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文檔簡介
甘肅省臨夏回族自治州臨夏中學2025屆高考壓軸卷數學試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區域內作答,超出答題區域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設,,則()A. B.C. D.2.,則與位置關系是()A.平行 B.異面C.相交 D.平行或異面或相交3.對于函數,若滿足,則稱為函數的一對“線性對稱點”.若實數與和與為函數的兩對“線性對稱點”,則的最大值為()A. B. C. D.4.閱讀下側程序框圖,為使輸出的數據為31,則①處應填的數字為A.4 B.5 C.6 D.75.記個兩兩無交集的區間的并集為階區間如為2階區間,設函數,則不等式的解集為()A.2階區間 B.3階區間 C.4階區間 D.5階區間6.某幾何體的三視圖如圖所示,圖中圓的半徑為1,等腰三角形的腰長為3,則該幾何體表面積為()A. B. C. D.7.羽毛球混合雙打比賽每隊由一男一女兩名運動員組成.某班級從名男生,,和名女生,,中各隨機選出兩名,把選出的人隨機分成兩隊進行羽毛球混合雙打比賽,則和兩人組成一隊參加比賽的概率為()A. B. C. D.8.下列說法正確的是()A.“若,則”的否命題是“若,則”B.“若,則”的逆命題為真命題C.,使成立D.“若,則”是真命題9.用電腦每次可以從區間內自動生成一個實數,且每次生成每個實數都是等可能性的.若用該電腦連續生成3個實數,則這3個實數都小于的概率為()A. B. C. D.10.已知函數,,若對任意的,存在實數滿足,使得,則的最大值是()A.3 B.2 C.4 D.511.已知,,,若,則正數可以為()A.4 B.23 C.8 D.1712.若集合,,則下列結論正確的是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.一個算法的偽代碼如圖所示,執行此算法,最后輸出的T的值為________.14.已知集合,,則_____________.15.過直線上一點作圓的兩條切線,切點分別為,,則的最小值是______.16.已知,,且,則最小值為__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在直角中,,,,點在線段上.(1)若,求的長;(2)點是線段上一點,,且,求的值.18.(12分)以平面直角坐標系的原點為極點,軸的正半軸為極軸,且在兩種坐標系中取相同的長度單位,建立極坐標系,已知曲線,曲線(為參數),求曲線交點的直角坐標.19.(12分)設橢圓的離心率為,左、右焦點分別為,點D在橢圓C上,的周長為.(1)求橢圓C的標準方程;(2)過圓上任意一點P作圓E的切線l,若l與橢圓C交于A,B兩點,O為坐標原點,求證:為定值.20.(12分)已知首項為2的數列滿足.(1)證明:數列是等差數列.(2)令,求數列的前項和.21.(12分)如圖,三棱錐中,點,分別為,的中點,且平面平面.求證:平面;若,,求證:平面平面.22.(10分)已知橢圓,上頂點為,離心率為,直線交軸于點,交橢圓于,兩點,直線,分別交軸于點,.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)求證:為定值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
由不等式的性質及換底公式即可得解.【詳解】解:因為,,則,且,所以,,又,即,則,即,故選:D.【點睛】本題考查了不等式的性質及換底公式,屬基礎題.2、D【解析】結合圖(1),(2),(3)所示的情況,可得a與b的關系分別是平行、異面或相交.選D.3、D【解析】
根據已知有,可得,只需求出的最小值,根據,利用基本不等式,得到的最小值,即可得出結論.【詳解】依題意知,與為函數的“線性對稱點”,所以,故(當且僅當時取等號).又與為函數的“線性對稱點,所以,所以,從而的最大值為.故選:D.【點睛】本題以新定義為背景,考查指數函數的運算和圖像性質、基本不等式,理解新定義含義,正確求出的表達式是解題的關鍵,屬于中檔題.4、B【解析】考點:程序框圖.分析:分析程序中各變量、各語句的作用,再根據流程圖所示的順序,可知:該程序的作用是利用循環求S的值,我們用表格列出程序運行過程中各變量的值的變化情況,不難給出答案.解:程序在運行過程中各變量的值如下表示:Si是否繼續循環循環前11/第一圈32是第二圈73是第三圈154是第四圈315否故最后當i<5時退出,故選B.5、D【解析】
可判斷函數為奇函數,先討論當且時的導數情況,再畫出函數大致圖形,將所求區間端點值分別看作對應常函數,再由圖形確定具體自變量范圍即可求解【詳解】當且時,.令得.可得和的變化情況如下表:令,則原不等式變為,由圖像知的解集為,再次由圖像得到的解集由5段分離的部分組成,所以解集為5階區間.故選:D【點睛】本題考查由函數的奇偶性,單調性求解對應自變量范圍,導數法研究函數增減性,數形結合思想,轉化與化歸思想,屬于難題6、C【解析】
幾何體是由一個圓錐和半球組成,其中半球的半徑為1,圓錐的母線長為3,底面半徑為1,計算得到答案.【詳解】幾何體是由一個圓錐和半球組成,其中半球的半徑為1,圓錐的母線長為3,底面半徑為1,故幾何體的表面積為.故選:.【點睛】本題考查了根據三視圖求表面積,意在考查學生的計算能力和空間想象能力.7、B【解析】
根據組合知識,計算出選出的人分成兩隊混合雙打的總數為,然后計算和分在一組的數目為,最后簡單計算,可得結果.【詳解】由題可知:分別從3名男生、3名女生中選2人:將選中2名女生平均分為兩組:將選中2名男生平均分為兩組:則選出的人分成兩隊混合雙打的總數為:和分在一組的數目為所以所求的概率為故選:B【點睛】本題考查排列組合的綜合應用,對平均分組的問題要掌握公式,比如:平均分成組,則要除以,即,審清題意,細心計算,考驗分析能力,屬中檔題.8、D【解析】選項A,否命題為“若,則”,故A不正確.選項B,逆命題為“若,則”,為假命題,故B不正確.選項C,由題意知對,都有,故C不正確.選項D,命題的逆否命題“若,則”為真命題,故“若,則”是真命題,所以D正確.選D.9、C【解析】
由幾何概型的概率計算,知每次生成一個實數小于1的概率為,結合獨立事件發生的概率計算即可.【詳解】∵每次生成一個實數小于1的概率為.∴這3個實數都小于1的概率為.故選:C.【點睛】本題考查獨立事件同時發生的概率,考查學生基本的計算能力,是一道容易題.10、A【解析】
根據條件將問題轉化為,對于恒成立,然后構造函數,然后求出的范圍,進一步得到的最大值.【詳解】,,對任意的,存在實數滿足,使得,易得,即恒成立,,對于恒成立,設,則,令,在恒成立,,故存在,使得,即,當時,,單調遞減;當時,,單調遞增.,將代入得:,,且,故選:A【點睛】本題考查了利用導數研究函數的單調性,零點存在定理和不等式恒成立問題,考查了轉化思想,屬于難題.11、C【解析】
首先根據對數函數的性質求出的取值范圍,再代入驗證即可;【詳解】解:∵,∴當時,滿足,∴實數可以為8.故選:C【點睛】本題考查對數函數的性質的應用,屬于基礎題.12、D【解析】
由題意,分析即得解【詳解】由題意,故,故選:D【點睛】本題考查了元素和集合,集合和集合之間的關系,考查了學生概念理解,數學運算能力,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由程序中的變量、各語句的作用,結合流程圖所給的順序,模擬程序的運行,即可得到答案.【詳解】根據題中的程序框圖可得:,執行循環體,,不滿足條件,執行循環體,,此時,滿足條件,退出循環,輸出的值為.故答案為:【點睛】本題主要考查了程序和算法,依次寫出每次循環得到的,的值是解題的關鍵,屬于基本知識的考查.14、【解析】
由集合和集合求出交集即可.【詳解】解:集合,,.故答案為:.【點睛】本題考查了交集及其運算,屬于基礎題.15、【解析】
由切線的性質,可知,切由直角三角形PAO,PBO,即可設,進而表示,由圖像觀察可知進而求出x的范圍,再用的式子表示,整理后利用換元法與雙勾函數求出最小值.【詳解】由題可知,,設,由切線的性質可知,則顯然,則或(舍去)因為令,則,由雙勾函數單調性可知其在區間上單調遞增,所以故答案為:【點睛】本題考查在以直線與圓的位置關系為背景下求向量數量積的最值問題,應用函數形式表示所求式子,進而利用分析函數單調性或基本不等式求得最值,屬于較難題.16、【解析】
首先整理所給的代數式,然后結合均值不等式的結論即可求得其最小值.【詳解】,結合可知原式,且,當且僅當時等號成立.即最小值為.【點睛】在應用基本不等式求最值時,要把握不等式成立的三個條件,就是“一正——各項均為正;二定——積或和為定值;三相等——等號能否取得”,若忽略了某個條件,就會出現錯誤.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)3;(2).【解析】
(1)在中,利用正弦定理即可得到答案;(2)由可得,在中,利用及余弦定理得,解方程組即可.【詳解】(1)在中,已知,,,由正弦定理,得,解得.(2)因為,所以,解得.在中,由余弦定理得,,即,,故.【點睛】本題考查正余弦定理在解三角形中的應用,考查學生的計算能力,是一道中檔題.18、【解析】
利用極坐標方程與普通方程、參數方程間的互化公式化簡即可.【詳解】因為,所以,所以曲線的直角坐標方程為.由,得,所以曲線的普通方程為.由,得,所以(舍),所以,所以曲線的交點坐標為.【點睛】本題考查極坐標方程與普通方程,參數方程與普通方程間的互化,考查學生的計算能力,是一道容易題.19、(1)(2)見解析【解析】
(1)由,周長,解得,即可求得標準方程.(2)通過特殊情況的斜率不存在時,求得,再證明的斜率存在時,即可證得為定值.通過設直線的方程為與橢圓方程聯立,借助韋達定理求得,利用直線與圓相切,即,求得的關系代入,化簡即可證得即可證得結論.【詳解】(1)由題意得,周長,且.聯立解得,,所以橢圓C的標準方程為.(2)①當直線l的斜率不存在時,不妨設其方程為,則,所以,即.②當直線l的斜率存在時,設其方程為,并設,由,,,由直線l與圓E相切,得.所以.從而,即.綜合上述,得為定值.【點睛】本題考查了橢圓的標準方程,直線與橢圓的位置關系中定值問題,考查了學生計算求解能力,難度較難.20、(1)見解析;(2)【解析】
(1)由原式可得,等式兩端同時除以,可得到,即可證明結論;(2)由(1)可求得的表達式,進而可求得的表達式,然后求出的前項和即可.【詳解】(1)證明:因為,所以,所以,從而,因為,所以,故數列是首項為1,公差為1的等差數列.(2)由(1)可知,則,因為,所以,則.【點睛】本題考查了等差數列的證明,考查了等差數列及等比數列的前項和公式的應用,考查了學生的計算求解能力,屬于中檔題.21、證明見解析;證明見解析.【解析】
利用線面平行的判定定理求證即可;為中點,為中點,可得,,,可知,故為直角三角形,,利用面面垂直的判定定理求證即可.【詳解】解:證明:為中點,為中點,,又平面,平面,平面;證明:為中點,為中點,,又,,則,故為直角三角形,,平面平面,平面平面,,平面,平面,又∵平面,平面平面.【點睛】本題考查線面平行和面面垂直的判定定理的應用,屬于基礎題.22、(Ⅰ);(Ⅱ),證明見解析.【解析】
(Ⅰ)根據題意列出關于,
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