13.3.1等腰三角形第1課時等腰三角形的性質課時目標1.探索并證明等腰三角形的兩個性質,培養學生的探究精神和推理能力.2.會應用等腰三角形概念和性質解決問題,培養應用意識.3.經歷觀察實驗、猜想證明,發展合情推理能力和演繹推理能力.4.結合等腰三角形的性質的探索和證明過程,體會軸對稱在研究幾何問題中的作用,培養學生對知識的遷移能力.學習重點探索并證明等腰三角形的性質.學習難點性質1中輔助線的添加和對性質2的理解.課時活動設計情境引入學校開展實踐活動,八年級的兩位同學將一塊等腰三角板放在國旗臺上,在三角板頂點放一根綁著石塊的繩子,他們發現繩子過三角板底邊中點,就說國旗臺是水平的.你知道為什么嗎?設計意圖:從學生身邊熟悉的國旗臺是否水平的實踐活動出發,利用等腰三角板工具,引出課題,進一步讓學生感知數學來源于生活,也能解決很多生活問題,培養學生應用數學思維思考現實世界的能力,培養科學態度和理性精神.探究新知通過剪紙,得到等腰三角形,認識邊(腰和底)、角(底角和頂角),歸納等腰三角形的概念.問題1:利用長方形紙片和剪刀,你能按照上圖的方式剪出一個三角形嗎?你能說明剪出的圖形有什么特征嗎?師生活動,學生動手操作,然后小組交流.解:上述過程中,剪刀剪過的兩條邊是相等的,即AB=AC,所以剪出來的三角形是等腰三角形.問題2:仔細觀察自己剪出的等腰三角形紙片,你能發現哪些角重合?哪些邊重合?等腰三角形是軸對稱圖形嗎?是的話,對稱軸是什么?小組合作交流.分析:學生在教師設置的問題的啟發下得出證明思路,只需證明兩個三角形全等即可,即可以作出底邊上的中線即可.解:已知△ABC為等腰三角形,AB=AC,作底邊BC的中線AD,在△ABD和△ACD中,∵AB∴△ABD≌△ACD(SSS)∴∠BAD=∠CAD,∠ABD=∠ACD,∠ADB=∠ADC,AB=AC,BD=CD.所以∠BAD與∠CAD重合,∠ABD與∠ACD重合,∠ADB與∠ADC重合,AB與AC重合,BD和CD重合,等腰三角形是軸對稱圖形,對稱軸是角平分線,是底邊上的高,是底邊上的中線.問題3:學生剪下的等腰三角形紙片大小不同,形狀各異,是否都具有上述所概括的特征?小組交流討論.解:都具有上述所概括的特征.問題4:在練習本上任意畫一個等腰三角形,把它剪下來,折一折,上面得出的結論仍然成立嗎?由此你能概括出等腰三角形的性質嗎?師生活動,學生動手操作,相互比較,互動交流,師生共同歸納.分析:教師通過上述問題,和學生歸納出性質的簡寫形式,并著重引導學生分析“三線合一”的含義.歸納:等腰三角形的性質.性質1等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成“等邊對等角”);性質2等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合(簡寫成“三線合一”).性質2可分解為:(1)等腰三角形的頂角平分線也是底邊上的中線和高;(2)等腰三角形底邊上的中線也是底邊上的高和頂角平分線;(3)等腰三角形底邊上的高也是頂角平分線和底邊上的中線.設計意圖:數學學習是螺旋式上升的,學生小學時已經對等腰三角形有了初步的認識,現在讓學生通過動手操作,在反復比較的過程中歸納總結等腰三角形的性質,體會認識事物的一般方法——由特殊到一般,進一步培養學生的抽象概括能力,讓學生真正理解“三線合一”的含義,不僅培養學生的動手能力,還能培養學生的抽象概括能力和幾何直觀能力.例題精講例如圖,在△ABC中,AB=AC,點D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度數.分析:本題共三個等腰三角形(△ABC,△DAB和△BCD),設∠A=x,可以利用等腰三角形的性質1和三角形的外角性質,將∠BDC用2x表示;利用等腰三角形的性質1,可知∠C=∠BDC,即∠C也可用2x表示;再利用等腰三角形的性質1,可知∠ABC=∠C,即∠ABC也可用2x表示:由三角形內角和定理即可求出△ABC各角的度數.解:∵AB=AC,BD=BC=AD,∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD(等邊對等角).設∠A=x,則∠BDC=∠A+∠ABD=2x,從而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.于是在△ABC中,有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°.解得x=36°.所以在△ABC中,∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.設計意圖:讓學生進一步理解等腰三角形的性質的意義,熟練運用等腰三角形的性質進行簡單的求解,啟發學生建立知識之間的普遍聯系,培養學生的邏輯推理能力和方程思想.鞏固訓練1.(1)在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠B=35°,則∠A=110°.

(2)等腰三角形的一個內角是100°,則這個三角形的底角的度數是40°.

(3)等腰三角形的一個內角是50°,則這個三角形的底角的度數是65°或50°.

2.如下圖所示,△ABC是等腰直角三角形(AB=AC,∠BAC=90°),AD是底邊BC上的高.求∠B,∠C,∠BAD,∠DAC的度數,并寫出圖中所有相等的線段.解:∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠C=45°.∵△ABC是等腰直角三角形,AD是△ABC底邊上的高,∴AD是∠BAC的角平分線,是BC邊上的中線.∴∠BAD=∠DAC=45°,BD=CD.∴∠B=∠BAD=45°,∠C=∠DAC=45°.∴AD=BD=CD.∴相等的線段:AD=BD=CD,AB=AC.3.已知點D,E在△ABC的邊BC上,AB=AC.(1)如圖1,若AD=AE,求證:BD=CE;(2)如圖2,若BD=CE,F為DE的中點,求證:AF⊥BC.證明:(1)∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.∴∠B=∠C.∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED.∴∠ADB=∠AEC.在△ABD與△ACE中,∠∴△ABD≌△ACE(AAS).∴BD=CE.(2)∵F為DE的中點,∴DF=EF.∵BD=CE,∴BD+DF=CE+EF.∴BF=CF.∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.∴AF為△ABC的中線,也是高線.∴AF⊥BC.設計意圖:在解題過程中學生可能會出現兩種方法,需要進行對比,讓學生體會三線合一的重要性.在等腰三角形有關計算或證明中,有時需要添加輔助線,其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線.通過練習,有利于培養學生應用知識的能力,讓學生體會知識的轉化.

課堂小結1.回顧引入中的問題,你能應用本節課的知識解決一下嗎?2.教師與學生一起回顧本節課所學的主要內容,并請學生回答以下問題:(1)本節課學習了哪些主要內容?(2)我們是怎么探究等腰三角形的性質的?(3)“三線合一”的含義是什么?請舉例說明.(4)本節課你學到了哪些證明線段相等或角相等的方法?設計意圖:通過小結,使學生梳理本節課所學內容和研究方法,把握本節課的重點——等腰三角形的性質,體會軸對稱在研究幾何問題中的重要作用.引導學生從知識內容和學習過程兩個方面總結自己的收獲,把握本節課的核心內容,掌握數形結合研究問題和建立不等式方程(組)解決問題的方法,提升知識轉化和遷移能力.相關練習.1.教材第81,82頁習題13.3第1,2,4題.2.相關練習.教學反思