高中數學精編資源2/2《空間向量的應用》知識拓展知識要點1.空間中點、直線和平面的向量表示(1)如圖①,是直線的方向向量,在直線上取,設是空間中任意一點.由向量共線的條件可知,點在直線上的充要條件是存在實數,使得,即.如圖②,取定空間任意一點,可以得到點在直線上的充要條件是存在實數,使或(其中).(2)如圖③,取定空間任意一點,可以得到,空間一點位于平面內的充要條件是存在實數,使.2.平面的法向量(1)法向量的概念:如圖,直線.取直線的方向向量,我們稱向量為平面的法向量.平面的法向量有無數多個,任意兩個都是共線向量.(2)平面法向量的求法:①首先觀察是否存在與平面垂直的向量,若存在,則可直接確定,若不存在,則可用待定系數法求得;②待定系數法:設平面的法向量為.在平面內找出(或求出)兩個不共線的向量,根據定義建立方程組,得到通過賦值,取其中一組解,得到平面的法向量.3.利用空間向量表示空間線面平行、垂直4.利用空間向量求距離5.利用空間向量求空間角問題探究問題1理解直線的方向向量需注意什么?提示(1)在空間中,一個向量若為直線的方向向量,必須具備以下兩個條件:①向量是非零向量;②向量所在的直線與直線平行或重合.(2)與直線平行的任意非零向量都是直線的方向向量,直線的方向向量有無數個.(3)給定空間中任意一點和非零向量,就可以確定唯一一條過點且平行于向量的直線.(4)同一條直線的方向向量,因為它們的模不一定相等,方向不一定相同,所以它們不一定相等.問題2利用空間向量解決立體幾何問題的本質方法是什么?提示基底法,即把未知向量用已知的基底向量表示,空間向量的坐標表示本質上也是基底法.問題3如何建立適當的空間直角坐標系?提示根據幾何體本身的幾何性質,恰當建立空間直角坐標系最為關鍵,如果坐標系引入的恰當、合理,那么就容易確定點的坐標.常見的建系方法有:(1)借助三條兩兩相交且垂直的棱所在的直線為坐標軸.如長方體等規則幾何體,一般選擇三條棱所在的直線為三個坐標軸,如圖①.(2)借助面面垂直的性質定理建系.若題目中出現側面和底面垂直的條件,一般利用此條件添加輔助線,確定軸,如圖②.(3)借助棱錐的高線建系.對于正棱錐,利用頂點在底面的射影為底面的中心,可確定軸,然后以底面內過底面的中心且互相垂直的直線分別為軸、軸,如圖③.問題4向量的夾角與所求角一樣嗎?提示求線面角時,得到的直線的方向向量和平面的法向量的夾角的余弦值不是線面角的余弦值,它的絕對值是線面角的正弦值,即(其中為直線的方向向量,為平面的法向量);求二面角時,兩個法向量的夾角有可能是二面角的補角,要注意從圖中分析.如圖,圖中角是從兩個半平面的截面看到的角,箭頭方向代表法向量的方向.左邊的兩種情況,法向量的夾角和二面角的大小是互補的;右邊的兩種情況,法向量的夾角和二面角的大小是相等的.簡記為同補異等.法向量的方向需要結合法向量的坐標、半平面及坐標軸來判斷.利用空間向量的運算,根據運算的結果得到幾何中的位置關系,即用代數的方法處理幾何問題,這樣減少了空間的想象,但是運算量較大.問題5用向量方法證明立體幾何中平行和垂直有哪些基本方法?提示(1)線線平行:證明兩直線的方向向量共線.(2)線面平行:①證明直線的方向向量與平面的某一法向量垂直;②證明直線的方向向量