四川省安岳縣周禮中學2025屆高三六校第一次聯考數學試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，則的大小關系是（）A． B． C． D．2．將函數的圖像向右平移個單位長度，再將圖像上各點的橫坐標伸長到原來的6倍（縱坐標不變），得到函數的圖像，若為奇函數，則的最小值為（）A． B． C． D．3．設函數，則，的大致圖象大致是的()A． B．C． D．4．在中，，，，則在方向上的投影是（）A．4 B．3 C．-4 D．-35．已知復數和復數，則為A． B． C． D．6．若直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＝1相交于P、Q兩點，且∠POQ＝120°(其中O為坐標原點)，則k的值為()A． B． C．或－ D．和－7．已知函數，集合，，則（）A． B．C． D．8．已知集合，，則的真子集個數為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個9．已知圓錐的高為3，底面半徑為，若該圓錐的頂點與底面的圓周都在同一個球面上，則這個球的體積與圓錐的體積的比值為()A． B． C． D．10．已知是函數圖象上的一點，過作圓的兩條切線，切點分別為，則的最小值為（）A． B． C．0 D．11．已知，則（）A． B． C． D．12．關于函數有下述四個結論：（）①是偶函數；②在區間上是單調遞增函數；③在上的最大值為2；④在區間上有4個零點.其中所有正確結論的編號是（）A．①②④ B．①③ C．①④ D．②④二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某種圓柱形的如罐的容積為個立方單位，當它的底面半徑和高的比值為______.時，可使得所用材料最省.14．在面積為的中，，若點是的中點，點滿足，則的最大值是______.15．的展開式中二項式系數最大的項的系數為_________（用數字作答）.16．如圖所示，平面BCC1B1⊥平面ABC，ABC＝120，四邊形BCC1B1為正方形，且AB＝BC＝2，則異面直線BC1與AC所成角的余弦值為_____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為了解廣大學生家長對校園食品安全的認識，某市食品安全檢測部門對該市家長進行了一次校園食品安全網絡知識問卷調查，每一位學生家長僅有一次參加機會，現對有效問卷進行整理，并隨機抽取出了200份答卷，統計這些答卷的得分（滿分：100分）制出的頻率分布直方圖如圖所示，由頻率分布直方圖可以認為，此次問卷調查的得分服從正態分布，其中近似為這200人得分的平均值（同一組數據用該組區間的中點值作為代表）.（1）請利用正態分布的知識求；（2）該市食品安全檢測部門為此次參加問卷調查的學生家長制定如下獎勵方案：①得分不低于的可以獲贈2次隨機話費，得分低于的可以獲贈1次隨機話費：②每次獲贈的隨機話費和對應的概率為：獲贈的隨機話費（單位：元）概率市食品安全檢測部門預計參加此次活動的家長約5000人，請依據以上數據估計此次活動可能贈送出多少話費？附：①；②若；則，，.18．（12分）已知矩陣，，若矩陣，求矩陣的逆矩陣．19．（12分）在國家“大眾創業，萬眾創新”戰略下，某企業決定加大對某種產品的研發投入.為了對新研發的產品進行合理定價，將該產品按事先擬定的價格試銷，得到一組檢測數據如表所示:試銷價格(元)產品銷量(件)已知變量且有線性負相關關系，現有甲、乙、丙三位同學通過計算求得回歸直線方程分別為:甲；乙；丙，其中有且僅有一位同學的計算結果是正確的.（1）試判斷誰的計算結果正確？（2）若由線性回歸方程得到的估計數據與檢測數據的誤差不超過，則稱該檢測數據是“理想數據”，現從檢測數據中隨機抽取個，求“理想數據”的個數的分布列和數學期望.20．（12分）在中，角的對邊分別為.已知，且.（1）求的值；（2）若的面積是，求的周長.21．（12分）已知，，，，證明：（1）；（2）.22．（10分）以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的參數方程是（為參數，常數），曲線的極坐標方程是.（1）寫出的普通方程及的直角坐標方程，并指出是什么曲線；（2）若直線與曲線，均相切且相切于同一點，求直線的極坐標方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

利用函數與函數互為反函數，可得，再利用對數運算性質比較a,c進而可得結論.【詳解】依題意，函數與函數關于直線對稱，則，即，又，所以，.故選：B.【點睛】本題主要考查對數、指數的大小比較，屬于基礎題.2、C【解析】

根據三角函數的變換規則表示出，根據是奇函數，可得的取值，再求其最小值.【詳解】解：由題意知，將函數的圖像向右平移個單位長度，得，再將圖像上各點的橫坐標伸長到原來的6倍（縱坐標不變），得到函數的圖像，，因為是奇函數，所以，解得，因為，所以的最小值為.故選：【點睛】本題考查三角函數的變換以及三角函數的性質，屬于基礎題.3、B【解析】

采用排除法：通過判斷函數的奇偶性排除選項A；通過判斷特殊點的函數值符號排除選項D和選項C即可求解.【詳解】對于選項A:由題意知,函數的定義域為，其關于原點對稱，因為,所以函數為奇函數,其圖象關于原點對稱，故選A排除；對于選項D:因為,故選項D排除;對于選項C:因為,故選項C排除;故選:B【點睛】本題考查利用函數的奇偶性和特殊點函數值符號判斷函數圖象;考查運算求解能力和邏輯推理能力;選取合適的特殊點并判斷其函數值符號是求解本題的關鍵;屬于中檔題、常考題型.4、D【解析】分析：根據平面向量的數量積可得，再結合圖形求出與方向上的投影即可.詳解：如圖所示：，，，又，，在方向上的投影是：，故選D.點睛：本題考查了平面向量的數量積以及投影的應用問題，也考查了數形結合思想的應用問題.5、C【解析】

利用復數的三角形式的乘法運算法則即可得出．【詳解】z1z2＝（cos23°+isin23°）?（cos37°+isin37°）＝cos60°+isin60°＝．故答案為C．【點睛】熟練掌握復數的三角形式的乘法運算法則是解題的關鍵，復數問題高考必考，常見考點有：點坐標和復數的對應關系，點的象限和復數的對應關系，復數的加減乘除運算，復數的模長的計算.6、C【解析】

直線過定點，直線y=kx+1與圓x2+y2=1相交于P、Q兩點，且∠POQ=120°（其中O為原點），可以發現∠QOx的大小，求得結果．【詳解】如圖，直線過定點（0，1），∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，?∠1=120°，∠2=60°，∴由對稱性可知k=±．故選C．【點睛】本題考查過定點的直線系問題，以及直線和圓的位置關系，是基礎題．7、C【解析】

分別求解不等式得到集合,再利用集合的交集定義求解即可.【詳解】,，∴．故選C．【點睛】本題主要考查了集合的基本運算,難度容易.8、C【解析】

求出的元素，再確定其真子集個數．【詳解】由，解得或，∴中有兩個元素，因此它的真子集有3個．故選：C.【點睛】本題考查集合的子集個數問題，解題時可先確定交集中集合的元素個數，解題關鍵是對集合元素的認識，本題中集合都是曲線上的點集．9、B【解析】

計算求半徑為，再計算球體積和圓錐體積，計算得到答案.【詳解】如圖所示：設球半徑為，則，解得.故求體積為：，圓錐的體積：，故.故選：.【點睛】本題考查了圓錐，球體積，圓錐的外接球問題，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.10、C【解析】

先畫出函數圖像和圓，可知，若設，則，所以，而要求的最小值，只要取得最大值，若設圓的圓心為，則，所以只要取得最小值，若設，則，然后構造函數，利用導數求其最小值即可.【詳解】記圓的圓心為，設，則，設，記，則，令，因為在上單調遞增，且，所以當時，；當時，，則在上單調遞減，在上單調遞增，所以，即，所以（當時等號成立）.故選：C【點睛】此題考查的是兩個向量的數量積的最小值，利用了導數求解，考查了轉化思想和運算能力，屬于難題.11、C【解析】

利用誘導公式得，，再利用倍角公式，即可得答案.【詳解】由可得，∴，∴.故選：C.【點睛】本題考查誘導公式、倍角公式，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意三角函數的符號.12、C【解析】

根據函數的奇偶性、單調性、最值和零點對四個結論逐一分析，由此得出正確結論的編號.【詳解】的定義域為.由于，所以為偶函數，故①正確.由于，，所以在區間上不是單調遞增函數，所以②錯誤.當時，，且存在，使.所以當時，；由于為偶函數，所以時，所以的最大值為，所以③錯誤.依題意，，當時，，所以令，解得，令，解得.所以在區間，有兩個零點.由于為偶函數，所以在區間有兩個零點.故在區間上有4個零點.所以④正確.綜上所述，正確的結論序號為①④.故選：C【點睛】本小題主要考查三角函數的奇偶性、單調性、最值和零點，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設圓柱的高為，底面半徑為，根據容積為個立方單位可得，再列出該圓柱的表面積，利用導數求出最值，從而進一步得到圓柱的底面半徑和高的比值．【詳解】設圓柱的高為，底面半徑為.∵該圓柱形的如罐的容積為個立方單位∴，即.∴該圓柱形的表面積為.令，則.令，得；令，得.∴在上單調遞減，在上單調遞增.∴當時，取得最小值，即材料最省，此時.故答案為：.【點睛】本題考查函數的應用，解答本題的關鍵是寫出表面積的表示式，再利用導數求函數的最值，屬中檔題．14、【解析】

由任意三角形面積公式與構建關系表示|AB||AC|，再由已知與平面向量的線性運算、平面向量數量積的運算轉化，最后由重要不等式求得最值.【詳解】由△ABC的面積為得|AB||AC|sin∠BAC=，所以|AB||AC|sin∠BAC=，①又,即|AB||AC|cos∠BAC=，②由①與②的平方和得:|AB||AC|=，又點M是AB的中點，點N滿足，所以，當且僅當時，取等號，即的最大值是為.故答案為：【點睛】本題考查平面向量中由線性運算表示未知向量，進而由重要不等式求最值，屬于中檔題.15、5670【解析】

根據二項式展開的通項，可得二項式系數的最大項，可求得其系數.【詳解】二項展開式一共有項，所以由二項式系數的性質可知二項式系數最大的項為第5項，系數為.故答案為：5670【點睛】本題考查了二項式定理展開式的應用，由通項公式求二項式系數，屬于中檔題.16、【解析】

將平移到和相交的位置，解三角形求得線線角的余弦值.【詳解】過作，過作，畫出圖像如下圖所示，由于四邊形是平行四邊形，故，所以是所求線線角或其補角.在三角形中，，故.【點睛】本小題主要考查空間兩條直線所成角的余弦值的計算，考查數形結合的數學思想方法，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）估計此次活動可能贈送出100000元話費【解析】

（1）根據正態分布的性質可求的值.（2）設某家長參加活動可獲贈話費為元，利用題設條件求出其分布列，再利用公式求出其期望后可得計此次活動可能贈送出的話費數額.【詳解】（1）根據題中所給的統計表，結合題中所給的條件，可以求得又，，所以；（2）根據題意，某家長參加活動可獲贈話費的可能值有10，20，30，40元，且每位家長獲得贈送1次、2次話費的概率都為，得10元的情況為低于平均值，概率，得20元的情況有兩種，得分低于平均值，一次性獲20元話費；得分不低于平均值，2次均獲贈10元話費，概率，得30元的情況為：得分不低于平均值，一次獲贈10元話費，另一次獲贈20元話費，其概率為，得40元的其情況得分不低于平均值，兩次機會均獲20元話費，概率為.所以變量的分布列為：某家長獲贈話費的期望為.所以估計此次活動可能贈送出100000元話費.【點睛】本題考查正態分布、離散型隨機變量的分布列及數學期望，注意與正態分布有關的計算要利用該分布的密度函數圖象的對稱性來進行，本題屬于中檔題.18、．【解析】試題分析：，所以．試題解析：B．因為，所以．19、（1）乙同學正確（2）分布列見解析，【解析】

（1）由已知可得甲不正確，求出樣本中心點代入驗證，即可得出結論；（2）根據（1）中得到的回歸方程，求出估值，得到“理想數據”的個數，確定“理想數據”的個數的可能值，并求出概率，得到分布列，即可求解.【詳解】（1）已知變量具有線性負相關關系，故甲不正確，，代入兩個回歸方程，驗證乙同學正確，故回歸方程為：（2）由（1）得到的回歸方程，計算估計數據如下表：“理想數據”有3個，故“理想數據”的個數的取值為:.，，于是“理想數據”的個數的分布列【點睛】本題考查樣本回歸中心點與線性回歸直線方程關系，以及離散型隨機變量的分布列和期望，意在考查邏輯推理、數學計算能力，屬于中檔題.20、（1）；（2）【解析】