PAGE模塊綜合提升一、常用邏輯用語1．命題及其關系(1)原命題：若p，則q．則逆命題：若q，則p．否命題：若p，則q．逆否命題：若q，則p．(2)兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性．2．充分條件與必要條件(1)若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件．(2)若p?q，則p是q的充要條件．(3)若p?q，qp，則p是q的充分不必要條件．(4)若pq，q?p，則p是q的必要不充分條件．(5)若pq，qp，則p是q的既不充分也不必要條件．3．簡潔的邏輯聯結詞(1)命題p∧q的真假：“全真則真”，“一假則假”．(2)命題p∨q的真假：“一真則真”，“全假則假”．(3)命題p的真假：p與p的真假性相反．4．全稱命題與特稱命題的否定(1)全稱命題的否定p：?x∈M，p(x)．p：?x0∈M，p(x0)．(2)特稱命題的否定p：?x0∈M，p(x0)．p：?x∈M，p(x)．二、圓錐曲線與方程1．橢圓(1)橢圓的定義平面內與兩個定點F1，F2的距離的和等于常數(大于|F1F2(2)橢圓的標準方程焦點在x軸上：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦點在y軸上：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．(3)橢圓的幾何性質①范圍：對于橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，－a≤x≤a，－b≤y≤b．②對稱性：橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，關于x軸，y軸及原點對稱．③頂點：橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的頂點坐標為A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)．④離心率：e＝eq\f(c,a)，離心率的范圍是e∈(0,1)．⑤a，b，c的關系：a2＝b2＋c2．2．雙曲線(1)雙曲線的定義：平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的肯定值等于常數(小于|F1F2(2)雙曲線的標準方程焦點在x軸上：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，焦點在y軸上：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．(3)雙曲線的幾何性質①范圍：對于雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，y≥a或y≤－a，x∈R，②對稱性：雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)關于x軸，y軸及原點對稱．③頂點：雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的頂點坐標為A1(－a,0)，A2(a,0)，雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的頂點坐標為A1′(0，－a)，A2′(0，a)，④漸近線：雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(a,b)x．⑤離心率：e＝eq\f(c,a)，雙曲線離心率的取值范圍是e∈(1，＋∞)，⑥a，b，c的關系：c2＝a2＋b2．3．拋物線(1)拋物線的定義平面內與一個定點F和一條定直線l(不經過點F)距離相等的點的軌跡叫做拋物線．(2)拋物線的標準方程焦點在x軸上：y2＝±2px(p>0)，焦點在y軸上：x2＝±2py(p>0)．(3)拋物線的幾何性質①范圍：對于拋物線x2＝2py(p>0)，x∈R，y∈[0，＋∞)②對稱性：拋物線y2＝±2px(p>0)，關于x軸對稱，拋物線x2＝±2py(p>0)，關于y軸對稱．③頂點：拋物線y2＝±2px和x2＝±2py(p>0)的頂點坐標為(0,0)．④離心率：拋物線上的點M到焦點的距離和它到準線的距離的比叫做拋物線的離心率，由拋物線的定義知e＝1．三、空間向量與立體幾何1．空間向量及其運算(1)共線向量定理：a∥b?a＝λb(b≠0)．(2)P，A，B三點共線?eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))(x＋y＝1)．(3)共面對量定理：p與a，b共面?p＝xa＋yb．(4)P，A，B，C四點共面?eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))(x＋y＋z＝1)．(5)空間向量基本定理假如三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序實數組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空間的一個基底．(6)空間向量運算的坐標表示設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則①a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)，②λa＝(λa1，λa2，λa3)，③a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3，④a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3，⑤a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0，⑥|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))，⑦cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))，⑧若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12)．2．立體幾何中的向量方法(1)異面直線所成的角兩條異面直線所成的角為θ，兩條異面直線的方向向量分別為a，b，則cosθ＝|cos〈a，b〉|＝eq\f(|a·b|,|a||b|)．(2)直線與平面所成的角直線與平面所成的角為θ，直線的方向向量為a，平面的法向量為n，則sinθ＝|cos〈a，n〉|＝eq\f(|a·n|,|a||n|)．(3)二面角二面角為θ，n1，n2為兩平面的法向量，則|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)．1．一個命題的逆命題和否命題有相同的真假性． (√)[提示]一個命題的逆命題和否命題互為逆否命題，因此具有相同的真假性．2．使a>b成立的充分不必要條件是a>b－1． (×)[提示]a>b－1a>b．3．“p∧q”的否定為“(p)∨(q)”，“p∨q”的否定為“(p)∧(q)”． (√)[提示]“且”的否定為“或”，“或”的否定為“且”．4．命題p：?x∈(0，＋∞)，則x2＋2x＋1>0，則p為：?x0∈(－∞，0]，使xeq\o\al(2,0)＋2x0＋1≤0． (×)[提示]p應為?x0∈(0，＋∞)，使xeq\o\al(2,0)＋2x0＋1≤0．5．命題“若f(x)是奇函數，則f(－x)是奇函數”的否命題是“若f(x)是偶函數，則f(－x)是偶函數”． (×)[提示]命題“若f(x)是奇函數，則f(－x)是奇函數”的否命題是“若f(x)不是奇函數，則f(－x)不是奇函數”．6．命題“菱形的兩條對角線相等”是全稱命題且是真命題． (×)[提示]此命題是全稱命題，但是是假命題．7．“x>6”是“x>1”的充分但不必要條件． ([提示]x>6?x>1，但x>1x>6．8．若命題p∧q為假，且p為假，則q假． (√)[提示]由p為真，p∧q為假知，q為假．9．橢圓上的點到焦點的最大距離為a＋c，最小距離為a－c． (√)[提示]橢圓長軸的端點到焦點的距離有最大值或最小值．10．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面內到F1，F2兩點的距離之和等于8的點的軌跡是橢圓． (×)[提示]|F1F2|＝8，故點的軌跡是線段F1F11．橢圓2x2＋3y2＝12的焦點坐標為(0，±eq\r(2))． (×)[提示]橢圓標準方程為eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,4)＝1，c2＝a2－b2＝2，故橢圓的焦點坐標為(±eq\r(2)，0)．12．已知橢圓的標準方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0)，焦距為6，則實數m的值為4． (×)[提示]當焦點在x軸上時，由25－m2＝9得m＝4，當焦點在y軸上時，m2－25＝9得m＝eq\r(34)．13．已知F1(－5,0)，F2(5,0)，動點P滿意|PF1|－|PF2|＝10，則點P的軌跡是雙曲線的右支． (×)[提示]點P的軌跡是一條射線．14．“0≤k<3”是方程eq\f(x2,k＋1)＋eq\f(y2,k－5)＝1表示雙曲線的充要條件． (×)[提示]當0≤k<3時，方程eq\f(x2,k＋1)＋eq\f(y2,k－5)＝1表示雙曲線，若方程eq\f(x2,k＋1)＋eq\f(y2,k－5)＝1表示雙曲線，則有(k＋1)(k－5)<0，即－1<k<5，故原命題錯誤．15．雙曲線2x2－y2＝8的實軸長為2． (×)[提示]雙曲線標準方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1，因此雙曲線的實軸長為4．16．等軸雙曲線的漸近線相同． (√)[提示]等軸雙曲線的漸近線方程都是y＝±x．17．到定點和定直線距離相等的點的軌跡是拋物線． (×)[提示]當定點在定直線上時點的軌跡是一條直線．18．拋物線y＝2x2的焦點坐標是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))． (×)[提示]拋物線標準方程為x2＝eq\f(1,2)y，故焦點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))．19．拋物線y2＝2px(p>0)中過焦點的最短弦長為2p． (√)[提示]拋物線中通徑是最短的弦長．20．拋物線y＝ax2(a≠0)的準線方程為y＝2，則實數a的值是eq\f(1,8)． (×)[提示]拋物線標準方程為x2＝eq\f(1,a)y，則－eq\f(1,4a)＝2，解得a＝－eq\f(1,8)．21．若空間任一點O和不共線的三點A，B，C滿意eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(3,2)eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))，則點P與A，B，C共面． (√)[提示]eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)－1＝1，故四點共面．22．a，b為空間向量，則cos〈a，b〉＝cos〈b，a〉． (√)[提示]〈a，b〉＝〈b，a〉，則cos〈a，b〉＝cos〈b，a〉．23．兩個平面垂直，則這兩個平面的法向量也垂直． (√)[提示]由平面法向量的定義可知．24．直線與平面垂直，則直線的方向向量與平面的法向量垂直． (×)[提示]直線的方向向量與平面的法向量平行．25．若向量e1，e2，e3是三個不共面的向量，且滿意k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，則k1＝k2＝k3＝0． (√)[提示]假設k1≠0，則e1＝－eq\f(k2,k1)e2－eq\f(k3,k1)e3，則e1，e2，e3共面．26．若直線的方向向量與平面的法向量所成的角為150°，則直線與平面所成的角為30°． (×)[提示]直線與平面所成的角為60°．27．若直線與平面所成的角為0°，則直線在平面內． (×)[提示]直線與平面也可能平行．28．兩個平面的法向量所成的角為120°，則兩個平面所成的二面角也是120°． (×)[提示]二面角的度數是120°或60°．29．兩條異面直線所成的角為30°，則兩條直線的方向向量所成的角可能是150°． (√)[提示]依據向量所成角的定義知正確．30．若二面角是30°，則在二面角的兩個半平面內與二面角的棱垂直的直線的方向向量所成的角也是30°． (×)[提示]在二面角的兩個半平面內與棱垂直的直線的方向向量所成的角是30°或150°．1．設α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是()A．α內有多數條直線與β平行B．α內有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線D．α，β垂直于同一平面B[對于A，α內有多數條直線與β平行，當這多數條直線相互平行時，α與β可能相交，所以A不正確；對于B，依據兩平面平行的判定定理與性質知，B正確；對于C，平行于同一條直線的兩個平面可能相交，也可能平行，所以C不正確；對于D，垂直于同一平面的兩個平面可能相交，也可能平行，如長方體的相鄰兩個側面都垂直于底面，但它們是相交的，所以D不正確．綜上可知選B．]2．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(1,2)，則()A．a2＝2b2 B．3a2＝4bC．a＝2b D．3a＝4B[因為橢圓的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，所以a2＝4c2．又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2．]3．已知橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的左焦點為F，點P在橢圓上且在x軸的上方．若線段PF的中點在以原點O為圓心，|OF|為半徑的圓上，則直線PF的斜率是________．eq\r(15)[如圖，左焦點F(－2,0)，右焦點F′(2,0)．線段PF的中點M在以O(0,0)為圓心，2為半徑的圓上，因此OM＝2．在△FF′P中，OM綊eq\f(1,2)PF′，所以PF′＝4．依據橢圓的定義，得PF＋PF′＝6，所以PF＝2．又因為FF′＝4，所以在Rt△MFF′中，tan∠PFF′＝eq\f(MF′,MF)＝eq\f(\r(FF′2－MF2),MF)＝eq\r(15)，即直線PF的斜率是eq\r(15)．]4．已知拋物線C：y2＝3x的焦點為F，斜率為eq\f(3,2)的直線l與C的交點為A，B，與x軸的交點為P．(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若eq\o(AP,\s\up7(→))＝3eq\o(PB,\s\up7(→))，求|AB|．[解]設直線l：y＝eq\f(3,2)x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)由題設得Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋eq\f(3,2)．由題設可得x1＋x2＝eq\f(5,2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x))可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，則x1＋x2＝－eq\f(12t－1,9)．從而－eq\f(12t－1,9)＝eq\f(5,2)，得t＝－eq\f(7,8)．所以l的方程為y＝eq\f(3,2)x－eq\f(7,8)．(2)由eq\o(AP,\s\up7(→))＝3eq\o(PB,\s\up7(→))可得y1＝－3y2．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x))可得y2－2y＋2t＝0．所以y1＋y2＝2．從而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3．代入C的方程得x1＝3，x2＝eq\f(1,3)．故|AB|＝eq\f(4\r(13),3)．5．如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1(1)證明：BE⊥平面EB1C1(2)若AE＝A1E，求二面角B-EC-C1的正弦值．[解](1)證明：由已知得，B1C1⊥平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1，故B1C又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1所以BE⊥平面EB1C1(2)由(1)知∠BEB1＝90°．由題設知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝45°，故AE＝AB，AA1＝2AB．以D為坐標原點，eq\o(DA,\s\up7(→))的方向為x軸正方向，|eq\o(DA,\s\up7(→))|為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，則C(0，1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，E(1，0,1)，eq\o(CB,\s\up7(→))＝(1,0,0)，eq\o(CE,\s\up7(→))＝(1，－1,1)，eq\o(CC1,\s\up7(→))＝(0,0,2)．設平面EBC的法向量為n＝(x1，y1，z1)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(CB,\s\up7(→))·n＝0，,\o(CE,\s\up7(→))·n＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,x1－y1＋z1＝0，))所以可取n＝(0，－1，－1)．設平面ECC1的法向量為m＝(x2，y2，z2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(CC1,\s\up7(→))·m＝0，,\o(CE,\s\up7(→))·m＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2z2＝0，,x2－y2＋z2＝0，))所以可取m＝(1,1,0)．于是cos〈n，m〉＝eq\f