學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精課堂探究探究一向量數量積的坐標運算已知向量的坐標，直接用公式來計算數量積、模和夾角等問題;若向量的坐標是未知的，一般考慮用定義和運算律進行轉化．【例1】已知向量a＝e1－e2,b＝4e1＋3e2,其中e1＝（1,0），e2＝（0，1）．（1)試計算a·b及｜a＋b|的值；（2）求向量a與b夾角的余弦值．解：(1）a＝e1－e2＝（1,0)－（0,1）＝（1，－1），b＝4e1＋3e2＝4（1,0)＋3（0,1)＝(4,3)，所以a·b＝4×1＋3×(－1)＝1，a＋b＝(5，2)，所以｜a＋b｜＝．(2)設向量a與b的夾角為x，則cos＝＝＝＝．探究二向量的模、夾角的坐標表示1．若a＝(x1，y1)，b＝（x2，y2）,a≠0，則向量a與b垂直?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0．2．向量垂直的坐標表示x1x2＋y1y2＝0與向量共線的坐標表示x1y2－x2y1＝0很容易混淆，應仔細比較并熟記、當難以區分時，要從意義上鑒別,垂直是a·b＝0,而共線是方向相同或相反．【例2】已知向量a＝(－2,－1)，a·b＝10，|a－b｜＝,則|b|＝()A．B．C．20D．40解析:設b＝(x，y），由a＝（－2，－1)，a·b＝10,可得－2x－y＝10．①a－b＝(－2－x，－1－y），所以｜a－b|＝＝．②由①②可得x＝－4，y＝－2．所以b＝（－4，－2），|b|＝＝．答案：A反思本題是利用公式|a|＝(其中a＝（a1，a2））求解．【例3】在△ABC中,＝(2,3)，＝(1,k),且△ABC的一個內角為直角，求k的值．分析：要對△ABC的三個內角分別討論,并利用坐標反映垂直關系．解:當A＝90°時，·＝0,所以2×1＋3×k＝0．所以k＝－．當B＝90°時，·＝0，＝－＝(1－2,k－3)＝(－1，k－3）,所以2×（－1)＋3×(k－3)＝0．所以k＝．當C＝90°時，·＝0,所以－1＋k(k－3）＝0，所以k＝．因此，當k＝－，或k＝,或k＝時，△ABC的一個內角為直角．探究三數量積的坐標表示在幾何中的應用用向量法解決幾何問題的關鍵是把有關的邊賦予向量，然后把幾何圖形中的夾角、垂直、長度等問題都統一為向量的坐標運算即可,最后再回歸到原始幾何圖形中進行說明．【例4】以原點O和點A（5,2）為兩個頂點作等腰直角△ABO，B為直角頂點，試求的坐標．解:設B(x，y），則＝（x,y），＝（x－5，y－2）．因為△ABO是等腰直角三角形，故⊥,且｜｜＝｜|，所以解得或所以＝或＝．【例5】已知a＝（，－1)，b＝，且存在實數k和t使得x＝a＋（t2－3）b，y＝－ka＋tb,且x⊥y，試求的最小值．解：由題意有|a|＝2，|b｜＝1．因為a·b＝×－1×＝0，所以a⊥b．因為x·y＝0，所以[a＋（t2－3)b］·（－ka＋tb）＝0,化簡得k＝eq\f(t3－3t,4），所以＝eq\f（1，4)（t2＋4t－3)＝（t＋2)2－．當t＝－2時，有最小值為－．反思本題的關鍵是注意到a⊥b，以此來化簡x·y＝0．探究四易錯辨析易錯點：因a·b〈0理解不完全而致誤【例6】設平面向量a＝（－2，1），b＝（λ，－1)(λ∈R）,若a與b的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是(）A．∪（2，＋∞)B．（2，＋∞）C．D．錯解：由a與b的夾角為鈍角，得a·b〈0,即－2λ－1〈0,解得λ〉－．錯因分析：a·b〈0?a與b的夾角為鈍角或平角．因此上述解法中需要對結論進行檢驗，把a與b的夾角為平角的情況舍去．正解：a·b〈0?（－2,1）·（λ，－1)