6.3串聯校正頻率法是分析設計控制系統最常用的方法。應用頻率法對系統進行校正，其目的是改變頻率特性的形狀，使校正后的系統頻率特性具有合適的低頻、中頻和高頻特性以及足夠的穩定裕量，從而滿足所要求的性能指標。當系統的期望性能指標是時域指標時，需要將其轉化為頻域指標。本節主要應用超前校正裝置、滯后校正裝置和滯后-超前校正裝置實現串聯校正，介紹串聯校正綜合法的設計思想，并給出相應的串聯校正示例。6.3.1頻率法校正設計從第五章的內容可知，一個合理的控制系統，其開環對數幅頻特性曲線有如下特點：低頻段應具有-20dB/dec或-40dB/dec的斜率，并有一定的高度，以滿足系統穩態性能的要求；中頻段應以-20dB/dec的斜率穿過零分貝線，并占有足夠寬的中頻寬度，以滿足動態性能指標要求；高頻段的頻率特性應該盡快衰減，以削減噪聲影響。頻域法串聯校正的實質是利用校正裝置改變系統的開環對數頻率特性，使之符合三頻段的要求，從而達到改善系統性能的目的。6.3.2串聯超前校正頻率法串聯超前校正的設計思想是利用超前網絡的相角超前特性，只要正確地將超前網絡的轉折頻率1/(aT)和1/T置于待校正系統截止頻率的兩旁，并適當選擇超前網絡參數a和T，就可以提高校正后系統的相角裕度和截止頻率，從而改善系統的動態性能。用頻域法設計無源超前網絡的步驟如下。⑴根據給定的穩態誤差要求，確定開環增益K。⑵根據已確定的開環增益K，繪制待校正系統的對數幅頻特性曲線L(ω)，并計算截止頻率ωc和相角裕度γ。當，時，首先考慮超前校正。⑶根據給定的相角裕度，確定超前網絡的最大超前角為式（6-3-1）中，ε為補償角，用于補償因超前網絡的引入，使校正后系統截止頻率增大而導致的待校正系統的相角損失量。若待校正系統中頻段的斜率為-40dB/dec時，一般取ε=5°-10°，若待校正系統中頻段的斜率為-60dB/dec時，一般取ε=15°-20°。（6-3-1）⑷根據所確定的最大超前角，由式（6-2-5）求得超前網絡參數a為⑸確定超前網絡最大超前角對應的最大超前角頻率。為充分利用超前網絡相角超前特性，選擇作為校正后系統的截止頻率。此時根據式（6-2-6）可得⑹由式（6-2-4）確定超前網絡參數T為

（6-3-3）（6-3-2）（6-3-4）⑺根據已求得的超前網絡參數a和T，由式（6-2-2）確定超前網絡的傳遞函數Gc(s)。⑻驗算校正后系統的性能。校正后系統的開環傳遞函數為相應的相角裕度為若驗算結果不滿足性能指標要求，返回步驟⑶，適當增大補償角ε，重新設計直到系統滿足性能指標要求。設計中也可以根據截止頻率的要求，選擇校正后系統的截止頻率。通過計算待校正系統在處的對數幅頻值，依據步驟⑸-步驟⑹，求出超前網絡參數a和T。例6-3已知系統結構圖如圖6-3-1所示，要求設計串聯無源超前網絡，使得系統滿足如下指標：⑴在單位斜坡輸入下的穩態誤差；⑵截止頻率；⑶相角裕度。解：⑴根據系統穩態性能要求，確開環增益K。由,取K=10，則待校正系統的開環傳遞函數為

⑵根據已確定的開環增益K，繪制待校正系統的對數幅頻特性曲線L(ω)，并計算截止頻率ωc和相角裕度γ。繪制待校正系統的對數幅頻特性曲線如圖6-3-2中L(ω)所示。根據截止頻率定義，應有可求出待校正系統的截止頻率ωc=3.16rad/s（在ω≥1頻段內）。待校正系統的相角裕度為

顯然，，，系統不滿足性能指標要求。⑶確定超前網絡的參數。方法一由于待校正系統中頻段斜率為-40dB/dec，故取ε=10°。由式（6-3-1）得代入式（6-3-2），解得超前網絡參數a為

根據式（6-3-3），可求得校正后系統的截止頻率，即解得。顯然，截止頻率滿足性能指標要求。根據式（6-3-4），可得超前網絡參數T為

因此，串聯無源超前網絡的傳遞函數為

其對數幅頻特性曲線如圖6-3-2中Lc(ω)所示。⑷驗算系統性能指標。校正后系統的開環傳遞函數為

其對數幅頻特性曲線如圖6-3-2中所示。

校正后系統相角裕度為綜上，校正后系統截止頻率，相角裕度，穩態誤差，滿足系統性能指標要求。校正后系統開環傳遞函數為校正后系統相角裕度顯然，利用方法二所計算參數也滿足系統性能指標要求。方法二根據系統截止頻率的要求，直接選取校正后系統截止頻率由式（6-3-3），可求得超前網絡參數a，即解得a=3.75，則超前網絡參數因此串聯無源超前網絡的傳遞函數為通過例6-3可以看出，校正后曲線以-20dB/dec斜率穿過0dB線，并且在處具有較寬的頻段，相角裕度相對于校正前系統有了明顯的提高。在L(ω)的上方，對高頻信號的幅值衰減能力降低。由此可見，串聯超前校正主要用來改善系統的動態性能，但以犧牲系統的抗擾性能為代價。由于無源超前網絡最大超前角（a≤20），當待校正系統的中頻段斜率為-60dB/dec（相角裕度γ<0，系統不穩定）時，采用一級串聯超前校正將無法實現性能指標的要求。另外，若待校正系統的截止頻率附近存在多個慣性環節，導致截止頻率滯后的相位迅速減小，不宜采用串聯超前校正。6.3.2串聯滯后校正頻率法串聯滯后校正的設計思想是利用滯后網絡的高頻幅值衰減特性，使校正后系統截止頻率下降，從而使系統獲得足夠的相角裕度。因此，在設計滯后網絡時應避免最大滯后角發生在系統截止頻率附近。由于滯后網絡的高頻幅值衰減特性，減小了系統帶寬，降低了系統的快速性。因此，串聯滯后校正適用于快速性要求不高而抑制噪聲要求較高的系統。若待校正系統僅穩態性能不滿足指標要求時，也可以采用串聯滯后校正以提高系統的穩態精度。用頻域法設計無源滯后網絡的步驟如下。⑴根據系統穩態誤差要求，確定開環增益K。⑵根據已確定的開環增益K，繪制待校正系統的對數幅頻特性曲線L(ω)，并計算截止頻率ωc和相角裕度γ。⑶根據系統相角裕度的要求，確定校正后系統的截止頻率，即滿足（6-3-5）式（6-3-5）中，為待校正系統在處的相角值，為滯后網絡在處引起的相位滯后量，一般取-6°。⑷確定滯后網絡參數b和T。

⑷確定滯后網絡參數b和T。由于滯后網絡在處的幅值衰減量為20lgb，要保證校正后系統的截止頻率為，則待校正系統在處的對數幅頻值應滿足（6-3-6）由式（6-3-6）可確定滯后網絡參數b。由已確定的b值可根據式（6-2-11）計算滯后網絡參數T。若求得的T值過大而難以實現，則可將式（6-2-11）中的系數適當增大，即（6-3-7）相應的的估計值應在范圍內確定。⑸校驗校正后系統的性能指標。例6-4已知單位負反饋系統開環傳遞函數要求設計串聯滯后網絡，使得系統滿足如下指標：⑴穩態速度誤差系數；⑵相角裕度。解：⑴根據系統靜態速度誤差系數Kv要求，確定開環增益K。因為

取K

=5，則待校正系統的開環傳遞函數為⑵根據已確定的K值，繪制待校正系統的對數幅頻特性曲線如圖6-3-3中L(ω)所示。根據截止頻率定義，應有求得待校正系統的截止頻率ωc=2.24rad/s（在1≤ω<4頻段范圍內）待校正系統相角裕度為

顯然，待校正系統是不穩定的，且相角裕度不滿足性能指標的要求。

⑶根據系統相角裕度的要求，確定校正后系統的截止頻率。由式（6-3-5）可得

根據待校正系統在處的相角可求得（在ω<1頻段范圍內）。⑷確定滯后網絡參數b和T。根據式（6-3-6）可得

解得b=0.136。將和b=0.136帶入式（6-2-11），即

解得T=108.131s。因此串聯滯后網絡的傳遞函數為

其對數幅頻特性曲線如圖6-3-3中Lc(ω)所示。⑸校驗校正后系統的性能指標。校正后系統的傳遞函數為

其對數幅頻特性曲線如圖6-3-3中所示。校正后系統的相角裕度為

綜上所述，校正后系統截止頻率，相角裕度，穩態速度誤差系數Kv

=5，滿足系統性能指標要求。由圖6-3-3可以看出，校正前L(ω)曲線以-40dB/dec的斜率穿過0dB線，相角裕度不足，系統不穩定；校正后曲線則以-20dB/dec的斜率穿過0dB線，相角裕度明顯增加，系統相對穩定性得到顯著改善。然而校正后比校正前ωc降低，因此,串聯滯后校正以犧牲截止頻率換取了相角裕度的提高。另外，由于滯后網絡高頻幅值衰減特性，使校正后系統曲線高頻段降低，抗高頻干擾能力提高。6.3.2串聯滯后-超前校正如果校正前系統不穩定，且要求校正后系統有較高的響應速度、相角裕度和穩態精度，一般需采用串聯滯后-超前校正。頻率法串聯滯后-超前校正的設計思想是利用超前部分提高相角裕度，同時利用滯后部分改善系統的穩態性能，具有超前校正和滯后校正的優點。用頻域法設計無源滯后-超前網絡的步驟如下。⑴根據系統穩態誤差的要求，確定開環增益K。⑵根據已確定的開環增益K，繪制待校正系統的對數幅頻特性曲線L(ω)，并計算截止頻率ωc、相角裕度γ和幅值裕度h(dB)。⑶選擇待校正系統對數幅頻特性曲線斜率從-20dB/dec變為-40dB/dec的轉折頻率，作為校正網絡超前部分的轉折頻率ωb（ωb=1/Tb）。這里選擇ωb的原因，一是降低校正后系統的階次，二是保證校正后系統的中頻段斜率為-20dB/dec，且具有一定的寬度。⑷根據響應速度的要求，選擇系統的截止頻率和校正網絡參數α。要保證校正后系統的截止頻率為所選的，應滿足（6-3-8）式（6-3-8）中，為待校正系統在處的對數幅頻值，-20lgα為校正網絡最大幅值衰減值，為校正網絡超前部分在處的對數幅頻值。由式（6-3-8）可計算校正網絡參數α。⑸根據系統相角裕度的要求，估算校正網絡滯后部分的轉折頻率ωa（ωa=1/Ta）。⑹校驗校正后系統的性能指標。例6-5已知單位負反饋系統開環傳遞函數要求設計串聯校正裝置，使得系統滿足如下指標：⑴最大指令速度為180°/s時，位置滯后誤差不超過1°；⑵相角裕度；⑶幅值裕度；⑷動態過程調節時間。解：⑴根據系統穩態誤差的要求，確定開環增益K。當系統輸入信號r(t)=180t時，其穩態誤差。由題意，取K=180

則待校正系統的開環傳遞函數為

⑵根據已確定的開環增益K，繪制待校正系統的對數幅頻特性曲線如圖6-3-4中L(ω)所示。根據截止頻率定義，應有求出待校正系統的截止頻率ωc=12.93rad/s（在ω≥6頻段內）。待校正系統的相角裕度為

顯然，待校正系統不穩定。分析：如果采用串聯超前校正，要將待校正系統的相角裕度從-56°提高到45°，至少需要選用兩級無源超前網絡，并且還需要附加前置放大器，從而使系統結構復雜化。另外，校正后系統的截止頻率將過大，響應速度將過快，伺服電機來不及動作而出現飽和效應。同時系統過大的帶寬，也會造成輸出噪聲電平過高。如果采用串聯滯后校正，可以使系統的相角裕度提高到45°左右，但是對于該例題要求的高性能系統，由于滯后網絡時間常數太大而無法實現，此外滯后網絡極大地減小了系統的截止頻率，使得系統的響應遲緩。通過上述分析表明，超前校正和滯后校正都不宜采用，因此，應當選用串聯滯后-超前校正。⑶由待校正系統的對數幅頻特性曲線L(ω)可知，其斜率從-20dB/dec變為-40dB/dec的轉折頻率為2rad/s，此頻率作為校正網絡超前部分的轉折頻率ωb，即ωb=2rad/s，相應Tb=1/ωb=0.5s。⑷選擇系統的截止頻率和校正網絡參數α。根據系統相角裕度及調節時間的要求，代入

解得截止頻率考慮到要求中頻段斜率為-20dB/dec，故校正后系統截止頻率應在3.2-6rad/s范圍內選取。這里取由式（6-3-8）計算α，即解得α=51。因此串聯無源滯后-超前網絡的傳遞函數可寫為

⑸根據系統相角裕度的要求，估算校正網絡滯后部分的轉折頻率ωa（ωa=1/Ta）。校正后系統的傳遞函數為校正后系統的相角裕度為

根據相角裕度的要求，取校正后系統的相角裕度，上式可寫為解得Ta=1.24（ωa=1/Ta=0.8065）則串聯無源滯后-超前網絡的傳遞函數為

其對數幅頻特性曲線如圖6-3-4中Lc(ω)所示。

⑹校驗校正后系統的性能指標校正后系統的開環傳遞函數為

其對數幅頻特性曲線如圖6-3-4中所示，校正后系統的相角裕度為

最后，驗算系統的幅值裕度，得到。綜上所述，校正后系統截止頻率，相角裕量，穩態速度誤差系數，幅值裕度，滿足系統性能指標要求。

由以上對串聯校正的三種校正方式的分析可知，串聯超前校正可提高系統的截止頻率和相角裕度，從而減小階躍響應的調節時間和超調量；串聯滯后校正可以提高系統的相角裕度，降低系統的截止頻率，從而使系統的階躍響應超調量下降并提高系統的抗干擾能力；串聯滯后-超前校正兼有兩者的優點，即可提高系統的響應速度、降低超調量，又能抑制高頻噪聲。6.3.5串聯綜合法校正串聯綜合法校正的設計思想是根據給定的性能指標，確定系統期望的開環頻率特性，然后與未校正系統的開環頻率特性進行比較，最后確定校正裝置的形式及參數。由于綜合法校正的主要依據是期望特性，因此又稱為期望特性法。應當指出，該方法一般僅適用于最小相位系統。設原系統的開環傳遞函數為G(s)，串聯校正裝置的傳遞函數為Gc(s)，具有期望性能的開環傳遞函數為

，則相應的對數幅頻特性為即為滿足給定性能指標的“期望特性”。下面分析將頻域性能指標轉化為期望頻率特性的方法。通常，具有較好性能的控制系統應具有的期望開環頻率特性如圖6-3-5所示。由圖6-3-5可知系統的開環傳遞函數為

相頻特性為則（6-3-9）

由，解得產生的角頻率（6-3-10）顯然ωm是轉折頻率ω1和ω2的幾何中心。將式（6-3-10）代入式（6-3-9），求得（6-3-11）

令中頻段的寬度為H，即，則式（6-3-11）可寫為

考慮到通常在極大值附近相角變化較小，特別是在開環截止頻率接近兩個轉折頻率的幾何中心時誤差很小，近似有。由諧振峰值和相角裕度之間的近似關系，可得由相角裕度與阻尼比的關系可知，Mr和H均是體現系統阻尼比的頻域指標。

（6-3-11）當ω2和ω3與滿足系統的閉環諧振峰值最小。由于中頻段對系統的動態性能起決定性作用，通常采用綜合法進行系統校正時要留出一定的裕量，取由此可得期望頻率特性的兩個參數ω2和ω3，結合就可以確定期望頻率特性的中頻段。通常，為保證有足夠的相角裕度，一般取中頻寬度H≥10。為了使校正裝置較為簡單，需要結合原系統對數幅頻特性曲線確定期望頻率特性的低頻段和高頻段?？刹捎孟旅娴牟襟E按期望特性對系統進行串聯校正。⑴根據系統對穩態性能的要求，確定系統的型別v和開環增益K，繪制期望特性的低頻段。⑵根據系統性能指標確定期望截止頻率、期望相角裕度以及期望諧振峰值Mr。根據和Mr確定參數H、ω2和ω3，繪制期望特性的中頻段，使中頻段的斜率為-20dB/dec，并有足夠寬度或為-40dB/dec，且比較窄，以保證系統具有足夠的相角裕度。⑶繪制期望特性低、中頻段之間的銜接頻段，其斜率一般為-40dB/dec或-60dB/dec，為了簡化校正裝置，應使直線的斜率盡量接近相鄰線段的斜率，以減少對系統性能的影響。⑷根據系統幅值裕度及高頻段抗擾能力的要求，繪制期望特性的高頻段。通常為了使校正裝置較為簡單且便于實現，一般期望特性的高頻段與原系統的高頻段斜率一致或完全重合。⑸繪制期望特性的中、高頻段之間的銜接頻段，其斜率一般取-40dB/dec。

⑹根據期望對數幅頻特性與原系統對數幅頻特性之差，繪制校正裝置的對數幅頻特性Lc(ω)，求出校正裝置的傳遞函數Gc(s)。⑺校驗校正后系統的性能指標。例6-6已知單位負反饋系統開環傳遞函數

要求設計串聯校正裝置，使得系統滿足如下指標：⑴當r(t)=t時，穩態誤差；⑵相角裕度；⑶開環截止頻率。解：由穩態誤差，得開環增益K≥126，取K=126。繪制待校正系統的對數幅頻特性曲線如圖6-3-6中L(ω)所示。根據截止頻率定義，應有可求出待校正系統的截止頻率ωc=35.5rad/s（在10≤ω<60頻段內）待校正系統相角裕度為

顯然，原系統不穩定，不滿足性能指標要求。下面繪制期望頻率特性。⑴低頻段系統為Ⅰ型，當ω=1rad/s時，20lgK=42dB，過點(1,42)作斜率為-20dB/dec的直線與原系統的低頻段重合。⑵中頻段及銜接段根據的要求，可得，取Mr=1.7。由的要求，可以確定中頻段兩個轉折頻率的范圍，即求得ω2≤8.24rad/s，ω3≥31.76rad/s。為使期望頻率特性簡單，取ω2=5rad/s，ω3=50rad/s，則中頻段寬度H=ω2/ω3=10。在處作斜率為-20dB/dec的直線。為連接中頻段和低頻段，在中頻段ω2=5rad/s處作斜率為-40dB/dec的直線，其與低頻段的交點ω1，可由下式

解得ω1=0.79rad/s。⑶高頻段及銜接段為簡化校正裝置，在中頻段ω3=50rad/s處作斜率為-40dB/dec的直線，并與原系統對數幅頻特性曲線L(ω)的高頻段交于ω4。ω>ω4時，取期望特性高頻段與原系統高頻特性一致。高頻段的交點ω4可由

解得ω4=75.6rad/s。繪制期望對數幅頻特性曲線如圖6-3-6中所示。根據，求出校正裝置的對數幅頻特性曲線如圖6-3-6中Lc(ω)所示。

校正裝置傳遞函數為顯然校正裝置為滯后-超前網絡。最后校驗系統性能指標。校正后系統的開環傳遞函數為

其對數幅頻特性曲線如圖6-3-6中所示。校正后系統截止頻率，相角裕度為

綜上所述，校正后系統截止頻率，相角裕度，穩態誤差，滿足系統性能指標要求。6.3.6MATLAB實現借助MATLAB強大的計算功能，可以進一步討論控制系統校正裝置的設計問題，以獲得滿意的系統性能。下面通過具體實例，說明MATLAB在控制系統校正中的應用。1.超前校正的MATLAB實現例6-7針對例6-3所給系統和要求，試利用MATLAB確定串聯超前校正裝置，并比較校正前后系統的性能指標。解：MATLAB程序如下：clc;clearexp_gama=45;%期望相角裕度γ=45°epsilon=10;%補償角取ε=10°K=10;%開環增益G0=K*tf(1,[110]);%待校正系統開環傳遞函數[Gm0,Pm0,wcg0,wcp0]=margin(G0)%待校正系統幅值裕度、相角裕度及對應的穿越頻率和截止頻率GmdB=20*log10(Gm0);%待校正系統幅值裕度的對數值(dB)[mag0,phase0,w0]=bode(G0);%待校正系統的開環頻率特性的幅值、相位值和對應頻率magdB=20*log10(mag0);%幅值的對數值phim=exp_gama-Pm0+epsilon;%最大超前角φma=(1+sind(phim))/(1-sind(phim));%求校正參數aadB=-10*log10(a);%a的對數值wc=spline(magdB,w0,adB);%校正后系統的截止頻率T=1/wc/sqrt(a);%校正參數TGc=tf([a*T1],[T1])%超前校正網絡傳遞函數G=Gc*G0;%校正后系統的開環傳遞函數[Gm,Pm,wcg,wcp]=margin(G)%校正后系統幅值裕度、相角裕度及對應的穿越頻率和截止頻率figure(1)bode(G0)gridholdonbode(G)figure(2)G1=feedback(G0,1);step(G1)holdonG2=feedback(G,1);step(G2)校正前后系統的對數頻率特性曲線如圖6-3-7所示。系統校正前后的單位階躍響應曲線如圖6-3-8所示。圖6-3-8例6-7的單位階躍響應曲線由運行結果可知，待校正系統的相角裕度γ=17.9642°，截止頻率ωc=3.0842rad/s，顯然不滿足要求。采用串聯超前校正，得到超前網絡的傳遞函數為

校正后系統的相角裕度，截止頻率，滿足性能指標要求。校正前系統超調量σ%=60.4%，調節時間ts=7.31s，校正后系統的超調量σ%=22.4%，調節時間ts=1.23s。可見，系統動態性能得到了明顯改善。2.滯后校正的MATLAB實現例6-8針對例6-4所給系統和要求，試利用MATLAB確定串聯滯后校正裝置，并求出系統校正后的性能指標。解：MATLAB程序如下：clc;clearexp_gama=40;%期望相角裕度γ=40°phic=-6;%滯后角取φc(wc’)=-6°K=5;%開環增益G0=K*tf(1,conv([110],[0.251]));%待校正系統開環傳遞函數[Gm0,Pm0,wcg0,wcp0]=margin(G0)%待校正系統幅值裕度、相角裕度及對應的穿越頻率和截止頻率[mag0,phase0,w0]=bode(G0);%待校正系統的開環頻率特性的幅值、相位值和對應頻率magdB=20*log10(mag0);%待校正系統幅值的對數值phi=exp_gama-180-phic;%待校正系統在期望截止頻率wc處的相位wc=spline(phase0,w0,phi);%校正后系統的截止頻率wcmag1=spline(w0,mag0,wc);%校正后系統截止頻率wc處的原系統幅值mag1mag1dB=20*log10(mag1);%mag1的對數值b=10^(-mag1dB/20);%校正參數bT=1/(b*0.1*wc);%校正參數TGmdB=20*log10(Gm0);%待校正系統幅值裕度的對數值(dB)Gc=tf([b*T1],[T1])%滯后校正裝置G=Gc*G0;%校正后系統的開環傳遞函數[Gm,Pm,wcg,wcp]=margin(G)%校正后系統幅值裕度、相角裕度及對應的穿越頻率和截止頻率figure(1)margin(G0);grid;figure(2)margin(G);grid;校正前和校正后系統的對數頻率特性如圖6-3-9和圖6-3-10所示，待校正系統的幅值裕度20lgh≈0dB，相角裕度γ≈0°，ωc=2rad/s，待校正系統不穩定，顯然不滿足要求。采用串聯滯后校正，得到校正裝置的傳遞函數為

校正后系統幅值裕度，相角裕度，，滿足系統性能指標。由此可見，應用MATLAB所得結果與例題6-5所求基本一致。3.滯后-超前校正的MATLAB實現例6-9針對例6-5所給系統和要求，試利用MATLAB確定串聯滯后-超前校正裝置，并比較校正前后系統的性能指標。解：MATLAB程序如下：clc;clearexp_gama=45;%期望相角裕度γ=45°exp_GmdB=10;%期望幅值裕度h(dB)=10K=180;%開環增益Mr=1/sind(exp_gama);%根據期望相角裕度計算諧振峰值ts=3;%調節時間exp_wc=pi*(2+1.5*(Mr-1)+2.5*(Mr-1)^2)/3;%根據調節時間、諧振峰值計算期望截止頻率G0=K*zpk([],[0-2-6],12);%待校正系統開環傳遞函數[Gm0,Pm0,wcg0,wcp0]=margin(G0)%待校正系統幅值裕度、相角裕度及對應的穿越頻率和截止頻率Gm0_dB=20*log10(Gm0