第2章間描述與坐標變換2.1位置姿態表示與坐標系描述2.2坐標變換2.3齊次坐標變換2.4齊次變換算子2.5復合變換2.6齊次變換的逆變換2.7變換方程2.8姿態的歐拉角表示

2.1位置姿態表示與坐標系描述

1.位置描述

假設已經建立了坐標系，我們可以用一個3×1的位置矢量對世界坐標系中的任何點進行定位。因為經常需要定義多個坐標系來描述機器人的幾何關系和運動，在描述一個位置矢量的時候需要指明是用哪一個坐標系描述的。如圖2－1表示的一個坐標系和位置矢量，用三個單位正交基矢量表示坐標系{A}，坐標原點和沿坐標軸的單位矢量均用下標“A”表示它們屬于{A}坐標系。矢量Ap表示箭頭指向點的位置矢量，其中右上角標“A”表示該點是用{A}坐標系描述的。位置矢量Ap可以用分量表示為

（2-1）圖2－1坐標系和位置矢量

2.姿態描述

一個剛體除了需要描述它的位置外，還需要描述它的方位（姿態）。任意平面剛體都可以用三個參數（x,y,θ）唯一描述其姿態。例如圖2－2所示的機器人，為了完整描述地面上的機器人，除了機器人的位置（質心OB坐標x,y）以外，還需要知道機器人的方位（頭的方向θ）。平面機器人位置一般用兩個坐標系來描述，一個是固定的場地坐標系{A}，另一個是與機器人固連在一起的機器人（運動）坐標系{B}。機器人的位姿可以用機器人坐標系{B}的原點和坐標軸在固定坐標系{A}中的方向來描述。圖2－2平面機器人位姿表示三維剛體的描述比較復雜，如圖2－3所示的機械手末端工具，需要描述工具的空間位置和姿態（方位），三維姿態的描述一般通過固定在物體上的坐標系來實現。圖2－3機械手末端工具及坐標系圖2－3中坐標系{B}與機械手末端工具固連，工具的位置可以用固連坐標系{B}的原點描述、工具的姿態可以由坐標系{B}的方向來描述。而坐標系{B}的方向可以用沿三個坐標軸的單位矢量來表示:(2－2)(2－3)式（2－3）中內積運算的矢量都是在坐標系{A}下表示的，因此，為了簡單省略了矢量的上標。事實上，矢量的內積與所選擇的坐標系無關，由矢量內積的定義得(2－4)（2-5）對比式（2－3）和式（2－5）可知兩個旋轉矩陣互為轉置，再根據正交矩陣的性質可得以下關系:根據坐標系單位矢量的正交關系可以驗證式（2－6）成立。(2－7)

3.坐標系描述

從前面介紹的位置和姿態描述可知，剛體的位姿可以用固連在剛體上的坐標系來描述，坐標原點表示剛體的位置，坐標軸的方向表示剛體的姿態。因此，固連坐標系把剛體位姿描述問題轉化為坐標系的描述問題。圖2－3中坐標系{B}可以在固定坐標系{A}中描述為(2－8) 2.2坐標變換

1.平移坐標變換在圖2－4中，BP為坐標系{B}描述的某一空間位置，同樣，我們也可以用AP（坐標系{A}）描述同一空間位置。假設坐標系{A}和坐標系{B}姿態相同，則坐標系{B}可以理解為坐標系{A}的平移。APBO稱為坐標系{B}相對坐標系{A}的平移矢量，也可以理解為坐標系{B}原點在坐標系{A}描述下的位置矢量。因為兩個坐標系具有相同的姿態，同一個點在不同坐標系下的描述滿足以下關系(2－9)圖2－4平移坐標變換2.旋轉坐標變換

(2－10)圖2－5旋轉坐標變換將（2-9）式寫成矩陣形式得（參見（2-3）式）(2－11)式（2－11）即為我們要求的旋轉變換關系，該變換是通過兩個坐標系之間的旋轉變換實現的。式（2－11）實現了空間點在不同坐標系下描述的轉換，下面用平面旋轉坐標變換的例子說明上述算法。

例2－1圖2－6給出了兩個平面坐標系的位置關系，計

算旋轉變換矩陣BAR和同一矢量P在兩個坐標系下表示之間的關系，假設矢量長度為r。

解:因為坐標軸為單位矢量，根據幾何關系得所以，根據式（2－3）可知旋轉變換矩陣為再根據式（2－11）可得矢量間的變換關系觀察圖2－6，根據幾何關系直接計算P在{A}下的表示顯然與上式相同，印證了坐標變換方法的正確性。圖2-6平面旋轉變換也可以從另一個角度獲得矢量P在{A}下的表示，首先將矢量在{B}下表示再根據前面的結果，將坐標系{B}的基矢量用坐標系{A}的基矢量表示，得結果與前面計算的相同。圖2－7給出了兩個坐標系關系的示意圖，為了得到位置矢量BP和AP之間的變換關系，我們建立一個中間坐標系{C}。坐標系{C}與坐標系{B}原點重合，且與坐標系{A}的姿態相同。通過引入坐標系{C}，可以采用前面介紹的平移與旋轉變換得到一般情況下的變換關系:(2－12)(2－13)圖2－7復合變換

2.3齊次坐標變換

式（2－13）表示了一般情況下的變換關系，在機器人學中經常需要計算多個坐標系之間的坐標變換，采用上述表達不夠簡明和清楚。因此，常用所謂的“齊次坐標變換”來描述坐標系之間的變換關系。坐標變換式（2－13）可以寫成以下形式(2－14)將位置矢量用4×1矢量表示，增加1維的數值恒為1，我們仍然用原來的符號表示4維位置矢量并采用以下符號表示坐標變換矩陣(2－15)可以得到齊次坐標變換關系(2－16)

2.4齊次變換算子

1.平移算子

(2－17)圖2－8平移算子可以采用齊次變換矩陣表示平移變換(2－18)Trans(AQ)稱為平移算子，其表達式為(2－19)其中I是3×3單位矩陣。例如若AQ=ai+bj+ck，其中i、j和k分別表示坐標系{A}三個坐標軸的單位矢量，則平移算子表示為(2－20)

2.旋轉算子同樣，我們可以研究矢量在同一坐標系下的旋轉變換，如圖2－9所示，AP1繞Z軸轉θ角得到AP2。則(2－21)Rot(z,θ)稱為旋轉算子，其表達式為(2－22)圖2－9旋轉算子同理，可以得到繞X軸和Y軸的旋轉算子(2－23)式中“c”,“s”分別代表“cos”和“sin”。定義了平移算子和旋轉算子以后，可以將它們復合實現復雜的映射關系。變換算子與前面介紹的坐標變換矩陣形式完全相同，因為所有描述均在同一坐標系下，所以不需上下標描述（坐標系）。(2－24)

例2－2已知矢量AP1=［370］T，先將其繞ZA旋轉30°，再沿XA軸平移10個單位、沿YA軸平移5個單位，計算變換后得到的矢量AP2。

解:根據式（2－15）得變換算子:

3.齊次坐標變換總結

（1）坐標系的描述。表示坐標系{B}在坐標系{A}下的描述，的各列是坐標系{B}三個坐標軸方向的單位矢量，而APBO表示坐標系{B}原點位置。

（2）不同坐標系間的坐標變換。如。

（3）同一坐標系內的變換算子。如。

齊次坐標變換是復雜空間變換的基礎，必須認真理解和掌握。具體應用的關鍵是理解它代表的是上面三種含義的哪一種，而不是簡單的套用公式。

2.5復合變換

復合變換主要有兩種應用形式，一種是建立了多個坐標系描述機器人的位姿，任務是確定不同坐標系下對同一個量描述之間的關系；另一種是一個空間點在同一個坐標系內順序經過多次平移或旋轉變換，任務是確定多次變換后點的位置。

如圖2－10表示的三個坐標系，已知坐標系{A}、{B}和{C}之間的變換矩陣和位置矢量CP，求在坐標系{A}下表示同一個點的位置矢量AP。先計算在坐標系{B}下表示同一個點的位置矢量BP，然后計算在坐標系{A}下表示同一個點的位置矢量AP。

(2－25)(2－26)根據坐標變換的定義得(2－27)圖2－10復合坐標變換

例2－3

已知點u=7i+3j+2k，先對它進行繞Z軸旋轉90°的變換得點v，再對點v進行繞Y軸旋轉90°的變換得點

w，求v和w。

解:由旋轉變換的公式得如果只關心最后的變換結果，可以按下式計算計算結果與前面的相同，R=Rot(y,90°)Rot(z,90°)稱為復合旋轉算子。圖2－11（a）給出了變換前后點的位置。如果改變旋轉順序，先對它進行繞Y軸旋轉90°，再繞Z軸旋轉90°，結果如圖2－11（b）所示。比較圖2－11（a）和圖2－11（b）可以發現最后的結果并不相同，即旋轉順序影響變換結果，從數學角度解釋就是矩陣乘法不滿足交換率，Rot(y,90°)Rot(z,90°)≠Rot(z,90°)Rot(y,90°)。圖2－11旋轉順序對變換結果的影響(2－28)2.6齊次變換的逆變換將坐標變換用于坐標系{B}的原點得(2－29)BPBO是坐標系{B}的原點在坐標系{B}中的描述，顯然為零矢量。由式（2－29）得(2－30)因此，逆變換可以直接用正變換的旋轉矩陣和平移矩陣表示(2－31)逆變換矩陣推導的另一種方法根據坐標變換式（2－13）可得：(2－32)將坐標系{A}到坐標系{B}的變換:（2－33）比較式（2－32）和式（2－33）得結果與前面推導的式（2－31）完全相同。

例2－4

如圖2－12給出的楔形塊角點坐標系，求齊次坐標變換圖2－12楔形塊角點坐標系

解:為了簡化公式表示，用“c”和“s”分別代表“cos”和“sin”。

（1）{A}沿xA平移3個單位，再繞新的zA軸轉180°得{B}。因此（2）{B}沿zB平移2個單位，然后繞yB軸轉90o再繞新xB軸轉150°得{C}。因此也可以按以下方法計算:③{A}沿xA和zA平移3個和2個單位，然后繞yA軸轉90°，再繞新xA軸轉-30°得{C}。因此可以得到相同的結果，事實上，對于像本例題這種簡單的情況，可以直接利用齊次坐標變換的定義得到變換矩陣。即直接寫出坐標系{C}坐標軸矢量在坐標系{A}下表示的旋轉矩陣，平移矢量為坐標系{C}的原點在坐標系{A}下的矢量表示。 2.7變換方程

圖2－13表示了多個坐標系的關系圖，可以用兩種不同的方式得到世界坐標系{U}下坐標系{D}的描述。(2－34)(2－35)可以利用變換方程（2－36）求解其中任意一個未知變換。例如，假設除以外其余變換均為已知，則該未知變換可以用下式計算(2－37)圖2－13坐標變換序列我們在坐標系的圖形表示方法中，采用從一個坐標系的原點指向另一個坐標系原點的箭頭表示坐標系的描述關系。例如在圖2－14中，相對{D}定義坐標系{A}。在圖中將箭頭串聯起來，通過簡單的變換矩陣相乘即可得到起點到終點的坐標系描述。如果一個箭頭的方向與串聯的方向相反，只需先求出該變換的逆再相乘即可。例如在圖2－14中坐標系{C}的兩種描述為(2－38)(2－39)圖2－14坐標變換序列

例2－5

假設已知圖2－15中機械臂末端工具坐標系{T}相對基座坐標系{B}的描述，還已知工作臺坐標系{S}相對基座坐標系{B}的描述，并且已知螺栓坐標系{G}相對工作臺坐標系{S}的描述。計算螺栓相對機械臂工具坐標系的位姿。

解:添加從工具坐標系{T}原點到螺栓坐標系{G}原點的箭頭，可以得到如下變換方程(2－40)螺栓相對機械臂工具坐標系的位姿描述為(2－41)圖2－15機械臂對螺栓操作

2.8姿態的歐拉角表示

2.1節采用3×3的旋轉矩陣描述了三維剛體的姿態，但9個分量中只有3個獨立的分量。能否使用3個獨立的分量描述三維剛體的姿態呢？答案是肯定的，比較常用的是下面的ZYZ歐拉角描述方法。歐拉角用一個繞Z軸旋轉角，再繞新的Y軸旋轉θ角，最后繞新的Z軸旋轉ψ角來描述任何可能的姿態，見圖2－16。圖中虛線表示旋轉形成的新坐標軸。根據旋轉關系可以得到變換矩陣(2－42)圖2－16

Z－Y－Z歐拉角具體計算結果計算如下:另一種常用的旋轉組合是橫滾（roll）、俯仰（pitch）和偏轉（yaw）。圖2－17給出了變換的示意圖，這三個角度表示了船航行的三個方位描述。需要注意的是，橫滾、俯仰和偏轉表示都是相對固定坐標系表述的，而前面介紹的Z－Y－Z歐拉角描述是相對動坐標系描述的。規定變換順序為偏轉ψ角、俯仰θ角和橫滾￠角。根據旋轉關系可以得到變換矩陣(2－43)圖2－17橫滾、仰俯和偏轉表示姿態

1.通用旋轉算子

我們已經研究了繞坐標軸的旋轉變換，下面研究繞任意軸（用單位矢量f表示）旋轉θ角的旋轉矩陣。如圖2－18所示，假設矢量f在固定坐標系{A}下表示，另外，我們通過矢量Ap繞任意軸f旋轉θ角得到旋轉矩陣。以f為Z軸建立與{A}固連的坐標系{C}，其原點與{A}的原點重合，因此可以用旋轉矩陣描述坐標系{C}。用n、o和f表示坐標系{C}三個坐標軸的單位矢量，在坐標系{A}下表示為(2－46)則旋轉矩陣表示為(2－47)Ap1=

Rot(f,

)Ap

（2－48）(2－49)(2－50)圖2－18繞任意軸旋轉變換再將Cp1在坐標系{A}下表示(2－51)比較式（2－48）和式（2－51）可得(2－52)式中，旋轉矩陣的各表達式如下（2－53）上式中的n和o各分量是未知的，需要用f的各分量表示，根據坐標系的右