精練10--解直角三角形1．如圖，某輛自行車(chē)放在水平的地面上，車(chē)把頭下方A處與坐墊下方B處在平行于地面的水平線上，測(cè)得AB＝54cm，AC、BC與AB的夾角分別為45°與60°．（1）求點(diǎn)C到AB的距離（結(jié)果保留一位小數(shù)）．（2）若點(diǎn)C到地面的距離CD為30cm，坐墊中軸E與點(diǎn)B的距離BE為4cm（坐墊E可按軸線BC上下伸縮調(diào)節(jié)）．茜茜根據(jù)自己身高比例，坐墊E到地面的距離為70cm時(shí)，乘坐該自行車(chē)最舒適．茜茜坐上該自行車(chē)，感覺(jué)不是很舒適，問(wèn)：如果要達(dá)到最佳舒適高度，茜茜應(yīng)該如何調(diào)節(jié)坐墊E的位置？（結(jié)果保留一位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：≈1.4，≈1.7）【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB于點(diǎn)M，則∠CMA＝∠CMB＝90°，∵∠CAM＝45°，∠CBM＝60°，∴AM＝CM，BM＝，∵AB＝54（cm），∴CM+＝54，∴CM＝27（3﹣）≈35.1（cm），∴點(diǎn)C到AB的距離為35.1cm；（2）∵坐墊E到地面的距離為70cm時(shí)，乘坐該自行車(chē)最舒適，∴點(diǎn)E到AB的距離為70﹣30﹣35.1＝4.9（cm），過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AB于點(diǎn)N，則EN＝4.9（cm），∠ENB＝90°，∵∠EBN＝∠CBM＝60°，∴BE＝＝≈5.8（cm）∵原BE為4cm，∴需將BE調(diào)長(zhǎng)5.8﹣4＝1.8（cm）．2．某小區(qū)擬建設(shè)地下停車(chē)庫(kù)入口，將原步行樓梯入口AC改造為斜坡AD．已知入口高AB＝3m，坡面AC的坡度i＝1：1，新坡面坡角∠ADB＝30°．（1）求斜坡底部增加的長(zhǎng)度CD為多少米？（保留根號(hào)）（2）入口處水平線AE＝5m，地下停車(chē)庫(kù)坡道入口上方點(diǎn)E處有懸掛廣告牌EF，EF⊥BD，EF＝0.5m．若一輛高度為2米的貨車(chē)沿斜坡AD駛?cè)胲?chē)庫(kù)，行進(jìn)中是否會(huì)碰到廣告牌的下端F？請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：≈1.4，≈1.7）【解答】解：（1）∵坡面AC的坡度i＝1：1，∴AB：BC＝1：1，∴BC＝AB＝3m，∵∠ADB＝30°，∴tan∠ADB＝＝tan30°＝，∴BD＝AB＝3m），∴CD＝BD﹣BC＝（3﹣3）（m），答：斜坡底部增加的長(zhǎng)度CD為（3﹣3）米；（2）若一輛高度為2米的貨車(chē)沿斜坡AD駛?cè)胲?chē)庫(kù)，行進(jìn)中不會(huì)碰到廣告牌的下端F，理由如下：如圖，延長(zhǎng)EF交AD于G，過(guò)F作FH⊥AD于H，由題意得：∠AEG＝90°，AE∥BD，∴∠EAG＝∠ADB＝30°，∵tan∠EAG＝＝tan30°＝，AE＝5m，∴EG＝AE＝（m），∴FG＝EG﹣EF＝﹣0.5＝（﹣）（m），在Rt△FGH中，∠FGH＝90°﹣∠EAG＝90°﹣30°＝60°，∵sin∠FGH＝＝sin60°＝，∴FH＝FG＝×（﹣）＝﹣≈2.075（m）＞2m，∴若一輛高度為2米的貨車(chē)沿斜坡AD駛?cè)胲?chē)庫(kù)，行進(jìn)中不會(huì)碰到廣告牌的下端F．3．如圖，在同一剖面內(nèi)，小明在點(diǎn)A處用測(cè)角儀測(cè)得居民樓的頂端F的仰角為27°，他水平向右前進(jìn)了30米來(lái)到斜坡的坡腳B處，沿著斜坡BC上行25米到達(dá)C點(diǎn)，用測(cè)角儀測(cè)得點(diǎn)F的仰角為54°，然后，水平向右前進(jìn)一段路程來(lái)到了居民樓的樓底E處，若斜坡BC的坡度為3：4，請(qǐng)你求出居民樓EF的高度．（測(cè)角儀的高度忽略不計(jì)，計(jì)算結(jié)果精確到0.1米．）參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.45，tan27°≈0.51，sin54°≈0.81，tan54°≈1.38）【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AD于點(diǎn)G，EH⊥AD于點(diǎn)H，得矩形CGHE，∴CE＝GH，CG＝EH，在Rt△BCG中，BC＝25米，CG：BG＝3：4，∴CG＝EH＝15米，BG＝20米，在Rt△AFH中，AH＝AB+BC+GH＝30+20+GH＝50+CE，∵∠FAG＝27°，∴FH＝AH?tan27°，∴EF+15≈（50+CE）×0.51，在Rt△FCE中，∵∠FCE＝54°，∴EF＝CE×tan54°≈1.38CE，∴1.38CE+15≈（50+CE）×0.51，解得CE＝，∴EF≈1.38CE≈16.7（米），∴居民樓EF的高度約為16.7米．4．如圖，在某海域內(nèi)有一小島P，在以P為圓心，半徑r為6海里的圓形海域內(nèi)有暗礁，一輪船自東向西航行，它在A處測(cè)得小島P位于北偏西45°的方向上，當(dāng)這艘輪船行駛4海里后到達(dá)B地，此時(shí)觀測(cè)小島P位于B地北偏西30°的方向上．（1）求A、P之間的距離；（結(jié)果精確到0.1海里，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈2.45）（2）該輪船由B地繼續(xù)向西行駛（4﹣4）海里到達(dá)C地，此時(shí)觀測(cè)小島P位于C地北偏西15°的方向上，同時(shí)接到總部通知，由于突發(fā)狀況，該輪船必須駛離東西航線并沿北偏西某航向行駛，那么該輪船由C處開(kāi)始沿北偏西至少多少度的方向航行才能避開(kāi)小島P周?chē)陌到赴踩ㄟ^(guò)這一海域？【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，由題意得，∠BPD＝30°，∠PAD＝45°，AB＝4海里，設(shè)PD＝x海里，則AD＝x海里，∴BD＝AD﹣AB＝（x﹣4）海里，在Rt△PBD中，∵BD＝PDtan30°，∴x﹣4＝x，∴x＝2（3+），∴PA＝PD＝x＝6+2≈13.4（海里），答：A，P之間的距離約為13.4海里；（2）因?yàn)閞﹣PD＝6﹣2（3+）＝6﹣6﹣2≈﹣1＜0，所以無(wú)觸礁的危險(xiǎn)；設(shè)輪船無(wú)觸礁危險(xiǎn)的新航線為射線CH，作PE⊥CH，垂足為E，當(dāng)P到CH的距離PE＝6海里時(shí)，有sin∠PCE＝，設(shè)CD＝y(tǒng)海里，∵BC＝（4﹣4）海里，在Rt△PBD中，PD＝2（3+）海里，∠BPD＝30°，∴BD＝PDtan30°，∴y+4﹣4＝2（3+）×，解得y＝6﹣2，∴CD＝（6﹣2）海里，∴PC＝＝＝4，∴sin∠PCE＝＝＝，∴∠PCE＝60°，∴60°+15°＝75°，∴該輪船由C處開(kāi)始沿北偏西至少75度的方向航行才能避開(kāi)小島P周?chē)陌到赴踩ㄟ^(guò)這一海域．5．如圖，某漁船向正東方向以14海里/時(shí)的速度航行，在A處測(cè)得小島C在北偏東70°方向，2小時(shí)后漁船到達(dá)B處，測(cè)得小島C在北偏東45°方向，已知該島周?chē)?0海里范圍內(nèi)有暗礁．（參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）（1）求B處距離小島C的距離（精確到0.1海里）；（2）為安全起見(jiàn)，漁船在B處向東偏南轉(zhuǎn)了25°繼續(xù)航行，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明船是否安全？【解答】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AD于M，CN⊥BE于N，由題意得，∠CAD＝90°﹣70°＝20°，∠CBD＝90°﹣45°＝45°，AB＝14×2＝28海里，∵∠CBD＝45°，∴CM＝BM，在Rt△CAM中，∵tan∠ACM＝，∴tan70°＝，解得CM≈16，在Rt△BCM中，BC＝CM＝16≈22.6（海里），答：B處距離小島C的距離約為22.6海里；（2）在Rt△BCN中，∠CBN＝45°+25°＝70°，BC＝16海里，∴CN＝BC?sin∠CBN≈16×0.94≈21.2（海里），∵21.2＞20，∴能安全通過(guò)，答：能安全通過(guò)．6．首鋼滑雪大跳臺(tái)是世界上首個(gè)永久性的單板大跳臺(tái)，其優(yōu)美的造型，獨(dú)特的設(shè)計(jì)給全球觀眾留下深刻的印象，大跳臺(tái)場(chǎng)地分為助滑區(qū)、起跳臺(tái)、著陸坡和終點(diǎn)區(qū)域4個(gè)都分，現(xiàn)將大跳臺(tái)抽象成如圖的簡(jiǎn)圖，F(xiàn)C表示運(yùn)送運(yùn)動(dòng)員上跳臺(tái)的自動(dòng)扶梯，CD表示助滑區(qū)，Rt△DEH表示起跳臺(tái)，EB表示著陸坡．已知∠CFA＝60°，∠EBF＝30°，在助滑區(qū)D處觀察到頂點(diǎn)C處的仰角是30°，且自動(dòng)扶梯的速度是2m/s，運(yùn)送運(yùn)動(dòng)員到達(dá)跳臺(tái)頂端C點(diǎn)處需要30秒，BE＝24m，DE∥BF，CA、DG、EF都垂直于BF．（1）求大跳臺(tái)AC的高度是多少米（結(jié)果精確到0.1m）；（2）首鋼滑雪大跳臺(tái)主體結(jié)構(gòu)采用裝配式鋼結(jié)構(gòu)體系和預(yù)制構(gòu)件，“助滑區(qū)”和“著陸坡”賽道面寬35米，面板采用10mm耐候鋼，密度為7850kg/m3，求鋪裝“助滑區(qū)”和“著陸坡”賽道的耐候鋼總重量是多少?lài)崳ńY(jié)果精確到1噸）．（≈1.41，≈1.73）【解答】解：（1）根據(jù)題意可知：AC＝2×30＝60（m），答：大跳臺(tái)AC的高度是60米；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥CA于點(diǎn)M，得矩形AMDG，矩形DGNE，在Rt△ACF中，CF＝60m，∠CFA＝60°，∴AC＝CF?sin60°＝60×＝30（m），在Rt△EBN中，∠EBN＝30°，BE＝24m，∴EN＝BE＝12m，∴AM＝DG＝EN＝12m，∴CM＝AC﹣AM＝（30﹣12）m，∵DE∥BF，∴∠CDM＝∠E＝30°，∴CD＝2CM＝2（30﹣12）＝60﹣24≈79.8m，∴耐候鋼的體積＝79.8×35×10﹣2+24×35×10﹣2＝36.33（m3），∴耐候鋼總重量＝36.33×7850≈285190（噸）．答：賽道的耐候鋼總重量約為285190噸．7．5G時(shí)代，萬(wàn)物互聯(lián)．互聯(lián)網(wǎng)、大數(shù)據(jù)、人工智能與各行業(yè)應(yīng)用深度融合，助力數(shù)字經(jīng)濟(jì)發(fā)展，共建智慧生活．網(wǎng)絡(luò)公司在改造時(shí)，把某一5G信號(hào)發(fā)射塔MN建在了山坡BC的平臺(tái)CD上，已知山坡BC的坡度為1：2.4．眼睛距地面1.6米的小明站在A處測(cè)得塔頂M的仰角是37°．向前步行6米到達(dá)B處，再延斜坡BC步行6.5米至平臺(tái)點(diǎn)C處，測(cè)得塔頂M的仰角是50°．若A．B、C、D、M、N在同一平面內(nèi)，且A、B和C、D、N分別在同一水平線上．（1）求平臺(tái)CD距離地面的高度；（2）求發(fā)射塔MN的高度．（結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）【解答】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QP⊥MN于P，過(guò)點(diǎn)F作FE⊥MN于E，∵山坡BC的坡度為1：2.4，BC＝6.5米，設(shè)CG＝x，則BG＝2.4x，∴x2+（2.4x）2＝6.52，解得x＝，∴CG＝HN＝米，BG＝6米，（2）解：∵CG＝HN＝米，BG＝6米，∴AG＝12米，由題意知∠MQP＝37°，∠MFE＝50°，設(shè)EF＝a米，則PQ＝AH＝（a+12）（米），∵tan50°＝≈1.20，∴ME＝1.2a，∵tan37°＝≈0.75，∴MP＝（a+12），∵M(jìn)E+EN+NH＝MP+PH，∴1.2a+1.6+＝（a+2）+1.6，解得a＝米，∴MN＝1.2a+1.6≈18.9（米）．8．如圖，為了測(cè)量陶行知紀(jì)念館AB的高度，小李在點(diǎn)C處放置了高度為1.5米的測(cè)角儀CD，測(cè)得紀(jì)念館頂端A點(diǎn)的仰角∠ADE＝51°，然后他沿著坡度i＝1：2.4的斜坡CF走了6.5米到達(dá)點(diǎn)F，再沿水平方向走4米就到達(dá)了紀(jì)念館底端點(diǎn)B．（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：sin51°≈0.78，cos51°≈0.63，tan51°≈1.23）（1）求點(diǎn)D到紀(jì)念館AB的水平距離；（2）求紀(jì)念館AB的高度約為多少米？【解答】解：（1）延長(zhǎng)AB交水平線于點(diǎn)M，過(guò)F作FN⊥CM于N，延長(zhǎng)DE交AM于H，則四邊形HMCD為矩形，∴HM＝CD＝1.5米，DH＝CM，∵斜坡CF的坡度i＝1：2.4，∴＝，∴CN＝2.4FN，∵CF＝6.5米，∴BM＝FN＝2.5（米），CN＝6（米），∵M(jìn)N＝BF＝4米，∴DH＝CM＝6+4＝10（米），答：點(diǎn)D到紀(jì)念館AB的水平距離為10米；（2）在Rt△ADH中，tan∠ADE＝則AH＝DH?tan∠ADE＝10×tan51°≈12.3（米），∴AB＝AM﹣BM＝AH+HM﹣BM＝12.3+1.5﹣2.5≈11.3（米），答：紀(jì)念館AB的高度約為11.3米．9．2022北京冬奧會(huì)已正式閉幕，但因冬奧燃起的冰雪消費(fèi)熱潮仍在持續(xù)中國(guó)滑雪場(chǎng)、冰雪產(chǎn)業(yè)正在逐步形成．如圖，是某度假村興建的專(zhuān)業(yè)滑雪場(chǎng)地，小南在觀景臺(tái)A處向前走15米到達(dá)觀景點(diǎn)B處，測(cè)得滑雪場(chǎng)頂端E的仰角為22°，沿著坡度為1：2.4的斜坡走了26米到達(dá)坡底C處，然后往前走93米到達(dá)滑雪場(chǎng)底端D處．A、B、C、D、E、M、N在同一平面內(nèi)，ED⊥MD，BN⊥MD，AM⊥MD，AB∥MD．（參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）（1）求觀景臺(tái)A處到坡底C的水平距離CM；（2）求滑雪場(chǎng)頂端E到CD的距離ED的長(zhǎng)（結(jié)果精確到1米）．【解答】解：（1）延長(zhǎng)AB交DE于F，∵ED⊥MD，BN⊥MD，AM⊥MD，AB∥MD，∴AM∥BN∥FD，BF⊥EF，∴四邊形AMNB和四邊形BNDF是平行四邊形，∴?AMNB和?BNDF是矩形，在Rt△BCN中，＝，BC＝26，BN2+CN2＝BC2，設(shè)BN＝x，CN＝2.4x，∴x2+（2.4x）2＝262，解得：x＝10，∴BN＝10，CN＝24，∵四邊形AMNB是矩形，AB＝15，∴MN＝AB＝15，∴CM＝MN+CN＝15+24＝39（米），答：觀景臺(tái)A處到坡底C的水平距離CM為39米；（2）∵四邊形BNDF是矩形，BN＝10，CD＝93，CN＝24，∴FD＝BN＝10，BF＝DN＝CN+CD＝24+93＝117，在Rt△BEF中，tan∠EBF＝＝tan22°，∴EF＝BF?tan22°≈117×0.40＝46.8，∴ED＝EF+FD＝56.8≈57（米）．答：滑雪場(chǎng)頂端E到CD的距離ED的長(zhǎng)約為57米．10．如圖，梯形ABCD是一個(gè)攔河壩的截面圖，壩高5米，背水坡AD的坡度為1：1.2．為了提高河壩抗洪能力，防汛指揮部決定加固河壩，若壩頂CD加寬1米，新的背水坡EF的坡角α為30°，河壩總長(zhǎng)400米．（1）求大壩底端AF需加寬多少米？（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.73，≈1.41）（2）某工程隊(duì)每天加固150立方米，工程隊(duì)能否在30天內(nèi)完成河壩加固？（體積＝底面積×高）【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB于G，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于H，則四邊形EHGD為矩形，∴HG＝ED＝1米，∵坡AD的坡度為1：1.2，DG＝5米，∴AG＝5×1.2＝6米，∴AH＝AG﹣GH＝6﹣1＝5（米），在Rt△EFH中，∠F＝30°，∴FH＝＝＝5≈8.65（米），∴AF＝FH﹣AH＝8.65﹣5＝3.65≈3.7（米），答：大壩底端AF需加寬約為3.7米；（2）需加固的土方量為：×（1+3.7）×5×400＝4700（立方米），工程隊(duì)每天加固150立方米，工程隊(duì)30天內(nèi)完成的土方量為：150×30＝4500（立方米），∵4500＜4700，∴工程隊(duì)不能在30天內(nèi)完成河壩加固，答：工程隊(duì)不能在30天內(nèi)完成河壩加固．11．圖1是安裝在傾斜屋頂上的熱水器，圖2是安裝熱水器的側(cè)面示意圖．已知屋面AE的傾斜角∠EAD為22°，長(zhǎng)為3米的真空管AB與水平線AD的夾角為37°，安裝熱水器的鐵架豎直管CE的長(zhǎng)度為0.5米．（1）真空管上端B到水平線AD的距離．（2）求安裝熱水器的鐵架水平橫管BC的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈0.4）【解答】解：（1）過(guò)B作BF⊥AD于F．在Rt△ABF中，sin∠BAF＝，則BF＝ABsin∠BAF＝3sin37°≈3×＝1.8（米）．答：真空管上端B到AD的距離約為1.8米；（2）在Rt△ABF中，cos∠BAF＝，則AF＝ABcos∠BAF＝3×cos37°≈2.25（米），∵BF⊥AD，CD⊥AD，BC∥FD，∴四邊形BFDC是矩形．∴BF＝CD，BC＝FD，∵EC＝0.5米，∴DE＝CD﹣CE＝1.3米，在Rt△EAD中，tan∠EAD＝，則AD＝≈＝3.25（米），∴BC＝DF＝AD﹣AF＝3.25﹣2.25≈1.0（米），答：安裝熱水器的鐵架水平橫管BC的長(zhǎng)度約為1.0米．1