課題：二次函數復習圖象與性質解析式的確定2021/6/271一、圖象與性質二次函數2021/6/272二次函數知識要點≠0ax2+bx+c21、二次函數的定義：形如“y=

（a、b、c為常數，a

）”的函數叫二次函數。即，自變量x的最高次項為

次。

2、二次函數的解析式有三種形式：⑴一般式為

；⑵頂點式為

。其中，頂點坐標是（

），對稱軸是

；⑶交點式為

。其中x1，x2分別是拋物線與x軸兩交點的橫坐標。

y＝ax2＋bx＋cy＝a(x-h)2＋kh,kx＝h的直線y＝a(x－x1)(x－x2)2021/6/2733、圖象的平移規律：正—上左，負—下右；位變形不變。對于拋物線y=a(x-h)2+k的平移有以下規律：(1)、平移不改變a的值；(2)、若沿x軸方向左右平移，不改變a,k

的值；(3)、若沿y軸方向上下平移，不改變a,h

的值。2021/6/2744、

向上

向下大2021/6/2755、對于二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），⑴a決定圖象的

。當a>0時，開口向

，當a<0時，開口向

。⑵c決定圖象與

軸的交點的

坐標。若c=0，則拋物線過

點。若c>0或c<0呢？⑶a、b共同決定對稱軸，當a、b同號，對稱軸在y軸的

側，當a、b異號呢？當b=0呢？二次函數知識要點開口方向上下左y縱原－2021/6/276

1、二次函數y=x2-8x+12圖象的開口向

,

對稱軸是

，頂點坐標為

。小練習：直線x=4(4,－４）上2、二次函數y=-3(x-1)２＋5的圖象開口向

，對稱軸是

，當x=

時函數有最

值為

。當x

時，y隨x的增大而增大。下直線x=1＜11大52021/6/2774、函數

的頂點坐標是

，對稱軸

。

3、拋物線向上平移2個單位，向左平移3個單位，所得解析式是

。開口方向

，

當x

時，y隨x的增大而增大當x

時，y隨x的增大而減小當x

時，y有最大值或最小最，最大或最小值是

。拋物線與x軸交點坐標為

，拋物線與y軸的交點坐標為

。2021/6/278ACxyoACxyoBB5、根據下列圖象確定二次函數y=ax2+bx+c中a,b,c的符號。(1)a＞0;b＞0;c＜0(2)a＜0;b﹥0;c﹥02021/6/279例題(3)當x>0時，y隨x的增大而減小.xOy2021/6/2710例2：已知二次函數y=x2-x+c。

⑴求它的圖象的開口方向、頂點坐標和對稱軸；⑵c取何值時，頂點在x軸上？⑶若此函數的圖象過原點，求此函數的解析式，并判斷x取何值時y隨x的增大而減小。例題2021/6/2711解：⑴∵函數y＝X2－X＋C中，a＝1﹥0，∴此拋物線的開口向上。根據頂點的坐標公式x＝－時，y＝

∴頂點坐標是（，）。對稱軸是x＝。2021/6/2712例題(1)直線

x=2，（2，-9）(2)A（－1，0）

B（5，0）

C（0，－5）(3)27例4

已知二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，頂點為D點.

（1）求出拋物線的對稱軸和頂點坐標；（2）求出A、B、C的坐標；（3）求△DAB的面積.xOyABCD2021/6/2713解析式點的坐標線段長面積例題解答2021/6/2714例題例4已知拋物線與x軸交于點A（－1,0）和B（3，0），與y軸交于點C，C在y軸的正半軸上，

S△ABC為8.（1）求這個二次函數的解析式；（2）若拋物線的頂點為D，直線CD交x軸于E.則x軸上的拋物線上是否存在點P，使S△PBE=15？yAEOBCDx面積

線段長

點的坐標

解析式2021/6/27152021/6/27162021/6/27171、拋物線如圖所示，試確定下列各式的符號：xOy-11a______0(2)

b______0(3)

c______0(4)a+b+c___0(5)a－b+c___0<>>><練習2021/6/27182、拋物線和直線可以在同一直角坐標系中的是（）xOyAxOyBxOyCxOyDA練習2021/6/27193、

已知拋物線y=2x2+2x－4，

則它的對稱軸為__________，頂點為

_______，與x軸的兩交點坐標為

__________，

與y軸的交點坐標為________。

（0,－4）2021/6/2720練習4、已知拋物線y=ax2+bx+c開口向下，并且經過A（0，1），M（2，-3）兩點。⑴若拋物線的對稱軸是直線x=-1，求此拋物線的解析式。⑵若拋物線的對稱軸在y軸的左側，求a的取值范圍。2021/6/2721歸納小結：

拋物線的對稱軸、頂點最值的求法：

二次函數拋物線與x軸、y軸的交點求法：二次函數圖象的畫法（五點法）

（1）配方法；（2）公式法對于拋物線y=a(x-h)2+k的平移有以下規律：(1)、平移不改變a的值；(2)、若沿x軸方向左右平移，不改變a,k

的值；(3)、若沿y軸方向上下平移，不改變a,h

的值。2021/6/2722課后練習：1．拋物線y=x2的圖象向左平移2個單位，再向下平移1個單位，則所得拋物線的解析式為（）A.y=x2+2x－2B.y=x2+2x+1C.y=x2－2x－1D.y=x2－2x+12．已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象如右圖所示，則一次函數y=ax+bc的圖象不經過（）

xyoA．第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2021/6/2723課后練習：3、已知以x為自變量的二次函數y=(m－2)x2+m2－m－2的圖象經過原點，則m=

，當x

時y隨x增大而減小.

4、函數y=2x2－7x+3頂點坐標為

.

5、拋物線y=x2+bx+c的頂點為（2，3），則b=

，c=

.

6、如果拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=—2，且開口方向，形狀與拋物線y=—x2相同，且過原點，那么a=

，b=

，c=

.

2021/6/27247．如圖二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過A、B、C三點，（1）觀察圖象，寫出A、B、C三點的坐標，并求出拋物線解析式，（2）求此拋物線的頂點坐標和對稱軸（3）觀察圖象，當x取何值時，y<0？y=0？y>0?

yxABO-145C課后練習：2021/6/27258、已知二次函數y=(m2－2)x2－4mx+n的圖象關于直線x=2對稱，且它的最高點在直線y=x+1上.（1）求此二次函數的解析式；（2）若此拋物線的開口方向不變，頂點在直線y=x+1上移動到點M時，圖象與x軸交于A、B兩點，且S△ABM=8，求此時的二次函數的解析式。課后練習：2021/6/2726二、拋物線與坐標軸的交點情況二次函數2021/6/2727二次函數知識要點6、對于二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），Δ=b2-4ac。當Δ>0時,拋物線與x軸有

個交點，這兩個交點的橫坐標是方程ax2+bx+c=0的兩個不相等的根。當Δ=0時,拋物線與x軸有

個交點。這時方程ax2+bx+c=0有兩個

的根。當Δ<0時，拋物線與x軸

交點。這時方程ax2+bx+c=0根的情況

。兩一無沒有實數根相等2021/6/27281、拋物線y=x2-2x-3與x軸分別交于A、B兩點，則AB的長為

.練一練2、直線y=－3x+2與拋物線y=x2－x+3的交點有

個，交點坐標為

。

3、拋物線y=x2+bx+4與x軸只有一個交點則b=

。

4一(-1,5)4或-42021/6/27294．二次函數y=x2-2(m+1)x+4m的圖象與x軸（）A、沒有交點B、只有一個交點C、只有兩個交點D、至少有一個交點練一練D2021/6/27305、已知二次函數

y=kx2－7x－7的圖象與x軸有交點，則k的取值范圍是

()A、k≥B、k≥C、k＞D、k＞B二次函數練一練2021/6/2731例題1、已知拋物線y=x2+ax+a-2.(1)證明:此拋物線與x軸總有兩個不同的交點;(2)求這兩個交點間的距離(用關于a的表達式來表達);(3)a取何值時,兩點間的距離最小?

2021/6/2732例題2、已知二次函數y=-x2+(m-2)x+m+1，（1）試說明：不論m取任何實數，這個二次函數的圖象必與x軸有兩個交點；（2）m為何值時，這兩個交點都在原點的左側？（3）若這個二次函數的圖象與x軸有兩個交點A(x1,0)、B(x2,0),且x1﹤0﹤x2,OA=OB，求m的值。

2021/6/27333、已知拋物線y＝ax2＋(b－1)x＋2.（1）若拋物線經過點（1,4）、（－1,－2）,求此拋物線的解析式;(2)若此拋物線與直線y＝x有兩個不同的交點P、Q,且點P、Q關于原點對稱.①求b的值;②請在橫線上填上一個符合條件的a的值：a＝

,并在此條件下畫出該函數的圖象.

例題2021/6/2734例題4、巳知：拋物線(1)求證；不論m取何值，拋物線與x軸必有兩個交點，并且有一個交點是A(2，0)；

(2)設拋物線與x軸的另一個交點為B，AB的長為d，求d與m之間的函數關系式；

(3)設d=10，P(a，b)為拋物線上一點：當⊿AＢＰ是直角三角形時，求b的值；

2021/6/2735練習：1、拋物線y=x2-（2m-1）x-6m與x軸交于（x1，0）和（x2，0）兩點，已知x1x2=x1+x2+49，要使拋物線經過原點，應將它向右平移

個單位。

2、拋物線y=x2+x+c與x軸的兩個交點坐標分別為(x1,0)，(x2,0)，若x12+x22=3，那么c值為

，拋物線的對稱軸為

．3、一條拋物線開口向下，并且與x軸的交點一個在點A（1，0）的左邊，一個在點A（1，0）的右邊，而與y軸的交點在x軸下方，寫出一個滿足條件的拋物線的函數關系式

．

2021/6/27364、已知二次函數y=-x2+(m-2)x+3(m+1)的圖象如圖所示．（1）當m≠-4時，說明這個二次函數的圖象與x軸必有兩個交點；（2）求m的取值范圍；（3）在（2）的情況下，若OA·OB=6，求C點坐標；

XyABCO2021/6/2737練習：5、已知二次函數y=kx2+(2k-1)x-1與x軸交點的橫坐標為x1、x2（x1﹤x2），則對于下列結論：①當x＝－2時，y＝1；②當x﹥x2時，y＞0；③方程kx2+(2k-1)x-1=0有兩個不相等的實數根x1、x2；④x1﹤-1，x2﹥-1；，其中所有正確的結論是

（只需填寫序號）．

2021/6/2738歸納小結：二次函數拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸的兩交點A、B的橫坐標x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個實數根。

拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點情況：△＞0拋物線與x軸有兩個交點；△＝0拋物線與x軸有一個交點△＜0拋物線與x軸無交點2021/6/27391．若拋物線y=ax2+bx+c的所有點都在x軸下方，則必有（）A、a﹥0,b2-4ac﹥0;B、a﹥0,b2-4ac﹤0;C、a﹤0,b2-4ac﹤0D、a﹤0,

b2-4ac﹥0.課后練習：2、已知拋物線=x2+2mx+m-7與x軸的兩個交點在點（1，0）兩旁，則關于x的方程x2+（m+1）x+m2+5=0的根的情況是（）（A）有兩個正根（B）有兩個負數根（C）有一正根和一個負根（D）無實數根。

2021/6/2740課后練習：4、設是拋物線與X軸的交點的橫坐標，求的值。5、二次函數的圖象與X軸交于A、B兩點，交Y軸于點C，頂點為D，則S△ABC=

,S△ABD=

。3、已知拋物線與x軸的兩個交點間的距離等于4,那么a=

。

2021/6/27416、已知拋物線y＝－x2＋mx－m＋2.（1）若拋物線與x軸的兩個交點A、B分別在原點的兩側，并且AB＝，試求m

的值；（2）設C為拋物線與y軸的交點，若拋物線上存在關于原點對稱的兩點M、N，并且△MNC的面積等于27，試求m的值

課后練習：2021/6/27427、已知拋物線交，交y軸的正半軸于C點，且。

（1）求拋物線的解析式；（2）是否存在與拋物線只有一個公共點C的直線。如果存在，求符合條件的直線的表達式；如果不存在，請說明理由

課后練習：2021/6/2743二次函數三、解析式的確定2021/6/2744回顧1、已知函數類型，求函數解析式的基本方法是：

。2、二次函數的表達式有三種：（1）一般式：

；（2）頂點式：

；（3）交點式：

。待定系數法Y=ax2+bx+c(a≠0)Y=a(x-h)2+k(a≠0)Y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)2021/6/2745例1.

選擇最優解法，求下列二次函數解析式已知二次函數的圖象過點(－1,－6)、(1，－2)和(2，3)．已知二次函數當x=1時，有最大值－6，且其圖象過點(2，－8)．已知拋物線與x軸交于點A(－1，0)、B(1，0)并經過點M(0，1)．1）設二次函數的解析式為2）設二次函數的解析式為3）設二次函數的解析式為解題策略：2021/6/2746例2、已知二次函數y=ax2+bx+c，當x=3時，函數取得最大值10，且它的圖象在x軸上截得的弦長為4，試求二次函數的關系式．2021/6/2747例3、已知：拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B，點B在點A的右側，與y軸交于點C（0，2），如圖。（1）請說明abc是正數還是負數。（2）若∠OCA=∠CBO，求此拋物線的解析式。ABOC2021/6/2748議一議想一想例4、已知拋物線C1的解析式是y＝－x2－2x＋m，

拋物線C2與拋物線C1關于y軸對稱。

(1)求拋物線C2的解析式；C2的解析式為：

y＝－(x－1)2＋1＋m

＝－x2＋2x＋m.yxOC1C2（－1,1＋m）（1,1＋m）2021/6/2749議一議想一想例4已知拋物線C1的解析式是y＝－x2－2x＋m，

拋物線C2與拋物線C1關于y軸對稱。

(1)求拋物線C2的解析式；

(2)當m為何值時,拋物線C1、C2與x軸有四個不同的交點；由拋物線C1與x軸有兩個交點，

得△1＞0，

即(－2)2－4×（－1）m＞0，

得m＞－1

由拋物線C2與x軸有兩個交點，

得△2＞0，

即(－2)2－4×（－1）m＞0，

得m＞－1

yxO當m=0時，C1、C2與x軸有一公共交點(0，0)，

因此m≠0

綜上所述m＞－1且m≠0。2021/6/2750議一議想一想例4已知拋物線C1的解析式是y＝－x2－2x＋m，

拋物線C2與拋物線C1關于y軸對稱。

(1)求拋物線C2的解析式；

(2)當m為何值時,拋物線C1、C2與x軸有四個不同的交點；

(3)若拋物線C1與x軸兩交點為A、B（點A在點B的左側），

拋物線C2與x軸的兩交點為C、D（點C在點D的左側）,

請你猜想AC＋BD的值，并驗證你的結論。解：設拋物線C1、C2與x軸的交點分別A(x1,0)、B(x2,0)、C(x3,0)、D(x4,0)yxOABCD則AC＋BD＝x3－x1＋x4－x2

＝(x3＋x4)－(x1＋x2)，于是AC＝x3－x1，BD＝x4－x2，∵x1＋x2＝－2，x3＋x4＝2，∴AC＋BD＝4。2021/6/2751有一個二次函數的圖象，三位學生分別說出了它的一些特點：甲：對稱軸是直線x=4；乙：與x軸兩個交點的橫坐標都是整數；丙：與y軸交點的縱坐標也是整數，且以這三個交點為頂點的三角形面積為3．請寫出滿足上述全部特點的一個二次函數的關系式．議一議2021/6/2752例5、某工廠大門是一拋物線型水泥建筑物，如圖所示，大門地面寬AB=4m，頂部C離地面高度為4．4m．現有一輛滿載貨物的汽車欲通過大門，貨物頂部距地面2．8m，裝貨寬度為2．4m．請判斷這輛汽車能否順利通過大門．2021/6/27531、已知二次函數的圖象經過點（1，0），（0，-2），（2，3）。求解析式。2、二次函數當x=3時，y有最大值-1，且圖象過（0，-3）點，求此二次函數解析式。3、已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象的對稱軸是直線x=2，圖象與x軸的兩個交點間的距離等于2，且圖象經過點（4，3）。求這個二次函數解析式。

練習2021/6/2754練習4、二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,如圖所示,AC=,BC=，∠ACB=90°,求二次函數圖象的關系式.

2021/6/27555、如圖，某大學的校門是一拋物線形水泥建筑物，大門的地面寬度為8m，兩側距地面4m高處各有一個掛校名橫匾用的鐵環，兩鐵環的水平距離為6m，則校門的高為多少m？（精確到0.1m，水泥建筑物厚度忽略不計）.xy2021/6/2756歸納小結：1、用待定系數法求二次函數解析式的一般步驟：（1）根據條件設出合理的表達式；（2）將已知條件轉化為方程或方程組，求出待定系數的值；（3）寫出函數解析式。2、二次函數的三種表達式：（1）一般式：

；（2）頂點式：

；（3）交點式：

。Y=ax2+bx+c(a≠0)Y=a(x-h)2+k(a≠0)Y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)2021/6/2757課后訓練：1、求出下列對應的二次函數的關系式（1）已知拋物線的對稱軸為直線x=2,且通過點（1，4）和（5，0）（2）已知拋物線的頂點為（3，-2），且與x軸兩交點間的距離為4．2、已知二次函數的圖象與一次函數的圖象有兩個公共點P（2，m）、Q（n，-8），如果拋物線的對稱軸是x=-1，求該二次函數的關系式．

2021/6/2758課后訓練：4．拋物線y=x2+2mx+n過點（2，4），且其頂點在直線y=2x+1上，求此二次函數的關系式。3．已知二次函數，當x=3時，函數取得最大值10，且它的圖象在x軸上截得的弦長為4，試求二次函數的關系式．

2021/6/27595、如圖拋物線與直線都經過坐標軸的正半軸上A(4,0)，B兩點，該拋物線的對稱軸x=—1，與x軸交于點C,且∠ABC=90°,求：(1)直線AB的解析式；(2)拋物線的解析式。

課后訓練：2021/6/27606、已知二次函數y=(m2－2)x2－4mx+n的圖象關于直線x=2對稱，且它的最高點在直線y=x+1上.（1）求此二次函數的解析式；（2）若此拋物線的開口方向不變，頂點在直線y=x+1上移動到點M時，圖象與x軸交于A、B兩點，且S△ABM=8，求此時的二次函數的解析式.課后訓練：2021/6/27617、如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A點坐標為(－8,0)，B點坐標為(2,0)，以AB的中點P為圓心，AB為直徑作⊙P與y軸的負半軸交于點C.(1)求圖象經過A、B、C三點的拋物線的解析式；(2)設M點為(1)中拋物線的頂點，求出頂點M的坐標和直線MC的解析式；(3)判定(2)中的直線MC與⊙P的位置關系，并說明理由.ABC0·Pyx課后訓練：2021/6/2762四、二次函數的應用二次函數2021/6/2763某市近年來經濟發展速度很快，根據統計：該市國內生產總值1990年為8.6億元人民幣，1995年為10.4億元人民幣，2000年為12.9億元人民幣.經論證：上述數據適合一個二次函數關系，請你根據這個函數關系，預測2005年該市國內生產總值將達到多少？

引例2021/6/2764函數應用題的解題模型實際問題分析、抽象、轉化解答數學問題數學模型二次函數2021/6/2765例1、如圖所示，某建筑工地準備利用一面舊墻建一個長方形儲料場，新建墻的總長為30米。

（1）如圖，設長方形的一條邊長為x米，則另一條邊長為多少米？

（2）設長方形的面積為y平方米，寫出y與x之間的關系式。

（3）若要使長方形的面積為72平方米，x應取多少米？x2021/6/2766例2、國家對某種產品的稅收標準原定每銷售１００元需繳稅８元（即稅率為８％），臺洲經濟開發區某工廠計劃銷售這種產品ｍ噸，每噸２０００元。國家為了減輕工人負擔，將稅收調整為每１００元繳稅（８－ｘ）元（即稅率為（８－ｘ）％），這樣工廠擴大了生產，實際銷售比原計劃增加２ｘ％。(1)寫出調整后稅款ｙ（元）與ｘ的函數關系式，指出ｘ的取值范圍；(2)要使調整后稅款等于原計劃稅款（銷售ｍ噸，稅率為８％）的７８％，求ｘ的值．

2021/6/2767某旅社有100張床位，每床每晚收費10元時，客床可全部租出．若每床每晚收費提高2元，則減少10張床位租出；若每床每晚收費再提高2元，則再減少10張床位租出．以每次提高2元的這種方法變化下去．為了投資少而獲利大，每床每晚應提高（）A、4元或6元B、4元C、6元D、8元練習12021/6/2768某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。為了擴大銷售，商場決定采取適當的降價措施。經調查發現，如果每件襯衫每降價一元，商場平均每天可多售出2件。問每件襯衫降價多少元時，商場平均每天盈利最多？最大盈利為多少？練習22021/6/2769xyo（1）求拱頂離橋面的高度。（2）若拱頂離水面的高度為27米，求橋的跨度。AB例3、有一個拋物線形的拱形橋，建立如圖所示的直角坐標系后，拋物線的解析式為y＝－x2－1。2021/6/2770例4.

改革開放后，不少農村用上自動噴灌設備，如圖所示，設水管AB高出地面1.5m，在B處有一個自動旋轉的噴頭。一瞬間，噴出水流呈拋物線狀，噴頭B與水流最高點C的連線與水平面成45°角，水流最高點C比噴頭高出2m，在所建的坐標系中，求水流的落地點D到A點的距離是多少米。AyBOCFDEx作CF⊥AD于F，作BE⊥CF于E，連結BC，易知OF=BE=CE=2，EF=OB=1.5，CF=2+1.5=3.5，∴B(0,1.5)，C(2,3.5).設所求拋物線的解析式為：y=a(x－2)2+3.5當x=0時，y=1.5，即a(0－2)2+3.5=1.5，(舍)，二次函數2021/6/2771某幢建筑物，從10米高的窗口A用水管向外噴水，噴出的水呈拋物線狀（拋物線所在平面與墻面垂直，如圖建立平面直角坐標系）如果拋物線的最高點M離墻1米，離地面米，求水流落地點B離墻的距離OB是多少米？OxyABM頂點坐標（1，）過點（0，10）解析式：令y=0,x=-1,x=3OB=3米∴練習32021/6/2772OyABx某跳水運動員進行10米跳臺跳水訓練時，身體（看成一點）在空中的運動路線是如圖所示坐標系下經過原點O的一條拋物線，在跳某個規定動作時，正常情況下，該運動員在空中的最高處距水面米，入水處距池邊的距離為5米，同時，運動員在距水面5米以前，必須完成規定的翻騰動作并調整好入水姿勢，否則就會出現失誤。（1）求這條拋物線的解析式；（2在某次試跳中，測得運動員在空中的運動路線是（1）中的拋物線，且運動員在空中調整好入水姿勢時，距池邊的水平距離為米，問此次跳水會不會失誤？并能過計算說明理由？

10m3m跳臺支柱練習42021/6/2773某瓜果基地市場部為指導該基地某種蔬菜的生產和銷售，對今年這種蔬菜上市后的市場售價和生產成本進行了預測，提供了兩方面的信息（如甲乙兩圖）。其中生產成本六月份最低。甲圖的圖象是線段，乙圖的圖象是拋物線。5336售價3416成本月份月份練習52021/6/2774請根據圖象提供的信息說明解決下列問題：

（1）在三月份出售這種蔬菜，每千克的收益是多少？

（2）哪個月出售這種蔬菜，每千克的收益最大？最大收益是多少？3416成本月份月份5336售價2021/6/2775B例5、如圖，在矩形ABCD的邊上，截取AH=AG=CE=CF=x，已知：A