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文檔簡介
課題:二次函數復習圖象與性質解析式的確定2021/6/271一、圖象與性質二次函數2021/6/272二次函數知識要點≠0ax2+bx+c21、二次函數的定義:形如“y=
(a、b、c為常數,a
)”的函數叫二次函數。即,自變量x的最高次項為
次。
2、二次函數的解析式有三種形式:⑴一般式為
;⑵頂點式為
。其中,頂點坐標是(
),對稱軸是
;⑶交點式為
。其中x1,x2分別是拋物線與x軸兩交點的橫坐標。
y=ax2+bx+cy=a(x-h)2+kh,kx=h的直線y=a(x-x1)(x-x2)2021/6/2733、圖象的平移規律:正—上左,負—下右;位變形不變。對于拋物線y=a(x-h)2+k的平移有以下規律:(1)、平移不改變a的值;(2)、若沿x軸方向左右平移,不改變a,k
的值;(3)、若沿y軸方向上下平移,不改變a,h
的值。2021/6/2744、
向上
向下大2021/6/2755、對于二次函數y=ax2+bx+c(a≠0),⑴a決定圖象的
。當a>0時,開口向
,當a<0時,開口向
。⑵c決定圖象與
軸的交點的
坐標。若c=0,則拋物線過
點。若c>0或c<0呢?⑶a、b共同決定對稱軸,當a、b同號,對稱軸在y軸的
側,當a、b異號呢?當b=0呢?二次函數知識要點開口方向上下左y縱原-2021/6/276
1、二次函數y=x2-8x+12圖象的開口向
,
對稱軸是
,頂點坐標為
。小練習:直線x=4(4,-4)上2、二次函數y=-3(x-1)2+5的圖象開口向
,對稱軸是
,當x=
時函數有最
值為
。當x
時,y隨x的增大而增大。下直線x=1<11大52021/6/2774、函數
的頂點坐標是
,對稱軸
。
3、拋物線向上平移2個單位,向左平移3個單位,所得解析式是
。開口方向
,
當x
時,y隨x的增大而增大當x
時,y隨x的增大而減小當x
時,y有最大值或最小最,最大或最小值是
。拋物線與x軸交點坐標為
,拋物線與y軸的交點坐標為
。2021/6/278ACxyoACxyoBB5、根據下列圖象確定二次函數y=ax2+bx+c中a,b,c的符號。(1)a>0;b>0;c<0(2)a<0;b﹥0;c﹥02021/6/279例題(3)當x>0時,y隨x的增大而減小.xOy2021/6/2710例2:已知二次函數y=x2-x+c。
⑴求它的圖象的開口方向、頂點坐標和對稱軸;⑵c取何值時,頂點在x軸上?⑶若此函數的圖象過原點,求此函數的解析式,并判斷x取何值時y隨x的增大而減小。例題2021/6/2711解:⑴∵函數y=X2-X+C中,a=1﹥0,∴此拋物線的開口向上。根據頂點的坐標公式x=-時,y=
∴頂點坐標是(,)。對稱軸是x=。2021/6/2712例題(1)直線
x=2,(2,-9)(2)A(-1,0)
B(5,0)
C(0,-5)(3)27例4
已知二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點,頂點為D點.
(1)求出拋物線的對稱軸和頂點坐標;(2)求出A、B、C的坐標;(3)求△DAB的面積.xOyABCD2021/6/2713解析式點的坐標線段長面積例題解答2021/6/2714例題例4已知拋物線與x軸交于點A(-1,0)和B(3,0),與y軸交于點C,C在y軸的正半軸上,
S△ABC為8.(1)求這個二次函數的解析式;(2)若拋物線的頂點為D,直線CD交x軸于E.則x軸上的拋物線上是否存在點P,使S△PBE=15?yAEOBCDx面積
線段長
點的坐標
解析式2021/6/27152021/6/27162021/6/27171、拋物線如圖所示,試確定下列各式的符號:xOy-11a______0(2)
b______0(3)
c______0(4)a+b+c___0(5)a-b+c___0<>>><練習2021/6/27182、拋物線和直線可以在同一直角坐標系中的是()xOyAxOyBxOyCxOyDA練習2021/6/27193、
已知拋物線y=2x2+2x-4,
則它的對稱軸為__________,頂點為
_______,與x軸的兩交點坐標為
__________,
與y軸的交點坐標為________。
(0,-4)2021/6/2720練習4、已知拋物線y=ax2+bx+c開口向下,并且經過A(0,1),M(2,-3)兩點。⑴若拋物線的對稱軸是直線x=-1,求此拋物線的解析式。⑵若拋物線的對稱軸在y軸的左側,求a的取值范圍。2021/6/2721歸納小結:
拋物線的對稱軸、頂點最值的求法:
二次函數拋物線與x軸、y軸的交點求法:二次函數圖象的畫法(五點法)
(1)配方法;(2)公式法對于拋物線y=a(x-h)2+k的平移有以下規律:(1)、平移不改變a的值;(2)、若沿x軸方向左右平移,不改變a,k
的值;(3)、若沿y軸方向上下平移,不改變a,h
的值。2021/6/2722課后練習:1.拋物線y=x2的圖象向左平移2個單位,再向下平移1個單位,則所得拋物線的解析式為()A.y=x2+2x-2B.y=x2+2x+1C.y=x2-2x-1D.y=x2-2x+12.已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象如右圖所示,則一次函數y=ax+bc的圖象不經過()
xyoA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2021/6/2723課后練習:3、已知以x為自變量的二次函數y=(m-2)x2+m2-m-2的圖象經過原點,則m=
,當x
時y隨x增大而減小.
4、函數y=2x2-7x+3頂點坐標為
.
5、拋物線y=x2+bx+c的頂點為(2,3),則b=
,c=
.
6、如果拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=—2,且開口方向,形狀與拋物線y=—x2相同,且過原點,那么a=
,b=
,c=
.
2021/6/27247.如圖二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過A、B、C三點,(1)觀察圖象,寫出A、B、C三點的坐標,并求出拋物線解析式,(2)求此拋物線的頂點坐標和對稱軸(3)觀察圖象,當x取何值時,y<0?y=0?y>0?
yxABO-145C課后練習:2021/6/27258、已知二次函數y=(m2-2)x2-4mx+n的圖象關于直線x=2對稱,且它的最高點在直線y=x+1上.(1)求此二次函數的解析式;(2)若此拋物線的開口方向不變,頂點在直線y=x+1上移動到點M時,圖象與x軸交于A、B兩點,且S△ABM=8,求此時的二次函數的解析式。課后練習:2021/6/2726二、拋物線與坐標軸的交點情況二次函數2021/6/2727二次函數知識要點6、對于二次函數y=ax2+bx+c(a≠0),Δ=b2-4ac。當Δ>0時,拋物線與x軸有
個交點,這兩個交點的橫坐標是方程ax2+bx+c=0的兩個不相等的根。當Δ=0時,拋物線與x軸有
個交點。這時方程ax2+bx+c=0有兩個
的根。當Δ<0時,拋物線與x軸
交點。這時方程ax2+bx+c=0根的情況
。兩一無沒有實數根相等2021/6/27281、拋物線y=x2-2x-3與x軸分別交于A、B兩點,則AB的長為
.練一練2、直線y=-3x+2與拋物線y=x2-x+3的交點有
個,交點坐標為
。
3、拋物線y=x2+bx+4與x軸只有一個交點則b=
。
4一(-1,5)4或-42021/6/27294.二次函數y=x2-2(m+1)x+4m的圖象與x軸()A、沒有交點B、只有一個交點C、只有兩個交點D、至少有一個交點練一練D2021/6/27305、已知二次函數
y=kx2-7x-7的圖象與x軸有交點,則k的取值范圍是
()A、k≥B、k≥C、k>D、k>B二次函數練一練2021/6/2731例題1、已知拋物線y=x2+ax+a-2.(1)證明:此拋物線與x軸總有兩個不同的交點;(2)求這兩個交點間的距離(用關于a的表達式來表達);(3)a取何值時,兩點間的距離最小?
2021/6/2732例題2、已知二次函數y=-x2+(m-2)x+m+1,(1)試說明:不論m取任何實數,這個二次函數的圖象必與x軸有兩個交點;(2)m為何值時,這兩個交點都在原點的左側?(3)若這個二次函數的圖象與x軸有兩個交點A(x1,0)、B(x2,0),且x1﹤0﹤x2,OA=OB,求m的值。
2021/6/27333、已知拋物線y=ax2+(b-1)x+2.(1)若拋物線經過點(1,4)、(-1,-2),求此拋物線的解析式;(2)若此拋物線與直線y=x有兩個不同的交點P、Q,且點P、Q關于原點對稱.①求b的值;②請在橫線上填上一個符合條件的a的值:a=
,并在此條件下畫出該函數的圖象.
例題2021/6/2734例題4、巳知:拋物線(1)求證;不論m取何值,拋物線與x軸必有兩個交點,并且有一個交點是A(2,0);
(2)設拋物線與x軸的另一個交點為B,AB的長為d,求d與m之間的函數關系式;
(3)設d=10,P(a,b)為拋物線上一點:當⊿ABP是直角三角形時,求b的值;
2021/6/2735練習:1、拋物線y=x2-(2m-1)x-6m與x軸交于(x1,0)和(x2,0)兩點,已知x1x2=x1+x2+49,要使拋物線經過原點,應將它向右平移
個單位。
2、拋物線y=x2+x+c與x軸的兩個交點坐標分別為(x1,0),(x2,0),若x12+x22=3,那么c值為
,拋物線的對稱軸為
.3、一條拋物線開口向下,并且與x軸的交點一個在點A(1,0)的左邊,一個在點A(1,0)的右邊,而與y軸的交點在x軸下方,寫出一個滿足條件的拋物線的函數關系式
.
2021/6/27364、已知二次函數y=-x2+(m-2)x+3(m+1)的圖象如圖所示.(1)當m≠-4時,說明這個二次函數的圖象與x軸必有兩個交點;(2)求m的取值范圍;(3)在(2)的情況下,若OA·OB=6,求C點坐標;
XyABCO2021/6/2737練習:5、已知二次函數y=kx2+(2k-1)x-1與x軸交點的橫坐標為x1、x2(x1﹤x2),則對于下列結論:①當x=-2時,y=1;②當x﹥x2時,y>0;③方程kx2+(2k-1)x-1=0有兩個不相等的實數根x1、x2;④x1﹤-1,x2﹥-1;,其中所有正確的結論是
(只需填寫序號).
2021/6/2738歸納小結:二次函數拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸的兩交點A、B的橫坐標x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個實數根。
拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點情況:△>0拋物線與x軸有兩個交點;△=0拋物線與x軸有一個交點△<0拋物線與x軸無交點2021/6/27391.若拋物線y=ax2+bx+c的所有點都在x軸下方,則必有()A、a﹥0,b2-4ac﹥0;B、a﹥0,b2-4ac﹤0;C、a﹤0,b2-4ac﹤0D、a﹤0,
b2-4ac﹥0.課后練習:2、已知拋物線=x2+2mx+m-7與x軸的兩個交點在點(1,0)兩旁,則關于x的方程x2+(m+1)x+m2+5=0的根的情況是()(A)有兩個正根(B)有兩個負數根(C)有一正根和一個負根(D)無實數根。
2021/6/2740課后練習:4、設是拋物線與X軸的交點的橫坐標,求的值。5、二次函數的圖象與X軸交于A、B兩點,交Y軸于點C,頂點為D,則S△ABC=
,S△ABD=
。3、已知拋物線與x軸的兩個交點間的距離等于4,那么a=
。
2021/6/27416、已知拋物線y=-x2+mx-m+2.(1)若拋物線與x軸的兩個交點A、B分別在原點的兩側,并且AB=,試求m
的值;(2)設C為拋物線與y軸的交點,若拋物線上存在關于原點對稱的兩點M、N,并且△MNC的面積等于27,試求m的值
課后練習:2021/6/27427、已知拋物線交,交y軸的正半軸于C點,且。
(1)求拋物線的解析式;(2)是否存在與拋物線只有一個公共點C的直線。如果存在,求符合條件的直線的表達式;如果不存在,請說明理由
課后練習:2021/6/2743二次函數三、解析式的確定2021/6/2744回顧1、已知函數類型,求函數解析式的基本方法是:
。2、二次函數的表達式有三種:(1)一般式:
;(2)頂點式:
;(3)交點式:
。待定系數法Y=ax2+bx+c(a≠0)Y=a(x-h)2+k(a≠0)Y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)2021/6/2745例1.
選擇最優解法,求下列二次函數解析式已知二次函數的圖象過點(-1,-6)、(1,-2)和(2,3).已知二次函數當x=1時,有最大值-6,且其圖象過點(2,-8).已知拋物線與x軸交于點A(-1,0)、B(1,0)并經過點M(0,1).1)設二次函數的解析式為2)設二次函數的解析式為3)設二次函數的解析式為解題策略:2021/6/2746例2、已知二次函數y=ax2+bx+c,當x=3時,函數取得最大值10,且它的圖象在x軸上截得的弦長為4,試求二次函數的關系式.2021/6/2747例3、已知:拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點A(1,0)和點B,點B在點A的右側,與y軸交于點C(0,2),如圖。(1)請說明abc是正數還是負數。(2)若∠OCA=∠CBO,求此拋物線的解析式。ABOC2021/6/2748議一議想一想例4、已知拋物線C1的解析式是y=-x2-2x+m,
拋物線C2與拋物線C1關于y軸對稱。
(1)求拋物線C2的解析式;C2的解析式為:
y=-(x-1)2+1+m
=-x2+2x+m.yxOC1C2(-1,1+m)(1,1+m)2021/6/2749議一議想一想例4已知拋物線C1的解析式是y=-x2-2x+m,
拋物線C2與拋物線C1關于y軸對稱。
(1)求拋物線C2的解析式;
(2)當m為何值時,拋物線C1、C2與x軸有四個不同的交點;由拋物線C1與x軸有兩個交點,
得△1>0,
即(-2)2-4×(-1)m>0,
得m>-1
由拋物線C2與x軸有兩個交點,
得△2>0,
即(-2)2-4×(-1)m>0,
得m>-1
yxO當m=0時,C1、C2與x軸有一公共交點(0,0),
因此m≠0
綜上所述m>-1且m≠0。2021/6/2750議一議想一想例4已知拋物線C1的解析式是y=-x2-2x+m,
拋物線C2與拋物線C1關于y軸對稱。
(1)求拋物線C2的解析式;
(2)當m為何值時,拋物線C1、C2與x軸有四個不同的交點;
(3)若拋物線C1與x軸兩交點為A、B(點A在點B的左側),
拋物線C2與x軸的兩交點為C、D(點C在點D的左側),
請你猜想AC+BD的值,并驗證你的結論。解:設拋物線C1、C2與x軸的交點分別A(x1,0)、B(x2,0)、C(x3,0)、D(x4,0)yxOABCD則AC+BD=x3-x1+x4-x2
=(x3+x4)-(x1+x2),于是AC=x3-x1,BD=x4-x2,∵x1+x2=-2,x3+x4=2,∴AC+BD=4。2021/6/2751有一個二次函數的圖象,三位學生分別說出了它的一些特點:甲:對稱軸是直線x=4;乙:與x軸兩個交點的橫坐標都是整數;丙:與y軸交點的縱坐標也是整數,且以這三個交點為頂點的三角形面積為3.請寫出滿足上述全部特點的一個二次函數的關系式.議一議2021/6/2752例5、某工廠大門是一拋物線型水泥建筑物,如圖所示,大門地面寬AB=4m,頂部C離地面高度為4.4m.現有一輛滿載貨物的汽車欲通過大門,貨物頂部距地面2.8m,裝貨寬度為2.4m.請判斷這輛汽車能否順利通過大門.2021/6/27531、已知二次函數的圖象經過點(1,0),(0,-2),(2,3)。求解析式。2、二次函數當x=3時,y有最大值-1,且圖象過(0,-3)點,求此二次函數解析式。3、已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象的對稱軸是直線x=2,圖象與x軸的兩個交點間的距離等于2,且圖象經過點(4,3)。求這個二次函數解析式。
練習2021/6/2754練習4、二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,如圖所示,AC=,BC=,∠ACB=90°,求二次函數圖象的關系式.
2021/6/27555、如圖,某大學的校門是一拋物線形水泥建筑物,大門的地面寬度為8m,兩側距地面4m高處各有一個掛校名橫匾用的鐵環,兩鐵環的水平距離為6m,則校門的高為多少m?(精確到0.1m,水泥建筑物厚度忽略不計).xy2021/6/2756歸納小結:1、用待定系數法求二次函數解析式的一般步驟:(1)根據條件設出合理的表達式;(2)將已知條件轉化為方程或方程組,求出待定系數的值;(3)寫出函數解析式。2、二次函數的三種表達式:(1)一般式:
;(2)頂點式:
;(3)交點式:
。Y=ax2+bx+c(a≠0)Y=a(x-h)2+k(a≠0)Y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)2021/6/2757課后訓練:1、求出下列對應的二次函數的關系式(1)已知拋物線的對稱軸為直線x=2,且通過點(1,4)和(5,0)(2)已知拋物線的頂點為(3,-2),且與x軸兩交點間的距離為4.2、已知二次函數的圖象與一次函數的圖象有兩個公共點P(2,m)、Q(n,-8),如果拋物線的對稱軸是x=-1,求該二次函數的關系式.
2021/6/2758課后訓練:4.拋物線y=x2+2mx+n過點(2,4),且其頂點在直線y=2x+1上,求此二次函數的關系式。3.已知二次函數,當x=3時,函數取得最大值10,且它的圖象在x軸上截得的弦長為4,試求二次函數的關系式.
2021/6/27595、如圖拋物線與直線都經過坐標軸的正半軸上A(4,0),B兩點,該拋物線的對稱軸x=—1,與x軸交于點C,且∠ABC=90°,求:(1)直線AB的解析式;(2)拋物線的解析式。
課后訓練:2021/6/27606、已知二次函數y=(m2-2)x2-4mx+n的圖象關于直線x=2對稱,且它的最高點在直線y=x+1上.(1)求此二次函數的解析式;(2)若此拋物線的開口方向不變,頂點在直線y=x+1上移動到點M時,圖象與x軸交于A、B兩點,且S△ABM=8,求此時的二次函數的解析式.課后訓練:2021/6/27617、如圖,在平面直角坐標系中,O為坐標原點,A點坐標為(-8,0),B點坐標為(2,0),以AB的中點P為圓心,AB為直徑作⊙P與y軸的負半軸交于點C.(1)求圖象經過A、B、C三點的拋物線的解析式;(2)設M點為(1)中拋物線的頂點,求出頂點M的坐標和直線MC的解析式;(3)判定(2)中的直線MC與⊙P的位置關系,并說明理由.ABC0·Pyx課后訓練:2021/6/2762四、二次函數的應用二次函數2021/6/2763某市近年來經濟發展速度很快,根據統計:該市國內生產總值1990年為8.6億元人民幣,1995年為10.4億元人民幣,2000年為12.9億元人民幣.經論證:上述數據適合一個二次函數關系,請你根據這個函數關系,預測2005年該市國內生產總值將達到多少?
引例2021/6/2764函數應用題的解題模型實際問題分析、抽象、轉化解答數學問題數學模型二次函數2021/6/2765例1、如圖所示,某建筑工地準備利用一面舊墻建一個長方形儲料場,新建墻的總長為30米。
(1)如圖,設長方形的一條邊長為x米,則另一條邊長為多少米?
(2)設長方形的面積為y平方米,寫出y與x之間的關系式。
(3)若要使長方形的面積為72平方米,x應取多少米?x2021/6/2766例2、國家對某種產品的稅收標準原定每銷售100元需繳稅8元(即稅率為8%),臺洲經濟開發區某工廠計劃銷售這種產品m噸,每噸2000元。國家為了減輕工人負擔,將稅收調整為每100元繳稅(8-x)元(即稅率為(8-x)%),這樣工廠擴大了生產,實際銷售比原計劃增加2x%。(1)寫出調整后稅款y(元)與x的函數關系式,指出x的取值范圍;(2)要使調整后稅款等于原計劃稅款(銷售m噸,稅率為8%)的78%,求x的值.
2021/6/2767某旅社有100張床位,每床每晚收費10元時,客床可全部租出.若每床每晚收費提高2元,則減少10張床位租出;若每床每晚收費再提高2元,則再減少10張床位租出.以每次提高2元的這種方法變化下去.為了投資少而獲利大,每床每晚應提高()A、4元或6元B、4元C、6元D、8元練習12021/6/2768某商場銷售一批名牌襯衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元。為了擴大銷售,商場決定采取適當的降價措施。經調查發現,如果每件襯衫每降價一元,商場平均每天可多售出2件。問每件襯衫降價多少元時,商場平均每天盈利最多?最大盈利為多少?練習22021/6/2769xyo(1)求拱頂離橋面的高度。(2)若拱頂離水面的高度為27米,求橋的跨度。AB例3、有一個拋物線形的拱形橋,建立如圖所示的直角坐標系后,拋物線的解析式為y=-x2-1。2021/6/2770例4.
改革開放后,不少農村用上自動噴灌設備,如圖所示,設水管AB高出地面1.5m,在B處有一個自動旋轉的噴頭。一瞬間,噴出水流呈拋物線狀,噴頭B與水流最高點C的連線與水平面成45°角,水流最高點C比噴頭高出2m,在所建的坐標系中,求水流的落地點D到A點的距離是多少米。AyBOCFDEx作CF⊥AD于F,作BE⊥CF于E,連結BC,易知OF=BE=CE=2,EF=OB=1.5,CF=2+1.5=3.5,∴B(0,1.5),C(2,3.5).設所求拋物線的解析式為:y=a(x-2)2+3.5當x=0時,y=1.5,即a(0-2)2+3.5=1.5,(舍),二次函數2021/6/2771某幢建筑物,從10米高的窗口A用水管向外噴水,噴出的水呈拋物線狀(拋物線所在平面與墻面垂直,如圖建立平面直角坐標系)如果拋物線的最高點M離墻1米,離地面米,求水流落地點B離墻的距離OB是多少米?OxyABM頂點坐標(1,)過點(0,10)解析式:令y=0,x=-1,x=3OB=3米∴練習32021/6/2772OyABx某跳水運動員進行10米跳臺跳水訓練時,身體(看成一點)在空中的運動路線是如圖所示坐標系下經過原點O的一條拋物線,在跳某個規定動作時,正常情況下,該運動員在空中的最高處距水面米,入水處距池邊的距離為5米,同時,運動員在距水面5米以前,必須完成規定的翻騰動作并調整好入水姿勢,否則就會出現失誤。(1)求這條拋物線的解析式;(2在某次試跳中,測得運動員在空中的運動路線是(1)中的拋物線,且運動員在空中調整好入水姿勢時,距池邊的水平距離為米,問此次跳水會不會失誤?并能過計算說明理由?
10m3m跳臺支柱練習42021/6/2773某瓜果基地市場部為指導該基地某種蔬菜的生產和銷售,對今年這種蔬菜上市后的市場售價和生產成本進行了預測,提供了兩方面的信息(如甲乙兩圖)。其中生產成本六月份最低。甲圖的圖象是線段,乙圖的圖象是拋物線。5336售價3416成本月份月份練習52021/6/2774請根據圖象提供的信息說明解決下列問題:
(1)在三月份出售這種蔬菜,每千克的收益是多少?
(2)哪個月出售這種蔬菜,每千克的收益最大?最大收益是多少?3416成本月份月份5336售價2021/6/2775B例5、如圖,在矩形ABCD的邊上,截取AH=AG=CE=CF=x,已知:A
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