安徽省合肥市2024-2025學年高三數學上學期期末聯考試題本試卷共4頁，22題。全卷滿分150分，考試時間120分鐘。考生留意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效。3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆干脆答在答題卡上對應的答題區域內。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效。4.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.已知全集，，，則（）A.， B.， C.， D.，2.已知為虛數單位，復數滿足，則的虛部為（）A. B. C.1 D.23.2024年卡塔爾世界杯（FIFAWorldCupQatar2024）是其次十二屆國際足聯世界杯足球賽，在當地時間2024年11月20日到12月18日間在卡塔爾國內5個城市的8座球場實行，這是世界杯第一次在阿拉伯地區舉辦.由于夏季燥熱，2024年卡塔爾世界杯放在冬季進行，如圖是卡塔爾2024年天氣狀況，下列對1-11月份說法錯誤的是（）A.有5個月平均氣溫在30℃以上 B.有4個月平均降水量為C.7月份平均氣溫最高 D.3月份平均降水量最高4.等差數列的前項和為，公差不為0，若，則（）A. B. C. D.5.一般地，聲音大小用聲強級（單位：）表示，其計算公式為：，其中為聲強（單位：.若某種物體的發出的聲強為，其聲強級約為（）（）A. B. C. D.6.已知正方體的棱長為2，M，N分別為，的中點，過M，N的平面截正方體所得截面為四邊形，則該截面最大面積為（）A. B. C. D.7.已知，直線，若與相離，則（）A.點在上 B.點在上 C.點在內 D.點在外8.已知函數在區間內有兩個極值點，且，則（）A. B.在區間上單調遞增C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.在中，已知，，則（）A. B. C. D.10.已知，則（）A. B. C. D.11.已知拋物線E的焦點為F，頂點為O，過F做兩條相互垂直的直線，，它們分別與E相交于A，B和C，D，則（）A.為銳角 B.為鈍角 C. D.12.已知球的表面積為，三棱錐的頂點都在球面上，該棱錐體積取最大值時，下列結論正確的是（）A. B.C.， D.，三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.社區從甲乙等5名志愿者中隨機選3名到A地參與服務工作，則甲乙都入選的概率為_____.14.已知函數的最小正周期為，其圖象過點，則_____.15.已知橢圓的焦點為，，為上一點滿足，則的離心率取值范圍是_____.16.已知函數，過點有兩條直線與曲線相切，則實數的取值范圍是_____.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）已知數列的通項公式為，等比數列滿足，.（1）求數列的通項公式；（2）記，的前項和分別為，，求滿足的全部數對.18.（12分）為落實國家全民健身安排，提高居民身體素養和健康水平，某電視臺每周制作一期“每天健身”節目，時長60分鐘，每天固定時間播放.為調查該節目收視狀況，從收看觀眾中隨機抽取150名，將其觀看日平均時間（單位：分）為樣本進行統計，作出頻率分布直方圖如圖.（1）請估計該節目收看觀眾的平均時間（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；（2）在選取的150位觀眾中，男女人數相同，規定：觀看平均時間不低于30分鐘為滿足，低于30分鐘為不滿足.據統計有48位男士滿足，請列出列聯表，并推斷是否有90%的把握認為“滿足度與性別有關”？附：，其中.0.100.050.0102.7063.8416.63519.（12分）在中，點在上，滿足，.（1）求證：，，成等比數列；（2）若，求.20.（12分）如圖，三棱柱的側棱長為，底面是邊長為2的等邊三角形，D，E分別是，的中點，.（1）求證：側面是矩形；（2）若，求直線與平面所成角的余弦值.21.（12分）在平面直角坐標系中，，，直線，相交于點，且它們的斜率之積是1，記點的軌跡為.（1）求證：曲線是雙曲線的一部分；（2）設直線與相切，與其漸近線分別相交于M，N兩點，求證：的面積為定值.22.（12分）已知函數.（1）求的導函數的單調區間；（2）若方程有三個實數根，，，且，求實數的取值范圍.高三數學參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.D【解析】由已知選D.2.A【解析】設，則，故，故選A.3.D【解析】由圖可知，選D.4.C【解析】由已知得，故，故選C.5.A【解析】由已知得，故選A.6.D【解析】最大面積的截面四邊形為等腰梯形，其中，，，高為，故面積為，所以選D.7.C【解析】由已知：圓心到直線的距離大于半徑，即不妨設，，故，故選C.8.D【解析】由，故，，所以；由，，所以在區間上單調遞減；，，所以，，故選D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.ABD【解析】由已知；；，，因為，所以；故，即，所以.故選ABD.10.AD【解析】，，故，，.，，所以.故選AD.11.BC【解析】設拋物線方程為，，聯立得，設，，則，.，故為鈍角.所以，與拋物線聯立得，設，，則，.同理可得，故為鈍角，所以，.故時，.所以選BC.12.BD【解析】由已知設球的半徑為，則，所以.設底面的外接圓心為，可知當為正三角形時，其面積最大.設正三角形的底面邊長為a，，三棱錐的高為.則，故.所以三棱錐的體積：.令，由，得.因為，故當時，取最大值，即三棱錐的體積取的最大值.此時可求得：，即，.三棱錐為正四面體，故，，故選BD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.【解析】甲入選的概率為.14.【解析】由已知，所以.15.【解析】設橢圓的方程為，，，則，由余弦定理得，故，因為，即，故，解得，由，所以的離心率取值范圍是.16.【解析】由，，設切點為，則切線方程為：，故有兩根.令，，在遞減，在遞增.因為，故實數的取值范圍是.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.【解】（1）由，所以，，故，.所以等比數列的公比為，…………2分故，所以，即等比數列的通項公式為…………4分（2）由已知得：由（1）可知…………6分由，所以即，故…………8分因為正整數，，所以，，，，，故滿足條件全部數對為，，.………………10分18.【解】（1）由頻率分布直方圖可知：樣本數據在，，，，，的頻率分別為：0.1，0.12，0.16，0.28，0.20，0.14.………3分故調查表平均值為：所以該節目收看觀眾的平均時間為32.8分鐘.………6分（2）由（1）可知觀看平均時間不低于30分鐘的頻率為：所以觀看平均時間不低于30分的樣本數為：.……8分由已知可得列聯表如下：不滿足滿足總計男274875女304575總計5793150……10分所以沒有90%的把握認為“滿足度與性別有關”.………12分19.【解】（1）在中，由正弦定理得：①…………2分由已知得：②由①②聯立得：因為，所以.故，，成等比數列.…………4分（2）在中，記A，B，C的對邊分別為a，b，c，故.由（1）知：③在中，設，由已知得，由余弦定理得④…………6分在中，設，由已知得，由余弦定理得⑤由⑤+④整理得：⑥…………8分由③⑥聯立整理得：解得：或當時，可求得，所以故舍去.…………10分當時，可求得，在中由余弦定理得.綜上：…………12分20.【解】（1）連接，由已知為等邊三角形，所以.由已知，所以平面，…………2分又平面，.因為，所以，又側面為平行四邊形，所以側面是矩形.……4分（2）取中點，連接.由已知得.因為，所以，是等邊三角形.故，由（1）可知，所以平面.……6分以為原點，以，所在直線為軸，軸建立空間直角坐標系，如圖.故，，，，所以，，設平面的法向量為，則，.故，取，，，則…………9分直線與平面所成角為，則…………11分故所以直線與平面所成角的余弦值為.…………12分21.【解】（1）設點的坐標為，由已知得，則直線，的斜率分別為：，…………2分由已知，化簡得.故曲線的方程為：所以曲線是除去頂點的雙曲線.…………4分（2）設直線與相切的切點坐標為，斜率為則直線的方程為：，與聯立整理得：由已知，且上方程有兩個相等的實數根，故化簡得：①…………6分又，即，②由①②得，，即，所以故直線的方程為：…………8分雙曲線的兩條漸近線方程為，，所以為直角三角形.不妨設與交點為，解得，同理，設與交點為，解得.…………10分可求得：，，所以的面積故的面積為定值.…………12分22.【解】（1）函數的定義域為，記，則.…………2分當時，，故在上單調遞增.…………3分當時，記，.所以時，，遞減；時，，遞增.的微小值為，故.故，所以在上單調遞減.綜上：故在上單調遞增，在上單調遞減.……5分（2）令，問題