2024-2025學年北京市東城區高二上學期期中考試數學檢測試題一、單選題（本大題共10小題）1．已知，，，若，則（

）A．5 B．4 C．1 D．2．已知直線，．若，則實數（）A．或 B．或 C．或 D．或3．直線繞其與軸的交點逆時針旋轉得到直線，則直線的斜率為（）A． B． C． D．4．已知方程表示一個圓，則實數a的取值范圍為（）A． B．C． D．5．與橢圓有相同焦點，且短軸長為的橢圓的方程是（）A． B．C． D．6．如圖，在平行六面體中，點E，F分別為AB，的中點，則（

）A． B．C． D．7．正方體中，、分別為、的中點，則（）A．平面 B．平面C．平面 D．平面8．若點和點分別為橢圓的中心和左焦點，點為橢圓上點的任意一點，則的最大值為（

）A． B． C． D．9．在三棱錐中，平面，，，，則直線與平面所成角的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．75°10．在正方體中，若點P（異于點B）是棱上一點，則滿足與所成的角為的點P的個數為（）A．0 B．3 C．4 D．6二、填空題（本大題共5小題）11．已知，，若，則實數的值為．12．圓被直線截得的弦長為．13．在正方體中，異面直線與所成角的余弦值為.14．已知橢圓的左、右焦點分別為、，為橢圓上任意一點，為圓上任意一點，則的最小值為．15．在平面直角坐標系中，曲線是由到兩個定點和點的距離之積等于的所有點組成的．對于曲線，有下列四個結論：①曲線是軸對稱圖形；②曲線是中心對稱圖形；③曲線所圍成的區域內只有個整點（橫、縱坐標均為整數的點）；④點Px,y是曲線上的點，則．其中正確結論的編號為．三、解答題（本大題共6小題）16．已知圓C經過，，且圓心C在直線上．(1)求圓C的標準方程；(2)求圓C經過點的切線方程．17．橢圓的左、右焦點分別為，，經過右焦點且斜率為1的直線與橢圓C交于A，B兩點．(1)寫出橢圓C的焦點坐標和離心率；(2)求的面積．18．如圖，平面，，，為的中點．(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值．19．如圖，六面體中，四邊形為菱形，、、、都垂直于平面．若，．(1)求證：；(2)在棱（不含端點）上是否存在一點，使得三棱錐的體積與三棱錐的體積相等，若存在，求出此時的值；若不存在，請說明理由．20．已知橢圓（）的長軸長為6，離心率．(1)求橢圓C的標準方程；(2)過右焦點F作斜率為k（）的直線l，與橢圓C交于A，B兩點，線段的垂直平分線交x軸于點P，求的值．21．設n為大于等于2的正整數，n個實數構成的有序數組（）稱為上的n維向量．n維向量通常用希臘字母，，等表示．對于n維向量，，設，，定義內積=．(1)已知，，，求，和；(2)求證：四個二維向量中必有兩個向量內積為非負數，五個三維向量中必有兩個向量內積為非負數；(3)若m個n（）維向量兩兩內積均為負數，求證：．

答案1．【正確答案】A【詳解】因為，，，所以，因為，所以，解得，所以.故選：A.2．【正確答案】C利用兩條直線斜率之積為求解.【詳解】若，則，解得或.故選：C.3．【正確答案】D【詳解】設直線的傾斜角為，則，將直線繞其與軸的交點逆時針旋轉得到直線，則直線的傾斜角為，因此，直線的斜率為，故選：D.4．【正確答案】D【詳解】方程表示一個圓，則，解得或，所以實數a的取值范圍為.故選：D5．【正確答案】A【詳解】橢圓的焦點坐標為，所求方程的橢圓長半軸長，所以所求方程為.故選：A6．【正確答案】A【分析】由空間向量的加減和數乘運算直接求解即可.【詳解】根據題意，.故選A.7．【正確答案】B【詳解】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，設，則A0,0,0、、、、、、、、、，設平面的法向量為m=x1,y1則，取，可得，設平面的法向量為n=x2,y2則，取，則，對于A選項，，A錯；對于B選項，，，且平面，則平面，B對；對于C選項，，C錯；對于D選項，，，D錯.故選：B.8．【正確答案】B設點，可得出，且有，利用平面向量的數量積的坐標運算結合二次函數的基本性質可求得的最大值.【詳解】由橢圓方程得，設，則，為橢圓上一點，，可得，且有，．因為，當時，取得最大值.故選：B.9．【正確答案】C【詳解】在三棱錐中，取的中點，連接，由，得，而平面，平面，則，平面，則平面，又平面，因此平面平面，在平面上的射影為直線，即是直線與平面所成的角，由，得，在中，，.故選：C

10．【正確答案】B【詳解】在正方體中，以點為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，令，則，設，，，于是，整理得，顯然點不能在坐標軸上，否則，當時，，而，無解，即點不能在棱上；當時，，若，則；若，則無解；若，則，于是點不能在棱上，可以在棱上；當時，，若，則無解；若，則，于是點不能在棱上，可以在棱上，所以可以在棱上，點P的個數為3.故選：B11．【正確答案】2【詳解】由，，得，，由，得，即，即，解得，所以實數的值為2.故212．【正確答案】8【詳解】圓的圓心，半徑，點到直線的距離，所以所求弦長為.故813．【正確答案】【詳解】如圖所示，連接，在正方體中，可得，所以異面直線與所成角，即為直線與所成角，設正方體的棱長為，可得在直角中，可得，所以異面直線與所成角的余弦值為.故答案為.

14．【正確答案】【詳解】在橢圓中，，，則，即點、，如圖，為橢圓上任意一點，則，又因為為圓上任意一點，.當且僅當、、、共線且、在、之間時等號成立．所以的最小值為.故答案為.15．【正確答案】①②【詳解】設曲線上的點為，則由題可得，即曲線的方程為，若在曲線上，則，①將代入可得，滿足方程，即曲線關于軸對稱，曲線是軸對稱圖形，故①正確；②將代入可得，滿足方程，即曲線是關于原點對稱的中心對稱圖形，故②正確；③由，可得，令，則，解得，此時點、、1,0在曲線內，令，可得，可得，若，則，即點?1,1、0,1、在曲線內，由對稱性可知，點、、也在曲線內，綜上所述，曲線所圍成的區域內只有個整點，故③錯誤；④因為滿足方程，在曲線上，但此時，故④錯誤.故①②.16．【正確答案】(1)；(2)或.【詳解】（1）線段的中點，直線的斜率，則線段的中垂線方程為，即，由，解得，因此圓C的圓心，半徑，所以圓C的標準方程為.（2）點到直線的距離為2，即直線與圓C相切；當切線斜率存在時，設切線方程為，即，由，解得，因此方程為，所以圓C經過點的切線方程為或.17．【正確答案】(1)，；(2).【詳解】（1）橢圓的長半軸長，短半軸長，則半焦距，所以，離心率.（2）由（1）知，直線的方程為，

由消去得：，解得，所以的面積.18．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：因為平面，平面，所以，，因為，為的中點，則，因為，、平面，所以，平面.（2）解：因為平面，，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，設，則、、、、，設平面的法向量為，，，則，取，可得，由（1）可知，平面的一個法向量為，則，由圖可知，二面角的平面角為銳角，故二面角的余弦值為.19．【正確答案】(1)證明見解析(2)不存在，理由見解析【詳解】（1）證明：連接，如下圖所示：因為四邊形為菱形，則，因為平面，平面，則，因為，、平面，所以，平面，因為平面，平面，所以，，又因為，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，所以，平面，因為平面，則.（2）解：設，因為四邊形為菱形，則，因為，則是邊長為的等邊三角形，則，因為平面，且，則，又因為平面，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、，因為，平面，平面，則平面，同理可證平面，因為，、平面，所以平面平面，因為平面平面，平面平面，所以，，同理，，故四邊形為平行四邊形，線段的中點為，且線段的中點也為，可得，設平面的法向量為，，，則，取，則，，所以，點到平面的距離為，，則，因為，設，則，其中，，故在棱上不存在點，使得三棱錐的體積等于三棱錐的體積.20．【正確答案】(1)；(2).【詳解】（1）依題意，，由離心率，得橢圓半焦距，因此，所以橢圓C的標準方程是.（2）由（1）知，直線的方程為，由消去得，設，則，線段的中點，線段的垂直平分線方程為，令，得，，而，所以.21．【正確答案】(1)，，.(2)證明見解析；(3)證明見解析.【詳解】（1），，.（2）先證命題：四個二維向量中必有兩個向量內積為非負數.不妨設，，，，若存在，則有，那么命題得證，若任意，，由抽屜原理知中必存在兩個數同號，不妨設，則又因為，所以.命題得證.再證命題：五個三維向量中必有兩個向量內積為非負數.不妨設，，，若存在，則，命題得證，若任意，，考慮4個二維向量，由4個二維向量中必有兩個向量內積為非負數，不妨設，又，則