福建省南平市2024-2025學年高一數學上學期期末質量檢測試題（考試時間：120分鐘滿分：150分）留意事項：1．答卷前，考生務必在試題卷、答題卡規定的地方填寫自己的準考證號、姓名、班級和座號．考生要仔細核對答題卡上粘貼條形碼的“準考證號、姓名”．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試題卷上無效．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若全集，集合，則圖中陰影部分表示的集合是（）A．B．C．D．2．若冪函數圖象過點，則（）A．1B．2C．D．3．“”是“”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件4．為了得到函數的圖象，可以將函數的圖象（）A．向左平移個單位長度B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度D．向右平移個單位長度5．函數的零點所在的區間是（）A．B．C．D．6．函數在區間上的圖象為（）A．B．C．D．7．若等腰三角形頂角的余弦值等于，則這個三角形底角的正弦值為（）A．B．C．D．8．若，則（）A．B．C．D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．下列命題中，正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則10．函數的部分圖象如圖所示，則下列結論正確的是（）A．B．C．函數關于對稱D．函數在上是增函數11．若定義在上的奇函數滿意，且當時，，則（）A．為偶函數B．在上單調遞增C．在上單調遞增D．的最小正周期12．己知函數，說法正確的是（）A．在區間上單調遞暗B．方程在的解為，且C．的對稱軸是D．若，則三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．計算：____________．14．若是其次象限角，，則___________．15．中國的5G技術領先世界，5G技術極大地提高了數據傳輸速率，最大數據傳輸速率C取決于信道帶寬W，經科學探討表明：C與W滿意，其中T為信噪比．若不變更帶寬W，而將信噪比T從499提升到1999，則C大約增加___________．（結果保留一位小數）參考數據：．16．某市以市民需求為導向，對某公園進行升級改造，以提升市民的游園體驗．己知公園的形態為如圖所示的扇形區域，其半徑為2千米，圓心角為，道路的一個頂點C在弧上．現在規劃三條商業街道，要求街道與平行，交于點D，街道與垂直（垂足E在上），則街道長度最大值為_____________千米．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）在平面直角坐標系中，角的終邊與單位圓交于點，求下列各式的值．（1）；（2）．18．（12分）己知集合．（1）求集合；（2）若集合，且，求實數a的取值范圍．19．（12分）已知函數．（1）求的最小正周期及單調遞增區間；（2）求在上最大值和最小值，并求出取得最值時x的值．20．（12分）某企業擬購買一批智能機器人生產A型電子元件，以提高生產效率，降低生產成本．已知購買x合機器人的總成本（萬元）．（1）要使所購買的機器人的平均成本最低，應購買多少臺機器人？（2）現將按（1）所求得的數量購買的機器人全部投入生產，并支配m名工人操作這些機器人（每名工人可以同時操作多臺機器人）．己知每名工人操作水平無差異，但每臺機器人每日生產A型電子元件的個數Q與操作工人人數有關，且滿意關系式：．問在引進機器人后，須要操作工人的人數m為何值時，機器人日平均生產量達最大值，并求這個最大值．21．（12分）函數定義在上的奇函數．（1）求m的值；（2）推斷的單調性，并用定義證明；（3）解關于x的不等式．22．（12分）已知函數．（1）若函數有零點，求a的取值范圍；（2）設函數，在（1）的條件下，若，使得，求實數m的取值范圍．南平市2024—2024學年第一學期高一數學期末質量檢測命題意圖1．答案：D【考查意圖】考查集合基本關系、基本運算、一元二次不等式等基礎學問；考查學生的運算求解實力；數形結合思想；數學運算核心素養．2．答案：C【考查意圖】考查冪函數概念、對數運算等基礎學問；考查學生的運算求解實力；考查函數與方程思想；考查數學運算核心素養．3．答案：A【考查意圖】考查三角函數定義、性質，常用邏輯用語等基本學問，考查數學運算、邏輯推理核心素養．4．答案：D【考查意圖】考查三角函數定義、性質，三角函數圖象等基本學問，考查數學運算、邏輯推理核心素養．5．答案：C【考查意圖】考查函數零點存在定理、對數運算等基本學問：考查數形結合思想；考查數學運算、邏輯推理核心素養．6．答案：A【考查意圖】本題以函數圖像為載體，考查函數的基本性質及函數求值；考查運算求解實力；考查化歸轉化思想、數形結合思想、特別與一般思想；考查數學運算、邏輯推理核心素養．7．答案：B【考查意圖】考查三角函數定義、性質，三角形等基本學問；考查數形結合思想、化歸轉化思想；考查數學運算、邏輯推理核心素養．8．答案：B【詳解】，所以．故選：B【考查意圖】考查對數、指數相關不等式、函數性質等基礎學問；考查學生的運算求解實力、化歸與轉化思想；數學運算、邏輯推理核心素養．9．答案：BD【考查意圖】本題考查不等式性質、函數最值求解及基本不等式應用等基礎學問；考查運算求解實力；考查化歸轉化思想；考查數學運算、邏輯推理核心素養．10．答案：BC【解析】因為在同一周期內，函數在時取得最大值，時取得最小值，所以函數的最小正周期T滿意，由此可得，解得；得函數表達式為，又因為當時取得最大值2，所以，可得，因為，所以取，得，所以故A錯誤；故B正確；令，所以函數關于對稱，故C正確；對D選項，令，解得，令，則其中一個單調增區間為．故D錯誤．【考查意圖】通過三角函數圖象，考查三角函數圖象、單調性、對稱性等基礎性質；考查學生函數與方程的思想、數形結合思想；考查學生的邏輯推理、數學運算、直觀想象核心素養．11．答案：ABD【詳解】由得函數的圖象關于對稱，函數的圖象是由函數的圖象向左平移一個單位長度得到的，所以函數的圖像關于y軸對稱，所以函數是偶函數，故A正確；由得，所以的最小正周期為4，故D正確；當時，，因為是定義在上的奇函數，所以當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，因為的最小正周期，所以在）上單調遞增，在上單調遞減，故B正確，C錯誤．【考查意圖】本題考查一次函數、復合函數；函數的奇偶性、單調性、對稱性、周期性等基礎學問；考查數形結合、化歸轉化思想；考查數學運算、邏輯推理、直觀想象核心素養．12．答案：ABD【解析】如圖：故A正確C錯誤因為，所以與的交點即為所求，如圖知有四個交點，且，故B正確．由圖象可知，所以，故D錯誤．【考查意圖】通過含肯定值的函數，考查分段函數；考查三角函數圖象、單調性、對稱性等基礎性質；考查學生分類探討的思想、數形結合思想；考查學生的邏輯推理、數學運算、直觀想象核心素養．13．答案：【考查意圖】考查對數、指數運算等基礎學問；考查學生的運算求解實力；數學運算核心素養．14．答案：【解】因為是其次象限角，，所以為第三象限角，所以．所以【考查意圖】本題考查三角函數定義、三角函數基本公式、恒等變形等基礎學問；考查運算求解實力；考查化歸轉化思想；考查數學運算、邏輯推理核心素養．15．答案22.3【解】當時，，當時，則，所以C大約增加了，即C大約增加了．【考查意圖】通過弘揚中國的5G技術，考查對數、對數函數以及運算；考查學生增長率學問；考查學生的邏輯推理、數學運算核心素養．16．答案：（給滿分）【解】設，則，又，所以．在直角三角形中，，其中．因為，所以，又，所以當，所以當時，有最小值為，即．綜上，街道長度的最大值為千米．【考查意圖】本題依托公園建設，通過數據分析，主要考查了三角函數應用模型的建立、三角在平面幾何中的應用；考查學生理論與實際相結合的實力，解決實際問題的實力；考查化歸轉化、數形結合思想；考查數學運算、數據分析、直觀想象、邏輯推理、數學建模核心素養．17．【解】因為角的終邊與單位圓交于點，所以．（1）；（2）．【考查意圖】本題考查三角函數定義、三角函數基本公式、誘導公式、恒等變形等基礎學問；考查運算求解實力；考查化歸轉化思想；考查數學運算、邏輯推理核心素養．18．【解】（1）等價于，解得，故集合．等價于，解得，故集合．于是，．（2）由（1）可得集合，集合，所以．于是，由，且得，解得，即實數a的取值范圍是．【考查意圖】本題考查一元二次函數、一元二次方程、一元二次不等式、分式不等式間的關系、集合基本關系、集合基本運算基礎學問；考查運算求解實力；考查數形結合、化歸轉化思想；考查數學運算、邏輯推理核心素養．19．【解】（1）．所以的最小正周期．令得所以的單調遞增區間是．（2）因為，所以，所以，故，所以當，即時，取得最小值；當，即時，取得最大值1．【考查意圖】本題考查三角基本公式、誘導公式、恒等變形、三角函數性質等基礎學問；考查運算求解實力；考查函數與方程思、化歸轉化思想；考查數學運算、邏輯推理核心素養．20．【解】（1）由總成本，可得每臺機器人的平均成本．因為．當且僅當，即時，等號成立．所以要使所購機器人的平均成本最低，應購買120臺機器人．（2）當時，120臺機器人的日平均生產量為，所以當時，120臺機器人日平均生產量最大值為19200．當時，120臺機器人日平均生產量為．所以120臺機器人的日平均產量的最大值為19200個．所以當時，機器人日平均生產量達最大值，且最大值為19200．【考查意圖】本題通過數據分析，主要考查了一元二次函數、基本不等式、分段函數的應用；考查學生理論與實際相結合的實力，解決實際問題的實力；考查化歸轉化；考查數學運算、數據分析、邏輯推理、數學建模核心素養．21．【解】（1）解法1：因為為定義在上的奇函數，所以，所以，得，即．因為，所以，即．解法2：因為為定義在上的奇函數，所以．當時，，所以．（解法2只要有寫經檢驗符合題意可不扣分）（2）在上單調遞增．由（1）得．任取，由于，所以，所以在上單調遞增．（3）由（2）得函數在上單調遞增，且為奇函數，所以不等式等價于等價于，等價于，等價于所以，當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為空集．【考查意圖】本題考查奇函數的定義，單調性定義，一元二次不等式基礎學問：考查運算求解實力；考查分類探討思想、化歸轉化思想；考查數學運算、邏輯推理核心素養．22．【解】：（1）若函數