課時規范練34基礎鞏固組1.能旋轉形成如圖所示的幾何體的平面圖形是()答案:A解析:此幾何體自上向下是由一個圓錐、兩個圓臺和一個圓柱構成,是由A中的平面圖形旋轉形成的.故選A.2.(2024·廣東潮州二模)已知一個圓柱的軸截面為正方形,且它的側面積為36π,則該圓柱的體積為()A.16π B.27π C.36π D.54π答案:D解析:設圓柱底面半徑為R,高為h,則h=2R,2πRh=36π,解得3.(2024·廣東深圳二模)已知一個球的表面積在數值上是它的體積的3倍,則這個球的半徑是()A.2 B.2 C.3 D.3答案:D解析:設球的半徑為R,則依據球的表面積公式和體積公式,可得4πR2=43πR3×3,化簡得R=34.(2024·福建福州格致中學模擬)已知一個直三棱柱的高為2,其底面ABC水平放置的直觀圖為A'B'C',如圖所示,其中O'A'=O'B'=O'C'=1,則此三棱柱的表面積為()A.4+42 B.8+42 C.8+45 D.8+85答案:C解析:由斜二測畫法可得底面的平面圖如圖所示,其中OA=2OB=2OC=2,所以AB=AC=5,所以此三棱柱的表面積S=2×12×2×2+(2+25)×2=8+455.(2024·山東菏澤一模)如圖1,在高為h的直三棱柱容器ABC-A1B1C1中,AB=AC=2,AB⊥AC.現往該容器內灌進一些水,水深為2,然后固定容器底面的一邊AB于地面上,再將容器傾斜,當傾斜到某一位置時,水面恰好為A1B1C(如圖2),則容器的高h為()圖1圖2A.3 B.4 C.42 D.6答案:A解析:在圖1中V水=12×2×2×2=4,在圖2中,V水=VABC-A1B1C1-VC-A1B6.(2024·廣東佛山二模)如圖,某幾何體由共底面的圓錐和圓柱組合而成,且圓柱的兩個底面圓周和圓錐的頂點均在體積為36π的球的球面上,若圓柱的高為2,則圓錐的側面積為()A.26π B.46π C.16π D.16答案:B解析:依題意,作球的剖面圖,其中,O是球心,E是圓錐的頂點,EC是圓錐的母線.設球的半徑為R,則43πR3=36π,R=3.∵圓柱的高為2,∴OD=1,DE=3-1=2,DC=32-12=22,母線EC=22+8=23.∴圓錐的側面積S=12·EC·2π·DC=12×237.(2024·全國甲,理9)甲、乙兩個圓錐的母線長相等,側面綻開圖的圓心角之和為2π,側面積分別為S甲和S乙,體積分別為V甲和V乙.若S甲S乙=2,則V甲A.5 B.22 C.10 D.5答案:C解析:如圖,甲、乙兩個圓錐的側面綻開圖剛好拼成一個圓,設圓的半徑(即圓錐的母線長)為3,則圓的周長為6π,甲、乙兩個圓錐的底面半徑分別為r1,r2,高分別為h1,h2,則2πr1=4π,2πr2=2π,則r1=2,r2=1,由勾股定理得,h1=5,h2=22,所以V甲V乙8.(多選)(2024·廣東廣州高三檢測)某班級到一工廠參與社會實踐勞動,加工出如圖所示的圓臺O1O2,在軸截面ABCD中,AB=AD=BC=2cm,且CD=2AB,則()A.該圓臺的高為1cmB.該圓臺軸截面面積為33cm2C.該圓臺的體積為73πD.一只小蟲從點C沿著該圓臺的側面爬行到AD的中點,所經過的最短路程為5cm答案:BCD解析:如圖,作BE⊥CD交CD于點E,易得CE=CD-AB2=1,則BE=2圓臺的軸截面面積為12×(2+4)×3=33(cm2),故B正確;圓臺的體積為13×3×(π+4π+π·4π)=73π3(cm3),故C正確;由圓臺補成圓錐,可得大圓錐的母線長為4cm,底面半徑為2cm,側面綻開圖的圓心角θ=2π·24=π,設P為AD的中點,連接CP,可得∠COD=π2,9.(2024·湖南長沙一中高三檢測)在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分別為棱AB,BC,CD,DA的中點,將該正方體挖去兩個四分之一圓錐,得到如圖所示的幾何體,則該幾何體的體積為.

答案:8-π解析:∵該幾何體為正方體挖去兩個四分之一圓錐,圓錐底面圓半徑R=1,高h=2,∴該幾何體的體積V=23-12×13×π×12×2=10.(2024·福建漳州一模)某中學開展勞動實習,學習加工制作包裝盒.現將一張足夠用的正方形硬紙片加工制作成軸截面的頂角為60°,高為6的圓錐形包裝盒,若在該包裝盒中放入一個球形冰淇淋(內切),則該球形冰淇淋的表面積為.

答案:16π解析:如圖,由題意知,∠BAC=60°,AO1=6,故在Rt△AO1C中,AC=43,O1C=23.設內切球球心為O,半徑為R,則OD=OO1=R.在Rt△ADO中,∠OAD=30°,所以2R=6-R,解得R=2.所以該球形冰淇淋的表面積S=4πR2=16π.綜合提升組11.(2024·山東青島二模)《九章算術》中記錄的“羨除”是算學和建筑學術語,指的是一段類似隧道形態的幾何體.如圖,羨除ABCDEF中,底面ABCD是正方形,EF∥平面ABCD,EF=2,其余棱長都為1,則這個幾何體的外接球的體積為()A.2π3 B.4π答案:B解析:連接AC,BD交于點M,取EF的中點O,連接OM,則OM⊥平面ABCD,取BC的中點G,連接FG,作GH⊥EF,垂足為H,如圖所示.由題意可知,HF=12,FG=32,所以HG=FG2-HF2=22,所以OM=HG=22.又AM=22,所以OA=OM2+AM12.(2024·山東泰安三模)如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形,AA1⊥底面ABC,AC=BC=2,AA1=4,點D在上底面A1B1C1(包括邊界)上運動,則三棱錐D-ABC的外接球表面積的最大值為()A.81π4 B.24π C.243π答案:B解析:因為△ABC為等腰直角三角形,AC=BC=2,所以△ABC的外接圓的圓心為AB的中點O1,且AO1=2.連接O1與A1B1的中點E,則O1E∥AA1,所以O1E⊥平面ABC.設球的球心為O,由球的截面性質可得O在O1E上,設OO1=x,DE=t(0≤t≤2),球的半徑為R.因為OA=OD=R,所以2+x2=(4-x)2+t2,所以t2=8x-14.又0≤t≤2,所以74≤x≤2.因為R213.(多選)(2024·山東濱州二模)在邊長為4的正方形ABCD中,如圖1所示,E,F,M分別為BC,CD,BE的中點,分別沿AE,AF及EF所在直線把△AEB,△AFD和△EFC折起,使B,C,D三點重合于點P,得到三棱錐P-AEF,如圖2所示,則下列結論正確的是()圖1圖2A.PA⊥EFB.三棱錐M-AEF的體積為4C.三棱錐P-AEF外接球的表面積為24πD.過點M的平面截三棱錐P-AEF的外接球所得截面的面積的取值范圍為[π,6π]答案:ACD解析:由題意,將三棱錐補形為長方體,其中PA=4,PE=2,PF=2,如圖所示.對于A,因為AP⊥PE,AP⊥PF,PE∩PF=P,PE,PF?平面PEF,所以AP⊥平面PEF,又EF?平面PEF,所以PA⊥EF,故A正確;對于B,因為M為PE的中點,所以VM-AEF=12VP-AEF=12VA-PEF=12×13×12×2×2×4=43,故B錯誤;對于C,三棱錐P-AEF的外接球即為補形后長方體的外接球,所以外接球的直徑2R=22+22+42=26,所以三棱錐P-AEF外接球的表面積為S=4πR2=24π,故C正確;對于D,過點M的平面截三棱錐P-AEF的外接球所得截面為圓,其中最大截面為過球心O的大圓,此時截面圓的面積為πR2=π(6)2=6π,最小截面為過點M且垂直于球心O與14.十字貫穿體(如圖1)是美術素描學習中一種常見的教具.如圖2,該十字貫穿體由兩個全等的正四棱柱組合而成,且兩個四棱柱的側棱相互垂直,若底面正方形邊長為2,則這兩個正四棱柱公共部分所構成的幾何體的內切球的體積為.

圖1圖2答案:4解析:該幾何體的直觀圖如圖所示,這兩個正四棱柱公共部分所構成的幾何體為兩個全等的四棱錐S-ABCD和P-ABCD.設內切球的半徑為R,AC的中點為H,由題意,H為內切球的球心,連接BH,SH,可知SH即為四棱錐S-ABCD的高,在Rt△ABH中,BH=AB2-AH2=6-2=2.又AC=SB=22,∴S四邊形ABCD=12×22×2×2=42.又BH=SH,∴VS-ABCD=13SH·S四邊形ABCD=13×2×42=823.由八個側面的面積均為22創新應用組15.如圖,“十字歇山”是由兩個直三棱柱重疊后的景象,重疊后的底面為正方形,直三棱柱的底面是頂角為120°,腰為3的等腰三角形,則該幾何體的體積為()A.23 B.24 C.26 D.27答案:D解析:該幾何體由直三棱柱AFD-BHC及直三棱柱DG