解三角形中的最值與范圍問題一、單項選擇題1．(★)(2024·湖北聯考)已知△ABC三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＋b＝2ccosB，則eq\f(b,a)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,b)))2的最小值為()A．2eq\r(2)B．3C．2eq\r(3)D．42．(★★)(2024·黃山模擬)已知△ABC為銳角三角形，其外接圓半徑為2，C＝eq\f(π,3)，則AB邊上的高的取值范圍為()A．(0,3] B．(0,3)C．(2,3] D．(2,3)3．(★★)(2023·馬鞍山模擬)在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若c2＝a(a＋b)，則eq\f(sin2A,sinC－A)的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)))4．(★★★)(2023·河南省實驗中學模擬)已知△ABC中，BC＝3，角A的平分線交BC于點D，若eq\f(BD,DC)＝eq\f(1,2)，則△ABC面積的最大值為()A．1B．2C．3D．4二、多項選擇題5．(★)(2023·江西師大附中模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且B＝eq\f(π,3)，b＝4，則下列判斷中正確的是()A．若A＝eq\f(π,4)，則a＝eq\f(4\r(6),3)B．若a＝eq\f(9,2)，則該三角形只有一解C．△ABC周長的最小值為12D．△ABC面積的最大值4eq\r(3)6．(2023·深圳中學模擬)已知△ABC的三個內角A，B，C滿足sinB＋2sinAcosC＝0，則下列結論正確的是()A．△ABC是鈍角三角形B．sin2023A＋sin2023B>sin2023CC．角B的最大值為eq\f(π,6)D．角C的最大值為eq\f(2π,3)三、填空題7．(★★)(2023·普寧二中模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD＝1，則4a＋c的最小值為________．8．(★★★)(2024·德州模擬)在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，S為△ABC的面積，若2S＝a2－(b－c)2，則eq\f(b2＋c2,bc)的取值范圍為____________．四、解答題9．(★★)(2024·蘇州模擬)記△ABC中內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知a＝eq\r(3)，eq\r(3)c＝3cosB＋bsinA.(1)求A；(2)若點A，D位于直線BC異側，BD⊥BC，BD＝1，求AD的最大值．10．(★★)(2023·華南師大附中模擬)已知銳角△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且(b＋c)(