10.1變換的定義10.2變換收斂區(qū)及典型序列變換

10.3變換的性質與定理10.4逆變換

10.5離散系統(tǒng)的復頻域分析10.6離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數與系統(tǒng)特性

10.7離散系統(tǒng)的模擬習題十

變換的數學理論很早就形成了，但直到20世紀五六十年代隨著計算機的應用與發(fā)展，才真正得到了廣泛的實際應用。作為一種重要的數學工具，它把描述離散系統(tǒng)的差分方程變換成代數方程，使其求解過程得到簡化。還可以利用系統(tǒng)函數的零、極點分布，定性分析系統(tǒng)的時域特性、頻率響應、穩(wěn)定性等，是離散系統(tǒng)分析的重要方法。變換在離散系統(tǒng)的作用與地位，與拉氏變換在連續(xù)時間系統(tǒng)的作用相當。10.1變換的定義

雙邊變換的定義如下：(10.1-1)如果x(n)是因果序列，則式(10.1-1)的變換為(10.1-2)式(10.1-2)也稱單邊變換?？梢娨蚬蛄械碾p邊變換就是單邊變換，所以單邊變換是雙邊變換的特例。

變換是復變量z的冪級數(也稱羅朗級數)，其系數是序列x(n)的樣值。連續(xù)時間系統(tǒng)中，信號一般是因果的，所以主要討論拉氏單邊變換。在離散系統(tǒng)分析中，可以用因果系統(tǒng)逼近非因果系統(tǒng)，因此單邊與雙邊變換都要涉及。變換也可用英文縮寫ZT或表示。10.2變換收斂區(qū)及典型序列變換

式(10.1-1)是雙邊變換的定義，根據其是否收斂以及收斂條件，決定了序列變換是否存在以及存在的條件，本節(jié)先就此進行討論。10.2.1變換的收斂區(qū)對于任意給定的有界序列，使式(10.1-1)級數收斂的所有z值稱為X(z)的收斂區(qū)。我們舉例說明式(10.1-1)收斂與否，以及在什么范圍收斂。例10.2-1

已知序列，，分別求它們的變換及收斂區(qū)。解：

az

1

<1

a

<

z

a

1z

<1

a

>

z

X1(z)與X2(z)相同，但X1(z)的收斂區(qū)是以|a|為半徑的圓外，而X2(z)的收斂區(qū)是以|a|為半徑的圓內。此例說明，收斂區(qū)與x(n)有關，并且對于雙邊變換，不同序列的變換表示式有可能相同，但各自的收斂區(qū)一定不同。所以為了唯一確定變換所對應的序列，雙邊變換除了要給出X(z)的表示式外，還必須標明X(z)的收斂區(qū)。任意序列變換存在的充分條件是級數滿足絕對可和，即(10.2-1)下面利用式(10.2-1)討論幾類序列的收斂區(qū)。

1.有限長序列

若有限長序列，如圖10.2-1所示。圖10.2-1有限長序列示意圖則有限長序列的變換為由有限長序列的變換可見，此時X(z)是有限項級數，因此只要級數每項有界，則有限項之和亦有界。當x(n)有界時，變換的收斂區(qū)取決于|z|-n。當n1≤n≤n2時，顯然，|z|-n在整個開區(qū)間(0，∞)可滿足這一條件。所以有限長序列的收斂區(qū)至少為0<|z|<∞。如果0≤n1，X(z)只有z的負冪項，收斂區(qū)為0<|z|≤∞；若n2≤0，X(z)只有z的正冪項，收斂區(qū)為0≤|z|<∞；均為半開區(qū)間。特別地，x(n)=δ(n)

X(z)=1，0≤|z|≤∞，收斂區(qū)為全z平面。

例10.2-2已知序列x(n)=RN(n)，求X(z)。

解:收斂區(qū)為0<|z|≤∞

2.右邊序列右邊序列是有始無終的序列，即n2→∞，如圖10.2-2所示。右邊序列的變換為當n1<0時，將右邊序列的X(z)分為兩部分式中第①項是有限長序列，其收斂區(qū)為0≤|z|<∞；第②項只有z的負冪項，若②收斂，|z|一定不為0，所以其收斂區(qū)為RX-≤|z|<∞，是以RX-為半徑的圓外，且RX-一定大于零；綜合①、②兩項的收斂區(qū)情況，一般右邊序列的收斂區(qū)為

RX-<|z|<∞(10.2-2)式(10.2-2)表明右邊序列的收斂區(qū)是以RX-為收斂半徑的圓外。

當n1≥0時，X(z)的和式中沒有z的正冪項，收斂區(qū)為RX-<|z|≤∞。例10.2-3

已知序列，求X(z)。解：此例收斂區(qū)是以X(z)的極點1/3為半徑的圓外。推論：在X(z)的封閉表示式中，若有多個極點，則右邊序列的收斂區(qū)是以絕對值最大的極點為收斂半徑的圓外。

3.左邊序列左邊序列是無始有終的序列，即n1→∞，如圖10.2-3所示。左邊序列的變換為圖10.2-3左邊序列示意圖當n2>0時，將左邊序列的X(z)分為兩部分式中第①項只有z的正冪項，所以其收斂區(qū)為0<|z|<RX+；第②項是有限長序列，收斂區(qū)為0<|z|≤∞。綜合①、②兩項的收斂區(qū)情況，一般左邊序列的收斂區(qū)為

0<|z|<RX+(10.2-3)式(10.2-3)表明左邊序列的收斂區(qū)是以RX+為收斂半徑的圓內。當n2≤0時，X(z)的和式中沒有z的負冪項，其收斂區(qū)為0≤|z|<RX+。

例10.2-4已知序列x(n)=-bnu(-n-1)，求X(z)。解：注意到此例收斂區(qū)是以X(z)的極點b為半徑的圓內。推論：在X(z)的封閉表示式中，若有多個極點，則左邊序列的收斂區(qū)是以絕對值最小的極點為收斂半徑的圓內。

4.雙邊序列雙邊序列是無始無終的序列，即n1→∞，n2→∞。其變換為將雙邊序列的X(z)分為兩部分式中第①項是左序列，其收斂區(qū)為0≤|z|<RX+；第②項是右序列，其收斂區(qū)為RX-<|z|≤∞。綜合第①、②項的收斂區(qū)情況可知，只有當RX+>RX-時，X(z)的雙邊變換存在，收斂區(qū)為

RX-<|z|<RX+(10.2-4)式(10.2-4)表明雙邊序列的收斂區(qū)是以RX-為內徑，以RX+為外徑的環(huán)形區(qū)；而當RX+<RX-時，X(z)的雙邊變換不存在。

例10.2-5已知雙邊序列x(n)=c|n|，c為實數，求X(z)。解：

x(n)=c

n

=

X(z)=X1(z)+X2(z)當n<0時，

cz

<1或當n≥0時，

cz

1

<1或c

<

z

討論：(1)|c|<1，收斂的c|n|波形如圖10.2-4所示。X(z)=X1(z)+X2(z)

cz

<1或圖10.2-4雙邊收斂序列示意圖

(2)|c|>1，發(fā)散的c|n|波形如圖10.2-5所示，因為RX-=|c|>1/|c|=RX+無公共收斂區(qū)，所以X(z)的雙邊變換不存在。10.2.2典型序列的變換在離散系統(tǒng)分析中除了因果序列，非因果序列也有一定的應用。所以典型序列中除了單邊序列也有雙邊序列。

1.單位脈沖序列δ(n)[

(n)]＝

(n)1

2.單位階躍序列u(n)

3.斜變序列nu(n)可利用u(n)的變換，

z

>1

等式兩邊分別對z-1求導，得兩邊各乘以z-1

z

>1

4.實指數序列(1)anu(n)(2)

anu(

n

1)若

a=eb，則

5.單邊正、余弦序列由指數序列的變換ebu(n)

z

>

eb

可推得

z

>1

將正、余弦序列分解為兩個指數序列同理

6.雙邊指數序列

x(n)=a

n

a

<1

10.3變換的性質與定理

變換的性質與定理討論的是序列時域與復頻域之間的對應關系、變換規(guī)律。它們既能揭示時域與復頻域之間的內在聯(lián)系，又能提供系統(tǒng)分析、簡化運算的新方法。

1.線性

若

x(n)

X(z)

y(n)

Y(z)則ax(n)+by(n)

aX(z)+bY(z)

R

<

z

<R+式中

(10.3-1)

2.雙邊變換的位移(移序)性(m>0)

若序列x(n)的雙邊變換為

x(n)

X(z)則x(n+m)

zmX(z)(10.3-2)

證明

[x(n+m)]=

令n+m=k，代入上式

[x(n+m)]==zmX(z)位移序列變換的收斂區(qū)一般不變。

3.單邊變換的位移性

(1)若序列x(n)的單邊變換為

x(n)u(n)

X(z)則序列左移后單邊變換為x(n+m)u(n)

m>0(10.3-3)證

[x(n+m)u(n)]=令n+m=k

序列左移后的單邊變換示意圖如圖10.3-1所示。特別的，圖10.3-1序列左移后的單邊變換示意圖

[x(n+1)u(n)]=zX(z)

zx(0)

[x(n+2)u(n)]=z2X(z)

z2x(0)

zx(1)

(2)若x(n)u(n)

X(z)，則x(n

m)u(n)

m>0(10.3-4)證

[x(n

m)u(n)]＝令n

m=k

序列右移后單邊變換的示意圖如圖10.3-2所示。圖10.3-2序列右移后的單邊變換特別的，[x(n

1)u(n)]=z1X(z)+x(

1)

[x(n2)u(n)]=z2X(z)+z1x(

1)+x(

2)

(3)若x(n)為因果序列，x(n)u(n)

X(z)，則x(n

m)u(n)

z

mX(z)m>0(10.3-5)(10.3-6)

4.指數序列加權

若x(n)

X(z)，，則anx(n)

X(a

1z)

(10.3-7)證

[anx(n)]==X(a

1

z)利用指數序列加權性及x(n)=u(n),

z

>1，可推得anx(n)

X(a

1

z)=

a

1z

>1，z

>

a

，

z

>1

z

>1

z

>1

5.x(n)線性加權或z域微分性若x(n)

X(z)，，則nx(n)

(10.3-8)證

(交換運算次序)

6.時域卷積定理若w(n)=x(n)

y(n)，則W(z)=X(z)Y(z)R

<

z

<

R+(10.3-9)式中，，例10.3-4：x(n)=u(n)

X(z)=

z

>1

y(n)=anu(n)

Y(z)=

z

>

a

，其中

a

<1。求w(n)=x(n)

y(n)。解

:W(z)=X(z)Y(z)=；

z

>1

利用卷積定理，可以求解離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應，如圖10.3-3所示。圖10.3-3離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應求解表10.3-1列出了變換性質與定理的有關信息。10.4逆變換

逆換也稱反變換，反變換也可用英文縮寫IZT或-1表示，是由X(z)求x(n)的運算，若X(z)(10.4-1)則由柯西積分定理，可以推得逆變換表示式為(10.4-2)即對X(z)zn

1作圍線積分，其中c是在X(z)的收斂區(qū)內一條逆時針繞原點的圍線。一般來說，計算復變函數積分比較困難，所以當X(z)為有理函數時，介紹常用的三種反變換方法。10.4.1、冪級數法將X(z)展開X(z)=

+x(

1)z+x(0)+x(1)z

1+x(2)z

2+

，其系數就是x(n)。特別的，對單邊的左序列或右序列，當X(z)為有理函數時，冪級數法也稱長除法。舉例說明用長除法將X(z)展開成級數求得x(n)的方法。例10.4-2

已知X(z)

z

>1/

a

，求x(n)。解：因為收斂區(qū)在1/|a|外，序列為右序列，應展開為z的降冪級數。X(z)=1+(az)

1+(az)

2+(az)

2+

由此可得

x(n)=a

nu(n)。例10.4-3

已知X(z)=

z

<1/

a

，求x(n)。解：因為收斂區(qū)在1/

a

圓內，序列為左序列，應展開為z的升冪級數。

X(z)=

az

(az)2

(az)3

(az)4

由此可得

x(n)=

a

nu(

n

1)。用長除法可將X(z)展開為z的升冪或降冪級數，它取決于X(z)的收斂區(qū)。所以在用長除法之前，首先要確定x(n)是左序列還是右序列，由此決定分母多項式是按升還是按降冪排列。由長除法可以直接得到x(n)的具體數值，但當X(z)有兩個或兩個以上極點時，用長除法得到的序列值，要歸納為x(n)閉合式還是比較困難的，這時可以用部分分式法求解x(n)。10.4.2部分分式法

X(z)一般是z的有理函數，可表示為有理分式形式。最基本的分式及所對應的序列為(10.4-3)式(10.4-3)是最常用的Z變換對。部分分式法就是基于此基礎上的一種方法，即將X(z)的一般有理分式展開為基本有理分式之和。這與傅氏變換、拉氏變換的部分分式法相似。通常X(z)表示式為式中，分子最高次為M，分母最高次為N。設M

N，且X(z)均為單極點，X(z)可展開為(10.4-5)式中k=0,12,

,N

(10.4-6)(10.4-7)因為變換的基本形式為，在用部分分式展開法時，可以先將展開，然后每個分式乘以z，X(z)就可以展開為的形式，即

(10.4-8)式中，A0對應的變換為A0δ(n)，根據收斂域最終確定x(n)。例10.4-4

已知,

z

>1，求x(n)。解:

z

>1，是右邊(因果)序列。

z

>1x(n)=(

2

0.5n)u(n)例10.4-5：已知，2<

z

<3，求x(n)。解：因為收斂區(qū)為2<

z

<3，是雙邊序列，且2<

z

對應右邊序列，

z

<3對應左邊序列，所以x(n)=2nu(n)+(

3)nu(

n

1)若X(z)在z=d1有二階的重極點，其余為單極點。X(z)可展開為其中，A0、Ak計算同前，Bk為Bk

(10.4-9)表10.4-1給出了常用序列的變換。利用這個表再結合變換的性質，可求一般序列的正、反變換。10.5離散系統(tǒng)的復頻域分析

二階LTI離散系統(tǒng)的差分方程一般形式為y(n

2)+a1y(n

1)+a0

y(n)=b2x(n

2)+b1x(n

1)+b0

x(n)(10.5-1)當x(n)是因果序列，已知初始(邊界)條件y(

1),y(

2)時，可利用變換求解式(10.5-1)。對式(10.5-1)等式兩邊取變換，利用單邊Z變換的位移性，得到

Y(z)+a1[z-1Y(z)+y(-1)]+a2[z-2Y(z)+z-1y(-1)+y(-2)]=(b2z-2+b1z-1+b0)X(z)整理上式得到

(1+a1z-1+a2z-2)Y(z)+a1y(-1)+a2[z-1y(-1)+y(-2)]=(b0+b1z-1+b2z-2)X(z)(10.5-2)10.5.1零狀態(tài)響應

零狀態(tài)響應是僅由激勵引起的響應,此時系統(tǒng)初始條件(y(-1)=y(-2)=0，代入式(10.5-2)得到(1+a1z-1+a2z-2)Y(z)=(b0+b1z-1+b2z-2)X(z)(10.5-3)由式(10.5-3)得零狀態(tài)響應為令(10.5-4)(10.5-5)式中，H(z)為系統(tǒng)(傳輸)函數，零狀態(tài)響應還可表示為Yzs(z)=H(z)X(z)

(10.5-6)(10.5-7)例10.5-1

已知一離散系統(tǒng)的差分方程為求y(n)。其中x(n)=(1/3)nu(n)，y(-1)=0。解：因為y(-1)=0，是零狀態(tài)響應。對方程兩邊取變換10.5.2零輸入響應零輸入響應是僅由系統(tǒng)初始儲能引起的響應，與初始(邊界)條件y(-1)、y(-2)密切相關。此時激勵x(n)=0，式(10.5-1)差分方程右邊等于零，代入(10.5-2)得到(1+a1z-1+a2z-2)Y(z)+a1y(-1)+a2[z-1y(-1)+y(-2)]=0(10.5-8)(10.5-9)(10.5-10)

例10.5-2

差分方程同例10.5-1，x(n)=0，y(-1)=-2，求yzi(n)。解:

激勵x(n)=0，是零輸入響應。對方程兩邊取變換10.5.3全響應利用變換，不需要分別求零狀態(tài)響應與零輸入響應，可以直接求解差分方程的全響應。(10.5-11)

例10.5-3系統(tǒng)差分方程、激勵x(n)同例10.5-1，(0)=0，求y(n)。解:先求出邊界條件y(-1)，將n=0代入原方程疊代解出y(-1)=-2，此時的y(n)是全響應。方程兩邊取變換10.6離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數與系統(tǒng)特性

10.6.1系統(tǒng)函數及其零極點由二階LTI離散系統(tǒng)的后向差分方程一般式

y(n)+a1y(n-1)+a2y(n-2)=b0x(n)+b1x(n-1)+b2x(n-2)得到二階LTI離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(10.6-1)式(10.6-1)是z-1的有理分式，其系數正是差分方程的系數，它的分子分母多項式可以分解為H(z)==式中，{c1，c2}是H(z)的零點，{d1，d2}是H(z)的極點。由式(10.6-2)可見，除了系數A外，H(z)可由其零、極點確定。將零點{c1，c2}與極點{d1，d2}標在z平面上，可得到離散系統(tǒng)的零、極點圖。例10.6-1已知某離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數為，|z|>0.5，畫出該系統(tǒng)的零、極點圖。解:

例10.6-1離散系統(tǒng)的零、極點圖如圖10.6-1所示。圖10.6-1例10.6-1系統(tǒng)的零、極點圖當離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數有原點以外的任意極點時，即式(10.6-2)中有di≠0{i=1，2}時，對應的單位脈沖響應h(n)的時寬為無限，這樣的系統(tǒng)稱為無限沖激響應系統(tǒng)(簡稱IIR系統(tǒng))；當離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數只有原點處的極點時，即式(10.6-2)中所有di=0{i=1，2}時，對應的單位脈沖響應h(n)的時寬有限，這樣的系統(tǒng)稱為有限沖激響應系統(tǒng)(簡稱FIR系統(tǒng))。FIR系統(tǒng)函數的一般表示式為

H(z)=(b0+b1z

1+b2z

2)=A(1

c1z

1)(1

c2z

1)由于FIR系統(tǒng)具有線性相位，并且沒有系統(tǒng)穩(wěn)定問題，所以得到越來越廣泛的應用。(10.6-3)10.6.2系統(tǒng)特性系統(tǒng)特性由系統(tǒng)函數確定，是系統(tǒng)本身具有的特性，與激勵無關。系統(tǒng)函數及收斂區(qū)包含系統(tǒng)特性的信息。用系統(tǒng)函數的收斂區(qū)能判斷系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。1.系統(tǒng)的因果性

一般實用的系統(tǒng)是具有因果性的，也稱這類系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。由因果系統(tǒng)的時域條件n<0時，h(n)=0；及H(z)的定義，可知因果系統(tǒng)的H(z)只有z的負冪項，其收斂區(qū)為RH<|z|≤∞，所以收斂區(qū)包含無窮時，必為因果系統(tǒng)。例10.6-2已知某系統(tǒng)的系統(tǒng)函數為，|z|>0.5，求該系統(tǒng)的h(n)，并判斷該系統(tǒng)的因果性。解:

該系統(tǒng)的收斂區(qū)|z|>0.5包含無窮，所以是因果系統(tǒng)。由n<0時，h(n)=0也能得到相同結果。h(n)=(0.5)nu(n)

2.系統(tǒng)的穩(wěn)定性一般可靠實用的系統(tǒng)是具有穩(wěn)定性的，也稱這類系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。由系統(tǒng)穩(wěn)定的時域條件，可推知|h(n)|一定是隨著n增加而趨于零的衰減序列，這類序列所對應的H(z)收斂區(qū)必定包含單位圓，其收斂區(qū)為RH-<|z|<RH+，且RH-<1<RH+，所以當收斂區(qū)包含單位圓時，為穩(wěn)定系統(tǒng)。與連續(xù)時間系統(tǒng)當虛軸上有一階極點時，定義系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定的情況類似，當H(z)的單位圓上有一階極點時，離散系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定，臨界穩(wěn)定屬于不穩(wěn)定。

3.因果穩(wěn)定系統(tǒng)綜合上述1、2情況，當RH-<|z|≤∞，且RH-<1時，系統(tǒng)是因果穩(wěn)定系統(tǒng)，意味著因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數H(z)的所有極點只能分布在單位圓內，若H(z)有單位圓上或單位圓外的極點，則系統(tǒng)就是非穩(wěn)定系統(tǒng)。10.7離散系統(tǒng)的模擬

LTI離散系統(tǒng)的基本運算有延時(移序)、乘法、加法，基本運算可以由基本運算單元實現，由基本運算單元可以構成LTI離散系統(tǒng)。因為離散系統(tǒng)延時器的作用與連續(xù)系統(tǒng)中的積分器相當，由此可得到與連續(xù)時間系統(tǒng)相似的模擬與信號流圖，所以梅森公式也適用于離散系統(tǒng)。與連續(xù)系統(tǒng)不同的是，離散系統(tǒng)分為IIR系統(tǒng)與FIR系統(tǒng)，下面分別討論兩類離散系統(tǒng)的模擬(仿真)與信號流圖。10.7.1二階IIR系統(tǒng)的直接形式描述二階IIR系統(tǒng)輸入x(n)與輸出y(n)關系的差分方程一般為

y(n)+a1y(n-1)+a2y(n-2)=b0x(n)+b1x(n-1)+b2x(n-2)(10.7-1)對應的二階離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數為(10.7-2)對比式(8.6-10)及圖8.6-8的連續(xù)系統(tǒng)的模擬，式(10.7-2)對應的離散IIR系統(tǒng)模擬如圖10.7-1所示。圖10.7-1式(10.7-2）離散IIR系統(tǒng)的模擬結構將圖10.7-1的延時器改為豎排，由圖10.7-1可以得到式(10.7-2)另一種直接形式的模擬圖，結構如圖10.7-2所示。

圖10.7-2式(10.7-2)IIR系統(tǒng)的直接Ⅱ型模擬圖圖10.7-2的系統(tǒng)模擬結構稱為直接Ⅱ型，也稱最少延遲網絡、典范形式、正準型。通常IIR的直接形式多是指這種結構。

例10.7-1已知數字系統(tǒng)的系統(tǒng)函數H(z)為畫出該系統(tǒng)的直接型結構。解：例10.7-1的直接型結構如圖10.7-3所示。圖10.7-3例10.7-1的直接型結構10.7.2二階FIR系統(tǒng)的直接形式(橫截型、卷積型)

二階FIR系統(tǒng)的單位脈沖響應h(n)是時寬為2的有限長序列，相應的二階FIR系統(tǒng)函數為H(z)=h(0)+h(1)z-1+h(2)z-2=b0+b1z-1+b2z-2(10.7-3)式中h(0)=b0，h(1)=b1，h(2)=b2其特點是系統(tǒng)函數H(z)無極點，因此它的網絡結構一般沒有反饋支路。下面介紹二階FIR系統(tǒng)的基本結構形式。由式(10.7-3)得二階FIR系統(tǒng)的差分方程為由式(10.7-4)可以直接畫出二階FIR系統(tǒng)的直接型模擬圖如圖10.7-4所示。圖10.7-4二階FIR系統(tǒng)的直接型模擬圖例10.7-2已知數字系統(tǒng)的系統(tǒng)