熱點專題2-2

函數單調性與奇偶性15類題型全歸納【題型9】函數圖象的識別判斷函數圖象常用的辦法是排除法一：判斷奇偶性(依選項而判斷)二：代入特殊點看正負三：極限思想1．我國著名數學家華羅庚先生曾說：數缺形時少直觀，形缺數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休．在數學的學習和研究中，常用函數的圖象來研究函數的性質，也常用函數的解析式來琢磨函數的圖象特征，如函數的圖象大致為（

）A． B．C． D．【鞏固練習1】2．函數的部分圖象大致是（

）A． B．C． D．3．函數的圖象大致是（

）A．

B．

C．

D．

【鞏固練習2】4．函數的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【鞏固練習3】5．函數的圖象大致形狀是（

）A．

B．

C．

D．

【鞏固練習4】6．函數的圖象大致是（

）A．

B．

C．

D．

【題型10】利用單調性，奇偶性比大小利用奇偶性把不在同一單調區間上的兩個或多個自變量的函數值轉化到同一單調區間上，進而利用其單調性比較大小（2024·寧夏石嘴山·三模）7．若定義在上的偶函數在上單調遞增，則的大小關系為（

）A． B．C． D．【鞏固練習1】（2024·寧夏銀川·一模）8．若，設，則a，b，c的大小關系為（

）A． B． C． D．【鞏固練習2】9．已知函數，記，則（

）A． B．C． D．【鞏固練習3】（2024·四川·模擬預測）10．若定義在上的偶函數在上單調遞增，則的大小關系為（

）A． B．C． D．【題型11】已知函數的奇偶性求參數利用函數的奇偶性求參數函數的奇偶性，題目難度不大，屬于基礎題.根據偶函數的定義，即可求參數考查學生的邏輯推理能力和數學運算能力常見方法：（1）定義法奇函數：；偶函數：（2）特殊值法可以取0，±1這類比較好計算的特殊值（3）導數法奇函數的導數為偶函數，偶函數的導數為奇函數（4）函數性質法①為偶函數，②奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶，結合常見函數模型③復合函數的奇偶性原來：內偶則偶，兩奇為奇.（5）定義域對稱法若解析式中含有2個參數時，可以考慮通過定義域對稱這個限制來得出參數的值（2023年新課標全國Ⅱ卷）11．若為偶函數，則（

）．A． B．0 C． D．112．已知函數為奇函數，則的值是（

）A．0 B． C．12 D．1013．已知函數的圖象關于軸對稱，則．14．函數為奇函數，則實數.（2022·全國·高考真題）15．若是奇函數，則，．【鞏固練習1】（2021·全國·高考真題）16．已知函數是偶函數，則.【鞏固練習2】17．已知函數是奇函數，則.【鞏固練習3】18．已知函數是奇函數，則實數．【鞏固練習4】19．若函數是偶函數，則實數的值為.【鞏固練習5】（2024·高三·湖北武漢·期末）20．函數為奇函數，則實數k的取值為.【鞏固練習6】21．若函數是奇函數，則．【題型12】解奇函數不等式先移項，再利用單調性把不等式的函數符號“f”脫掉，得到具體的不等式(組)，并注意是否有定義域的限制22．奇函數f(x)是定義在(－1，1)上的減函數，若f(m－1)＋f(3－2m)<0，求實數m的取值范圍．23．設函數f(x)為奇函數，且在(－∞，0)上是減函數，若f(－2)＝0，則xf(x)<0的解集為（

）A．(－1，0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0，2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2，0)∪(0，2)24．已知是定義在R上的奇函數，當時，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【鞏固練習1】25．設奇函數在上為增函數，且，則不等式的解集為A． B．C． D．【鞏固練習2】26．已知函數是定義在上的奇函數，當時，，則的解集是.【鞏固練習3】27．已知是定義在上的奇函數，當時，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【鞏固練習4】（2024·安徽安慶·三模）28．已知函數的圖象經過點，則關于的不等式的解集為（

）A． B．C． D．【題型13】解偶函數不等式利用單調性把不等式的函數符號“f”脫掉，再加上絕對值，得到絕對值不等式(組)，注意是否有定義域的限制29．已知是定義在上的偶函數，且在區間上單調遞增，則不等式的解集為30．已知是定義在上的偶函數，且在上遞減，則不等式的解集是．【鞏固練習1】31．若函數是定義在上的偶函數，在上是減函數，且，則使得的的取值范圍是（

）A． B．C． D．【鞏固練習2】32．已知函數是定義在上的偶函數，且在上單調遞增，則的解集為．【鞏固練習3】33．已知函數，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【題型14】函數不等式恒成立問題與能成立問題，使得，等價于，，使得，等價于，使得，等價于，，使得，等價于34．若，使的取值范圍為（

）A． B．C． D．35．若“，”為假命題，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【鞏固練習1】（2024·全國·模擬預測）36．已知，且在區間恒成立，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【鞏固練習2】（23-24高三上·北京通州·期末）37．已知函數，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【鞏固練習3】（2024·廣東深圳·模擬預測）38．已知函數，若，使得成立，則實數m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【鞏固練習4】（2024·福建廈門·一模）39．已知，，，則下列結論錯誤的為（

）A．， B．，C．， D．，【題型15】存在任意雙變量問題（1），成立（2），成立（3），恒成立（4），恒成立（5）成立（6）成立（7）若f(x)，g(x)的值域分別為A，B，則有：①?x1∈D，?x2∈E，使得f(x1)=g(x2)成立，則；②?x1∈D，?x2∈E，使得f(x1)=g(x2)成立，則.40．已知函數，，若，，使得，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．41．已知且，若存在,存在,使得成立,則實數a的取值范圍是.42．已知函數，若對任意，存在，使得，則實數的取值范圍．【鞏固練習1】43．已知函數，，若對，使得，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【鞏固練習2】44．已知函數，.若，，使得成立，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【鞏固練習3】45．已知，，若對任意，都存在，使得，則實數m的取值范圍是.參考答案：1．A【分析】先根據確定奇偶性，排除兩個選項，再由函數值的正負排除一個選項，得出正確結論．【詳解】記，函數定義域為，則，所以函數為奇函數，排除BC，又當時，，排除D，故選：A2．C【分析】根據函數奇偶性和特殊區間的正負即可判斷求解.【詳解】因為定義域，且，所以是奇函數，則的圖象關于原點對稱，排除A，D；當時，，排除B.故選：C3．D【分析】求出函數的定義域，然后判斷函數的奇偶性，再根據函數的單調性進行分析判斷即可.【詳解】函數的定義域為，因為，所以為奇函數，所以的圖象關于原點對稱，所以排除A，當時，，所以排除C，當時，，因為和在上遞增，所以在上遞增，所以排除B，故選：D4．A【分析】確定函數為奇函數排除CD，計算特殊值排除A，得到答案.【詳解】，函數定義域為，，函數為奇函數，排除CD，，排除B，故選：A5．A【分析】當時，可判斷C，D錯誤，當時可判斷A，B.【詳解】當時，，其在單調遞增，C，D錯誤；當時，，在單調遞減，B錯誤，A正確.故選：A6．D【分析】求出函數的定義域，然后判斷函數的奇偶性，再根據函數的單調性進行分析判斷即可.【詳解】函數的定義域為，因為，所以為奇函數，所以的圖象關于原點對稱，所以排除A，當時，，所以排除C，當時，，因為和在上遞增，所以在上遞增，所以排除B，故選：D7．A【分析】利用冪函數的單調性以及對數運算判斷處，再結合的奇偶性以及單調性，即可得答案.【詳解】因為是定義在上偶函數，所以，因為，則，所以，因為在上單調遞增，所以，即，故選：A．8．D【分析】求出函數定義域，判斷奇偶性和單調性，比較的大小即可.【詳解】由題意知，由，所以為偶函數，圖象關于軸對稱，當時，由復合函數的單調性法則知隨的增大而增大，即，單調遞增，因為，，且，，所以，所以，即，也就是.故選：D9．C【分析】先判斷函數的奇偶性，再利用導數考查函數的單調性，比較自變量的范圍和大小，利用函數單調性和奇偶性比較即得.【詳解】函數的定義域為，所以函數為偶函數，當時，設，則，故在上單調遞增且恒為正數，則函數在上單調遞減，又函數為偶函數，故在上單調遞增，又，即，于是，即.故選:C.10．A【分析】根據函數奇偶性，先得，從而得，再根據函數單調性可判斷大小.【詳解】因為是定義在上偶函數，所以，因為，所以，因為在上單調遞增，所以，故選：A.11．B【分析】根據偶函數性質，利用特殊值法求出值，再檢驗即可.【詳解】因為為偶函數，則，解得，當時，，，解得或，則其定義域為或，關于原點對稱.，故此時為偶函數.故選：B.12．D【分析】由奇函數的性質可知，由此可以求出的值，進而可以求出.【詳解】因為函數為奇函數，所以，即，即或，顯然函數的定義域為關于原點對稱，且當時，有，從而有，當時，有，但，所以，即，所以.故選：D.13．1【分析】由函數圖象關于軸對稱可得，再結合對數的運算性質代入表達式求出即可.【詳解】因為，且，即，有，所以．故答案為：1.14．【解析】由為奇函數，根據定義有，結合是單調函數即可求.【詳解】函數為奇函數知：，而，∴，即，又是單調函數，∴，即有，解得.故答案為：.【點睛】本題考查了利用函數的奇偶性求參數值，應用的單調性列方程，屬于基礎題.15．；．【分析】根據奇函數的定義即可求出．【詳解】[方法一]：奇函數定義域的對稱性若，則的定義域為，不關于原點對稱若奇函數的有意義，則且且，函數為奇函數，定義域關于原點對稱，，解得，由得，，，故答案為：；．[方法二]：函數的奇偶性求參函數為奇函數[方法三]：因為函數為奇函數，所以其定義域關于原點對稱．由可得，，所以，解得：，即函數的定義域為，再由可得，．即，在定義域內滿足，符合題意．故答案為：；．16．1【分析】利用偶函數的定義可求參數的值.【詳解】因為，故，因為為偶函數，故，時，整理得到，故，故答案為：117．1【分析】先求出函數的定義域，然后由奇函數的性質得可求出.【詳解】由，得，所以函數的定義域為，因為為奇函數，所以，解得，故答案為：118．【分析】根據題意可知是偶函數，結合偶函數的定義分析求解.【詳解】由題意可知：函數的定義域為函數，因為函數是奇函數，且是奇函數，可知是偶函數，則，因為不恒成立，則，解得.故答案為：.19．##【分析】根據偶函數定義對函數解析式進行化簡即可得.【詳解】易知的定義域為，且，因為函數是偶函數，所以，所以恒成立，故，即.故答案為：20．【分析】根據奇函數可得，再整理化簡即可求解.【詳解】因為為定義域上的奇函數，所以，即，整理化簡有：恒成立，所以，得，又因為，所以，且當時，，其定義域為，關于原點對稱，故滿足題意.故答案為：21．【分析】根據奇函數的定義域關于關于原點對稱，即可求出，求出函數的定義域，再由奇函數得，即可求出，即可得解.【詳解】由，可得，即，且，即，又因為奇函數的定義域關于原點對稱，所以，所以，故，定義域為，因為函數是奇函數，所以，所以，經檢驗，符合題意，所以，，所以.故答案為：.22．(1，2).【分析】根據函數的奇偶性，把不等式轉化為，再根據函數的定義域和單調性，即可求解.【詳解】原不等式化為f(m－1)<－f(3－2m)．因為f(x)是奇函數，所以f(m－1)<f(2m－3)．因為f(x)是減函數，所以m－1>2m－3，所以m<2．又f(x)的定義域為(－1，1)，所以－1<m－1<1且－1<3－2m<1，所以0<m<2且1<m<2，所以1<m<2．綜上得1<m<2．故實數m的取值范圍是(1，2)．【點睛】解決此類不等式問題時一定要充分利用已知條件，把已知不等式轉化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根據函數的奇偶性與單調性，列出不等式(組)，要注意函數定義域對參數的影響．23．C【分析】考慮奇函數的對稱性，可以畫出函數圖像，在利用不等式的性質即可.【詳解】解析利用函數的性質畫出函數f(x)的簡圖如圖，所以不等式xf(x)<0可化為或由圖可知x>2或x<－2，故選：C．24．D【分析】根據函數的奇偶性以及當時，，判斷函數單調性，作出其大致圖像，數形結合，結合對數函數性質，解不等式，即可求得答案.【詳解】由題意是定義在R上的奇函數，故，當時，，此時在上單調遞增，且過點，則當時，在上單調遞增，且過點，作出函數的大致圖像如圖：則由可得或，解得或，即的解集為，故選：D25．D【詳解】因為奇函數在上為增函數,所以在上也是增函數,且,從而在定義域上的大致圖象為：

所以的解為:,或故選：D．26．【分析】利用奇偶性求出函數的解析式，分類討論即可求解.【詳解】當時，，所以，因為函數是定義在R上的奇函數，所以，所以當時，，所以，要解不等式，只需或或，解得或或，綜上，不等式的解集為.故答案為：.27．B【分析】根據函數的奇偶性求出函數的表達式，分段討論解不等式即可得到結論．【詳解】解：∵是定義在上的奇函數，，當，，此時，∵是奇函數，，即，當，即時，不等式不成立；當，即時，，解得：當，即時，，解得，綜合得：不等式的解集為，故選B.【點睛】本題主要考查不等式的解法，利用函數的奇偶性求出函數的表達式是解決本題的關鍵，注意要進行分類討論．28．C【分析】根據圖象經過點得到解析式，再由單調性和奇偶性化簡不等式即可求解.【詳解】由題意知，解得，所以，其在上單調遞增，又因為，所以函數為奇函數，，所以不等式可化為，于是，即，解得或.故選：C．29．【分析】由函數為偶函數可將原不等化為，再根據函數在上單調遞增，可得，從而可求得結果.【詳解】因為是定義在上的偶函數，所以可化為，因為在上單調遞增，所以，所以，即，解得，所以原不等式的解集為，故答案為：.30．【分析】根據是定義在上的偶函數，將不等式轉化為，再利用其單調性求解.【詳解】解：因為是定義在上的偶函數，且在上遞減，所以在上遞增，不等式等價于，所以，解得，所以不等式的解集是.故答案為：31．C【分析】分析函數在上的單調性，將所求不等式變形為，可得出關于的不等式，解之即可.【詳解】因為函數是定義在上的偶函數，在上是減函數，則函數在上為增函數，因為，由可得，則，解得，因此，滿足的的取值范圍是.故選：C.32．【分析】由偶函數定義域的對稱性可求，從而可得在上為增函數，在上為減函數，距離對稱軸越遠，函數值越小，將不等式轉化為，結合定義域列不等式組，即可得結論．【詳解】解：∵是定義在上的偶函數，∴，解得，∴函數的定義域為，∵在上單調遞增，∴在上單調遞減，距離對稱軸越遠，函數值越小，由，可得，解得，故不等式的解集為．故答案為：．【點睛】關鍵點點睛：根據偶函數定義域關于原點對稱的性質求參數，再由函數單調性列不等式組求解即可.33．B【分析】判斷出函數的奇偶性和單調性，再由偶函數的定義和增函數的定義化簡不等式，得出解集.【詳解】函數的定義域為，且，即是偶函數，當時，，構造，，令，則在上單調遞增，又也是增函數，則在上單調遞增，又是定義域內的增函數，故在上單調遞增，不等式等價于，即，平方得：，解得且，則不等式的解集為.故選：B.34．C【分析】根據給定條件，分離參數，求出二次函數在上最大值即得結果.【詳解】不等式，等價于，依題意，，恒成立，而函數在上單調遞增，當時，，因此，所以的取值范圍為.故選：C35．C【分析】轉化為命題的否定為真命題，再分離參數，設新函數求出其最大值即可得到答案.【詳解】由題意得該命題的否定為真命題，即“，”為真命題，即，令，因為，則，則存在，使得成立，令，令，則（負舍），則根據對勾函數的性質知在上單調遞減，在上單調遞增，且，，則，則.故選：C.36．B【分析】在區間恒成立，只需要即可，再根據指數函數的單調性求出最大值即可得解.【詳解】由解析式易知：單調遞增，當時，恒成立，則，得．故選：B．37．A【分析】求出時的范圍，然后根據充分條件及必要條件的概念即可得出結論.【詳解】由題意，在中，對稱軸，∴當時，，解得：，∴“”是“”的充分而不必要條件.故選：A.38．C【分析】先求出分段函數的最小值；再求解不等式的解集即可.【詳解】因為函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，所以當時，函數取得最小值.又因為函數在區間上單調遞增，所以當時，.綜上可得函數的最小值為.因為，使得成立，所以，解得：或.故選：C.39．D【分析】舉例即可判斷ABC；再根據基本不等式及三角函數的性質即可判斷D.【詳解】對于A，當時，，，此時，所以，，故A正確；對于B，當時，，，此時，所以，，故B正確；對于C，當時，，，此時，所以，，故C正確；對于D，當時，，當且僅當，即時取等號，，由，得，而，所以當