐標；

（3）設點尸為拋物線的對稱軸產1上的一動點，求使N/⑦=90°的點尸的坐標.

【變式練習】

1.（2024廣州）如圖，拋物線尸-至乂？-ax+3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左

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側），與y軸交于點c.

（1）求點A、B的坐標；

（2）設D為己知拋物線的對稱軸上的隨意一點，當4ACD的面積等于AACB的面積時，求點

D的坐標；

（3）若直線1過點E（4,0）,M為直線1上的動點，當以A、B、M為頂點所作的直角三角

形有且只有三個時，求直線1的解析式.

2.（2024成都）在平面直角坐標系xOy中,已知拋物線y=〃（x++c（〃>0）與x粘交于

A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C,其頂點為M,若直線MC的函數表達式為

y二區一3,與x軸的交點為N,且COSNBCO=§4°

（1）求此拋物線的函數表達式；

（2）在此拋物線上是否存在異于點C的點P,使以N、F、C為頂點的三角形是以NC為一條

直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標：若不存在，請說明理由：

（3）過點A作x軸的垂線，交直線MC于點Q.若將拋物線沿其對稱軸上下平移，使拋物線

與線段NQ總有公共點，則勉物線向上最多可平移多少個單位長度？向下最多可平移多少個單

位長度？

3.（2024杭州）在平面直角坐標系內，反比例函數和二次函數y=k（x2+x-1）的圖象交于點

A（Ek）和點B（-1,-k）.

（1）當k=-2時，求反比例函數的解析式；

（2）要使反比例函數和二次函數都是y隨著x的增大而增大，求k應滿意的條件以及x的

取值范圍；

（3）設二次函數的圖象的頂點為Q,當△ABQ是以AB為斜邊的直角三角形時，求k的值

4.如圖(1),拋物線丁=./+工-4與夕軸交于點兒￡(0,b)為y軸上一動點，過點￡的

直線y=x+Z?與拋物線交于點以C.

(1)求點力的坐標；

(2)當后0時(如圖(2)),工A3石與「ACE的面積大小關系如何？當〃>-4時，上述關

系還成立嗎，為什么？

(3)是否存在這樣的兒使得/3OC是以比、為斜邊的直角三角形，若存在，求出力；若不

第26題

題型三：構造等腰三角形

【例3】如圖，已知拋物線），=o?+H+3（。#0）與X軸交于點41,0）和點8（—3,0）,

與y軸交于點C.

（1）求拋物線的解析式：

（2）在x軸上是否存在一點Q使得AACQ為等腰三角形？若存在，請干脆寫出全部符合條

件的點Q的坐標：若不存在，請說明理由；

（3）設拋物線的對稱軸與A■軸交于點M,問在對稱軸上是否存在點P，使△CMP為等腰三

角形？若存在，請干脆寫出全部符合條件的點P的坐標：若不存在，請說明理由.

【變式練習】

1.如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（m,m）,點B的坐標為（n,-n）,拋物線

經過A、0、B三點，連接0A、OB、AB,線段AB交y軸于點C.已知實數m、n（m<n）分別

是方程x2-2x-3=0的兩根.

（1）求拋物線的解析式;

（2）若點P為線段0B上的一個動點（不與點0、B重合），直線PC與拋物線交于D、E兩點

（點D在y軸右側），連接0D、BD.

①當△0PC為等腰三角形時，求點P的坐標；

②求aBOD面積的最大值，并寫出此時點D的坐標.

2.如圖，拋物線)，=依2-5取+4經過448。的三個頂點，已知8C〃x軸，點A在工軸

上，點C在y軸上，且AC=BC.

(1)寫出A,B,C三點的坐標并求拋物線的解析式；

(2)探究：若點尸是拋物線對稱軸上且在x軸下方的動點，是否存在△期/是等腰三角

形.若存在，求出全部符合條件的點P坐標；不存在，請說明理由.

3.(2024黃岡)已知拋物線)，=0?+/>+以4工0)頂點為C(1,1)且過原點0.過拋物線

上一點P(x,y)向直線y=工作垂線，垂足為M,連FM(如圖).

4

(1)求字母a,b,c的值;

3

(2)在直線x=l上有一點尸(1,一)，求以PM為底邊的等腰三角形PFM的P點的坐標，并證

4

明此時△「黨,為正三角形；

(3)對拋物線上隨意一點P,是否總存在--點N(l,t),使P\I=PN恒成立，若存在懇求出

t值，若不存在請說明理由.

題型四：構造相像三角形

【例4】(2024臨沂)如圖，已知拋物線經過A(-2,0),B(-3,3)及原點0,頂點為C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點I)在拋物線上，點E在拋物線的對稱軸上，且A、()、1)、E為頂點的四邊形是平行

四邊形，求點D的坐標；

(3)P是拋物線上的第一象限內的動點，過點P作PM_Lx軸，垂足為是否存在點P,使

得以P、M、A為頂點的三箱形△B0C相像？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理

【變式練習】

1.(2024天水)如圖，已知拋物線經過A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三點.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)在直線AC上方的該拋物線上是否存在一點D,使得4DCA的面枳最大？若存在，求出

點D的坐標及4DCA面積￡勺最大值；若不存在，請說明理由.

(3)P是直線x=l右側的該拋物線上一動點，過P作PM_Lx軸，垂足為M,是否存在P點，

使得以A、F\M為頂點的三角形與△0AC相像？若存在，懇求出符合條件的點P的坐標；若

不存在，請說明理由.

2.如圖，二次函數的圖象經過點1）（0,Z6）,且頂點C的橫坐標為4,該圖象在x軸上截

9

得的線段AB的長為6.

（1）求二次函數的解析式；

（2）在該拋物線的對稱軸上找一點P,使PA+PD最小，求出點P的坐標；

（3）在拋物線上是否存在點Q,使aQAB與aABC相像？假如存在，求出點Q的坐標；假如

不存在，請說明理由.

11b

[例5]（2024蘇州）如圖,已知拋物線y-X」--（b+l：x+-（b是實數且b>2）與x軸的

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正半軸分別交于點A、B（點A位于點B的左側），與y軸的正半軸交于點C.

（1）點B的坐標為，點C的坐標為（用含b的代數式表示）；

（2）請你探究在第一象限內是否存在點P,使得四邊形PC0B的面積等于2b,旦^PBC是以

點P為直角頂點的等腰直角三角形？假如存在，求出點P的坐標；假如不存在，請說明理由；

（3）請你進一步探究在第一象限內是否存在點Q,使得△QCO,AQ0A和△QAB中的隨意兩

個三角形均相像（全等可作相像的特別狀況）？假如存在，求出點Q的坐標：假如不存在，

請說明理由.

【變式練習】

1.(2024上海寶山)如圖，平面直角坐標系宜力中，己知點A(2,3),線段垂直于y軸，

垂足為B,將線段A8繞點八逆時針方向旋轉90。，點E落在點。處，直線8c與x雅的交

于點O.

(1)試求出點。的坐標；y

(2)試求經過4、B、。三點的拋物線的表達式，

并寫出其頂點E的坐標；B-----------------A

(3)在(2)中所求拋物線的對稱軸上找點方，使得

以點A、E、尸為頂點的三角形與△48相像.1.

-----------1—?—1—?--------------1—?—?—?

01x

（圖7）

2.(2024上海楊浦區)已知直線)，=g尤+1與x軸交于點兒與y軸交于點反將△力如繞

點。順時針旋轉90。，使點力落在點C,點8落在點〃，拋物線y=or2+/zr+c?過點人。、

C,其對稱軸與直線力〃交于點兒

(1)求拋物線的表達式：

(2)求/取的正切值；y

(3)點”在A?軸上，且與△/!勿相像，求點M的

坐標。

1

0Ix

3.(2024寧波)如圖，二次函數產Q/+ZM+C的圖象交x軸于A(-1,0),B(2,0),交)，

軸于C(0,-2),過A,。畫直線.

(1)求二次函數的解析式；

(2)點P在x軸正半軸上，且布=尸。，求OP的長；

(3)點M在二次函數圖象上，以W為圓心的圓與直線AC相切，切點為

①若”在)，軸右側，且△△AOC(點C與點人對應)，求點用的坐標；

②若OM的半徑為右打，求點M的坐標.

(備用圖)

題型五：構造梯形

【例6】已知，矩形。用完在平面直角坐標系中位置如圖1所示，點力的坐標為(4,0),點。

2

的坐標為(0,-2),直線y=--x與邊燈?相交于點D.

3

(1)求點〃的坐標；

(2)拋物線y=〃/+尻+。經過點兒仄(),求此拋物線的表達式；

(3)在這個拋物線上是否存在點M使0、〃、力、”為頂點的四邊形是梯形？若存在，懇求

出全部符合條件的點必的坐標：若不存在，請說明理由.

5

【變式練習】

1.已知平面直角坐標系刀勿中，拋物線y=——("I)才與直線曠=履的一個公共點為A(4,

8).

(1)求此拋物線和直線的解析式；

(2)若點夕在線段勿上，過點〃作y軸的平行線交(1)中拋物線于點Q,求線段“長度

的最大值；

(3)記(1)中拋物線的頂點為M點N在此拋物線上，若四邊形月〃也V恰好是梯形，求點力

的坐標及梯形力的邠的面積.

個y

1

2.(2024義烏)已知二次函數的圖象經過1(2,())、C((),12)兩點,且對稱軸為直線/一

4,設頂點為點R與x軸的另一交點為點反

(1)求二次函數的解析式及頂點〃的坐標；

(2)如圖1,在直線y=2x上是否存在點〃，使四邊形。陽〃為等腰梯形？若存在，求出點

〃的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)如圖2,點必是線段W上的一個動點(0、尸兩點除外)，以每秒右個單位長度的速度

由點P向點。運動，過點."作直線外//x軸，交加于點、將△EMV沿直線對折，得

到△凡柳：在動點J/的運動過程中，設△幾周與梯形如物的重疊部分的面積為S,運動時

間為「秒，求S關于1的函數關系式.

3.如圖1,二次函數丁=/+〃工+4(〃<0)的圖象與*軸交于爾〃兩點，與y軸交于點。

(0,-1),△4%、的面積為2.

4

(1)求該二次函數的關系式；

(2)過y軸上的一點J/((),加作y軸的垂線，若該垂線與△4?。的外接圓有公共點，求/〃

的取值范圍；

(3)在該二次函數的圖象上是否存在點〃，使以力、B、a〃為頂點的四邊形為直角梯形？

若存在，求出點〃的坐標；若不存在，請說明理由.

題型六：構造平行四邊形

【例7】（2024陜西）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過A（―1,0）,B（3,0）,C

（0,—1）三點。

（1）求該拋物線的表達式；

（2）點Q在y軸上，點P在拋物線上，要使以點Q、P、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形,

求全部滿意條件的點P的坐標。

【變式練習】

1.（2024成都）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數尸號x+n（m為常數）的圖象

與x軸交于點A（?3,。），與y軸交于點C.以直線x=l為對稱軸的拋物線y=ax2+bx+c（a,

b,c為常數，且axO）經過A,C兩點，并與x軸的正半軸交于點B.

（1）求m的值及拋物線的函數表達式；

（2）設E是y軸右側拋物線上一點，過點E作直線AC的平行線交x軸于點F.是否存在

這樣的點E,使得以A,C,E,F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點E的坐標

及相應的平行四邊形的面積；若不存在，請說明理由；

（3）若P是拋物線對稱軸上使4ACP的周長取得最小值的點，過點P隨意作一條與y軸不

vp.Mp

平行的直線交拋物線于Mi（xi,yi）,M2（X2,y2）兩點，摸索究」——《是否為定值，

M?M2

并寫出探究過程.

2.如圖1,在平面直角坐標系中，已知拋物線經過加一4,0)、6(0,—4)、0(2,0)三點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點〃為第三象限內拋物線上一動點，點.”的橫坐標為勿，△也6的面積為S,求S關

于/〃的函數關系式，并求出S的最大值；

(3)若點〃是拋物線上的動點，點，是直線y=-x上的動點，推斷有幾個位置能使以點P、

0、B、。為頂點的四邊形為平行四邊形，干脆寫出相應的點0的坐標.

3.(2024威海)如圖，拋物線y=ax、bx+c交x軸于點A(-3,0),點B(l,0),交y軸于

點E((),-3).點C是點A關于點B的對稱點，點F是線段BC的中點，直線1過點F且與

y軸平行.直線y=-x+m過點C,交y軸于D點.

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)點K為線段AB上一動點，過點K作x軸的垂線與直線CD交于點H,與拋物線交于點G,

求線段HG長度的最大值；

(3)在直線1上取點在拋物線上取點N,使以點A,C,M,N為頂點的四邊形是平行四

【例8］已知平面直角坐標系xOy（如圖1）,一次函數y=』x+3的圖像與y軸交于點兒

4

點."在正比例函數,，=3%的圖像上，且制9=場.二次函數從“

尸v+〃汗+。的圖像經過點兒機

（1）求線段力"的長；

（2）求這個二次函數的解析式；

（3）假如點8在y軸上，且位于點力下方，點。在上述二次函

數的圖像上，點〃在一次函數y=,x+3的圖像上，且四邊形°1

月皿是菱形，求點C的坐標.

【變式練習】

1.將拋物線。：），=-瓜2+G沿X軸翻折，得到拋物線C2,如圖1所示.

（1）請干脆寫出拋物線C2的表達式；

（2）現將拋物線。向左平移加個單位長度，平移后得到新拋物線的頂點為M與x軸的交

點從左到右依次為從8；將拋物線。2向右也平移0個單位長度，平移后得到新拋物線的頂

點為A；與x軸的交點從左到右依次為〃、E.

①當從〃是線段4T的三等分點時，求力的值；

②在平移過程中，是否存在以點兒凡仄W為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在，

懇求出此時勿的值：若不存在，請說明理由.

題型七：線段最值問題

【例9】（2024薄澤）如圖，拋物線yJx2+bx-2與x軸交于A,B兩點，與y軸交于C點,

2

且A（-1,0）.

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標：

（2）推斷aABC的形態，證明你的結論；

（3）點M（m,0）是x軸上的一個動點，當MC+MD的值最小時，求m的值.

【變式練習】

1.（2024山東省荷澤市〕如圖，已知拋物線y=a/+bx+c與y軸交于點40,3）,與x

軸分別交于6（1,0）、。⑸0）兩點.

（1）求此拋物線的解析式；

（2）若一個動點尸自辦的中點W動身，先到達x軸上的某點（設為點￡）,再到達拋物線

的對稱軸上某點（設為點尸），最終運動到點4求使點，運動的總路徑最短的點E、點尸的

坐標，并求出這個最短總路徑的長.

2.(2024廣東深圳)如圖13,拋物線y=a/+bx+c(aW0)的頂點為(1,4),交x軸干A、

B,交y軸于D,其中B點的坐標為(3,0)

(1)求拋物線的解析式

(2)如圖14,過點A的直線與拋物線交于點E,交y軸于點F,其中E點的橫坐標為2,若

直線PQ為拋物線的對稱軸，點G為PQ上一動點，則x軸上是否存在一點H,使D、G、F、H

四點圍成的四邊形周長最小.若存在，求出這個最小值及G、H的坐標；若不存在，請說明理

由.

(3)如圖15,拋物線上是否存在一點T,過點T作x的垂線，垂足為M,過點M作直線MN

〃BD,交線段AD于點N,連接MD,使△DNVS2XBMD,若存在，求出點T的坐標：若不存在,

說