第13講二項分布與正態分布（六種題型）題型一：利用條件概率公式求解條件概率一、單選題1．（2023春·河北石家莊·高三石家莊二中校考階段練習）在一次春節聚會上，小王和小張等4位同學準備互相送祝福.他們每人各寫了一張祝福的賀卡，這四張賀卡收齊后讓每人從中隨機抽取一張作為收到的新春祝福，則（

）A．小王和小張恰好互換了賀卡的概率為B．已知小王抽到的是小張寫的賀卡的條件下，小張抽到小王寫的賀卡的概率為C．恰有一個人抽到自己寫的賀卡的概率為D．每個人抽到的賀卡都不是自己寫的概率為【答案】B【分析】根據基本計數原理分別計算出所有的可能組合數為24種，而“小王和小張恰好互換了賀卡”的可能為2種，即可得出其概率為，即A錯誤；根據條件概率計算公式可得小王抽到的是小張寫的賀卡的條件下，小張抽到小王寫的賀卡的概率為，即B正確；計算可得“恰有一個人抽到自己寫的賀卡”的基本事件數為8種，即可得出其概率為，即C錯誤；易知“每個人抽到的賀卡都不是自己寫的”的基本事件數為9種，所以其概率為，可得D錯誤.【詳解】對于，四個人每人從中隨機抽取一張共有種抽法，其中小王和小張恰好互換了賀卡的抽法有種，故小王和小張恰好互換了賀卡的概率為，即A錯誤；對于B，設小王抽到的是小張寫的賀卡為事件，則，小張抽到小王寫的賀卡為事件，則已知小王抽到的是小張寫的賀卡的條件下，小張抽到小王寫的賀卡的概率為，B正確；對于，恰有一個人抽到自己寫的賀卡的抽法有種，故恰有一個人抽到自己寫的賀卡的概率為不正確；對于D，每個人抽到的賀卡都不是自己寫的抽法共有種，故每個人抽到的賀卡都不是自己寫的概率為錯誤.故選：B二、多選題2．（2023·全國·高三專題練習）新型冠狀病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019，COVID-19），簡稱“新冠肺炎”，世界衛生組織命名為“2019冠狀病毒病”，是指2019新型冠狀病毒感染導致的肺炎.用核酸檢測的方法可以診斷是否患有新冠，假設，，其中隨機事件表示“某次核酸檢測被檢驗者陽性”，隨機事件表示“被檢驗者患有新冠”，現某人群中，則在該人群中（

）A．每100人必有1人患有新冠B．若，則事件與事件相互獨立C．若某人患有新冠，則其核酸檢測為陽性的概率為0.999D．若某人沒患新冠，則其核酸檢測為陽性的概率為0.001【答案】BD【分析】根據概率、條件概率、相互獨立事件等知識確定正確答案.【詳解】因為表示每100人大約有1人患有新冠，故選項A錯誤；因為，所以，又因為，由條件概率的計算公式可得：，若，則，因為，所以事件與事件相互獨立，則事件與事件相互獨立，故選項B正確；由題意可知：若某人患有新冠，則其核酸檢測為陽性的概率，故選項C錯誤；某人沒患新冠，則其核酸檢測為陽性的概率為，因為，所以，故選項D正確，故選：BD3．（2023·全國·高三專題練習）隨著春節的臨近，小王和小張等4位同學準備互相送祝福.他們每人寫了一個祝福的賀卡，這四張賀卡收齊后讓每人從中隨機抽取一張作為收到的新春祝福，則（

）A．小王和小張恰好互換了賀卡的概率為B．已知小王抽到的是小張寫的賀卡的條件下，小張抽到小王寫的賀卡的概率為C．恰有一個人抽到自己寫的賀卡的概率為D．每個人抽到的賀卡都不是自己寫的概率為【答案】BC【分析】計算出四個人每人從中隨機抽取一張共有種抽法，根據古典概型的概率公式以及條件概率的概率公式計算各選項，可得答案.【詳解】對于A,四個人每人從中隨機抽取一張共有種抽法，其中小王和小張恰好互換了賀卡的抽法有種，故小王和小張恰好互換了賀卡的概率為，A錯誤；對于B,設小王抽到的是小張寫的賀卡為事件A,則,小張抽到小王寫的賀卡為事件B,則已知小王抽到的是小張寫的賀卡的條件下，小張抽到小王寫的賀卡的概率為,B正確；對于C,恰有一個人抽到自己寫的賀卡的抽法有種，故恰有一個人抽到自己寫的賀卡的概率為，C正確；對于D,每個人抽到的賀卡都不是自己寫的抽法共有種，故每個人抽到的賀卡都不是自己寫的概率為，D錯誤，故選：三、填空題4．（2023春·湖南長沙·高三長沙麓山國際實驗學校校考階段練習）隨著城市經濟的發展，早高峰問題越發嚴重，上班族需要選擇合理的出行方式．某公司員工小明上班出行方式由三種，某天早上他選擇自駕，坐公交車，騎共享單車的概率分別為，而他自駕，坐公交車，騎共享單車遲到的概率分別為，結果這一天他遲到了，在此條件下，他自駕去上班的概率是__________．【答案】【分析】法1：設事件A表示“自駕”，事件B表示“坐公交車”，事件C表示“騎共享單車”，事件D“表示遲到”，，利用貝葉斯公式即可得到答案；法2：直接在遲到的前提下計算概率.【詳解】法1：由題意設事件A表示“自駕”，事件B表示“坐公交車”，事件C表示“騎共享單車”，事件D“表示遲到”，則；，小明遲到了，由貝葉斯公式得他自駕去上班的概率是，法2：在遲到的條件下，他自駕去上班的概率，故答案為：．四、解答題5．（2023·湖南·模擬預測）2020年全面建成小康社會取得偉大歷史成就，決戰脫貧攻堅取得決定性勝利．某脫貧縣實現脫貧奔小康的目標，該縣經濟委員會積極探索區域特色經濟，引導商家利用多媒體的優勢，對本地特產進行廣告宣傳，取得了社會效益和經濟效益的雙豐收．(1)該縣經濟委員會為精準了解本地特產廣告宣傳的導向作用，在購買該縣特產的客戶中隨機抽取300人進行廣告宣傳作用的調研，對因廣告宣傳導向而購買該縣特產的客戶統計結果是：客戶群體中青年人約占，其中男性為；中年人約占，其中男性為；老年人約占，其中男性為．以樣本估計總體，視頻率為概率．（ⅰ）在所有購買該縣特產的客戶中隨機抽取一名客戶，求抽取的客戶是男性的概率；（ⅱ）在所有購買該縣特產的客戶中隨機抽取一名客戶是男客戶，求他是中年人的概率（精確到0.0001）(2)該縣經濟委員會統計了2021年6～12月這7個月的月廣告投入x（單位：萬元）；y（單位：萬件）的數據如表所示：月廣告投入x/萬元1234567月銷量y/萬件28323545495260已知可用線性回歸模擬擬合y與x的關系，得到y關于x的經驗回歸方程為，請根據相關系數r說明相關關系的強弱．（若，則認為兩個變量有很強的線性相關性，r值精確到0.001）參考數據：，，．參考公式：相關系數．【答案】(1)（ⅰ）0.3975；（ⅱ）0.4403；(2)兩個變量有很強的線性相關性.【分析】（1）根據全概率公式即可得出（ⅰ）的答案，進而根據條件概率公式可得出（ⅱ）的答案；（2）由已知可求得，，，然后代入公式即可求出相關系數的值，進而得出兩個變量線性相關性的強弱.【詳解】（1）（ⅰ）分別設抽取的客戶為青年人、中年人、老年人為、、，抽到男性為事件.由已知可得，，，，，，，由已知可得，抽取的客戶是男性的概率為.（ⅱ）由（ⅰ）可得，.（2）由已知可得，，，，所以，.所以，兩個變量有很強的線性相關性.6．（2023·全國·高三專題練習）某企業研發了一種新藥，為評估藥物對目標適應癥患者的治療作用和安全性，需要開展臨床用藥試驗，檢測顯示臨床療效評價指標A的數量y與連續用藥天數x具有相關關系.隨機征集了一部分志愿者作為樣本參加臨床用藥試驗，并得到了一組數據，，其中表示連續用藥i天，表示相應的臨床療效評價指標A的數值.根據臨床經驗，剛開始用藥時，指標A的數量y變化明顯，隨著天數增加，y的變化趨緩.經計算得到如下一些統計量的值：，，，，，其中.(1)試判斷與哪一個適宜作為y關于x的回歸方程類型？并建立y關于x的回歸方程；(2)新藥經過臨床試驗后，企業決定通過兩條不同的生產線每天8小時批量生產該商品，其中第1條生產線的生產效率是第2條生產線的兩倍.若第1條生產線出現不合格藥品的概率為0.012，第2條生產線出現不合格藥品約概率為0.009，兩條生產線是否出現不合格藥品相互獨立.（i）隨機抽取一件該企業生產的藥品，求該藥品不合格的概率；（ii）若在抽查中發現不合格藥品，求該藥品來自第1條生產線的概率.參考公式：對于一組數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.【答案】(1)適宜，(2)（i）；（ii）【分析】（1）判斷出適宜作為y關于x的回歸方程類型，利用公式求出y關于x的回歸方程；（2）（i）設出事件，利用全概率公式進行求解，（ii）在第一問的基礎上，利用條件概率進行求解.【詳解】（1）剛開始用藥時，指標A的數量y變化明顯，隨著天數增加，y的變化趨緩，故適宜作為y關于x的回歸方程類型.令，得，于是，因為，，所以，，所以，，即；（2）（i）設“隨機抽取一件該企業生產的藥品為不合格”，“隨機抽取一件藥品為第1條生生產線生產”，“隨機抽取一件藥品為第2條生生產線生產”，則，，又，，于是.（ii）.題型二：利用二項分布概率公式求二項分布的分布列一、解答題1．（2023·全國·高三專題練習）2022年冬奧會在北京舉行，冬奧會吉祥物“冰墩墩”自亮相以來就好評不斷，出現了“一墩難求”的現象.主辦方現委托某公司推出一款以“冰墩墩”為原型的紀念品在專賣店進行售賣.已知這款紀念品的生產成本為80元/件，為了確定其銷售價格，調查了對這款紀念品有購買意向的消費者（以下把對該紀念品有購買意向的消費者簡稱為消費者）的心理價位，并將收集的100名消費者的心理價位整理如下：心理價位（元/件）90100110120人數10205020假設當且僅當這款紀念品的銷售價格小于或等于某位消費者的心理價位時，該消費者就會購買該紀念品.公司為了滿足更多消費者的需求，規定每位消費者最多只能購買一件該紀念品.設這款紀念品的銷售價格為x（單位：元/件），，且每位消費者是否購買該紀念品相互獨立.用樣本的頻率分布估計總體的分布，頻率視為概率.(1)若，試估計消費者購買該紀念品的概率；已知某時段有4名消費者進店，X為這一時段該紀念品的購買人數，試求X的分布列和數學期望；(2)假設共有M名消費者，設該公司售賣這款紀念品所得總利潤為Y（單位：元），當該紀念品的銷售價格x定為多少時，Y的數學期望達到最大值？【答案】(1)分布列見解析，期望為3.6；(2)當該紀念品的銷售價格定為110元多少時，Y的數學期望達到最大值．【分析】（1）由調查表得出每個人購買紀念品的概念為，而，由二項分布計算概率得分布列，由二項分布的期望公式得期望；（2）利用二項分布的期望公式求出時的期望，比較得最大值．（1）時，消費者購買該紀念品的概率，由題意，，，，同理，，，，的分布列為：01234；（2）由（1）知時，（時等號成立），時，（時等號成立），時，（時等號成立），，因此最大，此時．所以當該紀念品的銷售價格定為110元多少時，Y的數學期望達到最大值．2．（2022秋·山東東營·高三勝利一中校考期末）致敬百年，讀書筑夢，某學校組織全校學生參加“學黨史頌黨恩，黨史網絡知識競賽”活動．并對某年級的100位學生競賽成績進行統計，得到如下人數分布表．規定：成績在內，為成績優秀．成績人數510152520205(1)根據以上數據完成列聯表，并判斷是否有90%的把握認為此次競賽成績與性別有關；優秀非優秀合計男10女35合計(2)某班級實行學分制，為鼓勵學生多讀書，推出“讀書抽獎額外賺學分”趣味活動方案：規定成績達到優秀的同學，可抽獎2次，每次中獎概率為（每次抽獎互不影響，且的值等于成績分布表中不低于80分的人數頻率），中獎1次學分加5分，中獎2次學分加10分．若學生甲成績在內，請列出其本次讀書活動額外獲得學分數的分布列并求其數學期望．參考公式：，．附表：0.1500.1000.0500.0100.0052.0722.7063.8416.6357.879【答案】(1)列聯表見解析，沒有90%的把握認為此次競賽成績與性別有關(2)分布列見解析，期望值為2.5分【分析】（1）根據成績分段表得到優秀人數，結合列聯表中的男生優秀人數求得女生優秀人數，然后可以完成列聯表；根據列聯表數據，利用公式計算K2的觀測值k0，與相應臨界值比較即可得到結論；（2）先根據成績分段表求得p的值，然后利用二項分布列計算X的各個取值的概率，列出分布列，根據分布列計算期望即可.【詳解】（1）優秀非優秀合計男104050女153550合計2575100假設:此次競賽成績與性別無關.,所以沒有90%的把握認為此次競賽成績與性別有關；（2）p,P(X=0)=P(X=5)=,P(X=10)=,X的分布列為：X0510P期望值E(X)=5×+10×=2.5（分）3．（2022春·安徽滁州·高三校考階段練習）為了讓人民群眾過一個歡樂祥和的新春佳節，某地疫情防控指揮部根據當地疫情防控工作部署，安排4名干部和三個部門（A，B，C）的16名職工到該地的四個高速路口擔任疫情防控志愿者，其中16名職工分別是A部門8人，B部門4人，C部門4人.(1)若從這16名職工中選出4人作為組長，求至少有2個組長來自A部門的概率；(2)若將這4名干部隨機安排到四個高速路口（假設每名干部安排到各高速路口是等可能的，且各位干部的選擇是相互獨立的），記安排到第一個高速路口的干部人數為X，求隨機變量X的分布列和數學期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，數學期望為【分析】（1）根據古典概型的概率計算公式，計算出所求概率.（2）利用二項分布的知識計算出分布列并求得數學期望.【詳解】（1）從這16名職工中選出4人作為組長，求至少有2個組長來自A部門的概率為：.（2）依題意可知且，所以，，，，，故分布列為：數學期望.4．（2022春·安徽滁州·高三校考期中）2022年2月20日，北京冬奧會在鳥巢落下帷幕，中國隊創歷史最佳戰績．北京冬奧會的成功舉辦推動了我國冰雪運動的普及，讓越來越多的青少年愛上了冰雪運動．某校組織了一次全校冰雪運動知識競賽，并抽取了100名參賽學生的成績制作成如下頻率分布表：競賽得分頻率(1)如果規定競賽得分在為“良好”，競賽得分在為“優秀”，從成績為“良好”和“優秀”的兩組學生中，使用分層抽樣抽取5人．現從這5人中抽取2人進行座談，求兩人競賽得分都是“優秀”的概率；(2)以這100名參賽學生中競賽得分為“優秀”的頻率作為全校知識競賽中得分為“優秀”的學生被抽中的概率．現從該校學生中隨機抽取3人，記競賽得分為“優秀”的人數為，求隨機變量的分布列及數學期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【詳解】（1）成績為“良好”和“優秀”的兩組頻率合計，共人，抽樣比為．所以成績為“良好”的抽取人，成績為“優秀”的抽取人．所以抽到的競賽得分都是“優秀”的概率為．（2）由題意知，的可能取值，，，．由題可知，任意1名學生競賽得分“優秀”的概率為，競賽得分不是“優秀”的概率為．若以頻率估計概率，則服從二項分布．；；；．所以的分布列為．5．（2022·全國·高三專題練習）血液檢測是診斷是否患某疾病的重要依據，通過提取病人的血液樣本進行檢測，樣本的某一指標會呈現陽性或陰性.若樣本指標呈陽性，說明該樣本攜帶病毒；若樣本指標呈陰性，說明該樣本不攜帶病毒.根據統計發現，每個疑似病例的樣本呈陽性（即樣本攜帶病毒）的概率均為.現有4例疑似病例，分別對其進行血液樣本檢測.多個樣本檢測時，既可以逐個化驗，也可以將若干個樣本混合在一起化驗，混合樣本中只要攜帶病毒，則混合樣本化驗結果就會呈陽性.若混合樣本呈陽性，則將該組中各個樣本再逐個化驗；若混合樣本呈陰性，則該組各個樣本均為陰性.現有以下兩種方案：方案一：逐個化驗；方案二：平均分成兩組化驗.在該疾病爆發初期，由于檢測能力不足，化驗次數的期望值越小，則方案越“優”.(1)若，求這4例疑似病例中呈陽性的病例個數X的分布列；(2)若將該4例疑似病例樣本進行化驗，且方案二比方案一更“優”，求p的取值范圍，【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）由題意知，，利用二項分布的概率計算公式即可求解；（2）方案一中，期望為4；方案二中，設化驗次數為Y，則Y的所以可能取值為2，4，6，計算出Y的取值對應的概率，然后根據期望公式求出，從而即可求解.(1)解：由題意知，，則；；；；.則這4例疑似病例中呈陽性的病例個數X的分布列為：X01234P(2)解：方案一中，逐個化驗，化驗次數為4，期望為4；方案二中，設化驗次數為Y，則Y的所以可能取值為2，4，6，每組兩個樣本化驗呈陰性的概率為，設，則；；.所以，若方案二比方案一更“優”，則，解得，即，解得.所以當時，方案二比方案一更“優”.6．（2022·全國·高三專題練習）交通信號燈中的紅燈與綠燈交替出現.某汽車司機在某一線路的行駛過程要經過兩段路，若已知路段共要過個交通崗，且經過交通崗時遇到紅燈或綠燈是相互獨立的，每次遇到紅燈的概率為，遇到綠燈的概率為，在路段的行駛過程中，首個交通崗遇到紅燈的概率為，且上一交通崗遇到紅燈，則下一交通崗遇到紅燈的概率為，遇到綠燈的概率為；若上一交通崗遇到綠燈，則下一交通崗遇到紅燈的概率為，遇到綠燈的概率為，記段線路中第個交通崗遇到紅燈的概率為.(1)求該司機在路段的行駛過程中遇到紅燈次數的分布列與期望；(2)①求該司機在路段行駛過程中第個交通崗遇到紅燈的概率的通項公式；②試判斷在最后離開路段時的最后一個交通崗遇到紅燈的概率大于，還是小于，請用數據說明.【答案】(1)分布列見解析，(2)①；②小于，理由見解析【分析】（1）由題意，X的取值可能為由二項分布概率公式計算出概率，得分布列，再由二項分布的期望公式計算出期望；（2）①由已知條件得出的遞推關系，變形湊配出等比數列，由此可得通項公式；②由通項公式可得其值與的大小關系．(1)由題可知X的取值可能為且易知，且，所以所以的分布列為1234；(2)①由題可知，即又因為，所以，所以是首項為，公比為的等比數列，所以，即；②由①可知，，所以最后一個交通崗遇到紅燈的概率小于.7．（2022·全國·高三專題練習）某電子公司新開發一電子產品，該電子產品的一個系統G有2n﹣1個電子元件組成，各個電子元件能正常工作的概率均為p，且每個電子元件能否正常工作相互獨立．若系統中有超過一半的電子元件正常工作，則系統G可以正常工作，否則就需維修．（1）當時，若該電子產品由3個系統G組成，每個系統的維修所需費用為500元，設為該電子產品需要維修的系統所需的總費用，求的分布列與數學期望；（2）為提高系統G正常工作的概率，在系統內增加兩個功能完全一樣的電子元件，每個新元件正常工作的概率均為p，且新增元件后有超過一半的電子元件正常工作，則系統C可以正常工作，問p滿足什么條件時，可以提高整個系統G的正常工作概率？【答案】（1）分布列見解析，數學期望為750；（2）．【分析】（1）由題知當時個系統需要維修的概率為，進而得電子產品需要維修的系統個數滿足，，再根據二項分布求解即可；（2）設個元件組成的系統正常工作的概率為，進而得，再分三種情況（見解析）討論，進而求解時的情況即可得答案.【詳解】（1）當時，一個系統有3個電子元件，則一個系統需要維修的概率為，設為該電子產品需要維修的系統個數，則，，∴，∴的分布列為：050010001500P∴．（2）記個元件組成的系統正常工作的概率為．個元件中有個正常工作的概率為，因此系統工常工作的概率．在個元件組成的系統中增加兩個元件得到個元件組成的系統，則新系統正常工作可分為下列情形：（a）原系統中至少個元件正常工作，概率為；（b）原系統中恰有個元件正常工作，且新增的兩個元件至少有1個正常工作，概率為；（c）原系統中恰有個元件正常工作，且新增的兩個元件均正常工作，概率為．所以,因此，，故當時，單調增加，增加兩個元件后，能提高系統的可靠性．【點睛】該題考查的是有關概率的問題，涉及到的知識點有獨立重復試驗，二項分布，分布列與期望，概率加法公式，考查運算求解能力，分析數據處理數據的能力，是中檔題.本題第二問解題的關鍵在于求出個元件組成的系統正常工作的概率為，進而分三類情況討論增加兩個元件后的系統正常工作的概率，并討論使得的情況.8．（2023·全國·高三專題練習）安慶市某學校高三年級開學之初增加晚自習，晚飯在校食堂就餐人數增多，為了緩解就餐壓力，學校在原有一個餐廳的基礎上增加了一個餐廳，分別記做餐廳甲和餐廳乙，經過一周左右統計調研分析：前一天選擇餐廳甲就餐第二天選擇餐廳甲就餐的概率是25%?選擇餐廳乙就餐的概率為75%，前一天選擇餐廳乙就餐第二天選擇餐廳乙就餐的概率是50%?選擇餐廳甲就餐的概率也為50%，如此往復.假設學生第一天選擇餐廳甲就餐的概率是，擇餐廳乙就餐的概率是，記某同學第n天選擇甲餐廳就餐的概率為.（1）記某班級的3位同學第二天選擇餐廳甲的人數為X，求X的分布列，并求E(X)；（2）請寫出與的遞推關系；（3）求數列的通項公式并幫助學校解決以下問題：為提高學生服務意識和團隊合作精神，學校每天從20個班級中每班抽調一名學生志愿者為全體學生提供就餐服務工作，根據上述數據，如何合理分配到餐廳甲和餐廳乙志愿者人數？請說明理由.【答案】（1）分布列答案見解析，；（2）；（3）分配到餐廳甲和餐廳乙志愿者人數8人和12人，理由見解析.【分析】（1）依題意可得，進而可得分布列和期望；（2）由可得結果；（3）由（2）求得，且，由此可得分配方案.【詳解】（1）某同學第二天選擇餐廳甲就餐的概率，某同學第二天選擇餐廳乙就餐的概率，位同學第二天選擇餐廳甲就餐的人數為，則.，的分布列為0123故.（2）依題意，，即.（3）由（2）知，則當時，可得，數列是首項為公比為的等比數列.，即.，所以，分配到餐廳甲的志愿者人數為，分配到餐廳乙的志愿者人數為.【點睛】關鍵點點睛：第（1）問的關鍵點是：探究得到；后兩問的關鍵點是得到遞推關系.9．（2022·海南省直轄縣級單位·統考三模）冬季兩項是第24屆北京冬奧會的比賽項目之一，它把越野滑雪和射擊兩種特點不同的競賽項目結合在一起.其中20男子個人賽的規則如下：①共滑行5圈（每圈4），前4圈每滑行1圈射擊一次，每次5發子彈，第5圈滑行直達終點；②如果選手有n發子彈未命中目標，將被罰時n分鐘；③最終用時為滑雪用時、射擊用時和被罰時間之和，最終用時少者獲勝.已知甲、乙兩人參加比賽，甲滑雪每圈比乙慢36秒，甲、乙兩人每發子彈命中目標的概率分別為和.假設甲、乙兩人的射擊用時相同，且每發子彈是否命中目標互不影響.(1)若在前三次射擊中，甲、乙兩人的被罰時間相同，求最終甲勝乙的概率；(2)若僅從最終用時考慮，甲、乙兩位選手哪個水平更高？說明理由.【答案】(1)(2)乙選手水平更高，理由見解析【分析】（1）求出“在第四次射擊中，甲有4發子彈命中目標，乙均未命中目標”和“在第四次射擊中，甲有5發子彈命中目標，乙至多有1發子彈命中目標”的概率即可求解；（2）根據題意可得，，求出時間的期望即可求解.【詳解】（1）甲滑雪用時比乙多秒分鐘，因為前三次射擊，甲、乙兩人的被罰時間相同，所以在第四次射擊中，甲至少要比乙多命中4發子彈.設“甲勝乙”為事件A，“在第四次射擊中，甲有4發子彈命中目標，乙均未命中目標”為事件B，“在第四次射擊中，甲有5發子彈命中目標，乙至多有1發子彈命中目標”為事件C，依題意，事件B和事件C是互斥事件，，

所以，.所以甲勝乙的概率為.（2）依題意得，甲選手在比賽中未擊中目標的子彈數為X，乙選手在比賽中未擊中目標的子彈數為Y，則，，所以甲被罰時間的期望為（分鐘），乙被罰時間的期望為（分鐘），又在賽道上甲選手滑行時間慢3分鐘，則甲最終用時的期望比乙多分鐘，因此，僅從最終用時考慮，乙選手水平更高.題型三：利用二項分布期望方差公式求解期望和方差一、填空題1．（2023·全國·高三專題練習）已知隨機變量，若最大，則______．【答案】24【分析】先根據解出，再根據二項分布的方差公式求出，再計算即可.【詳解】由題意知：，要使最大，有，化簡得，解得，故，又，故.故答案為：24.二、解答題2．（2022·河北·模擬預測）中醫藥傳承數千年，治病救人濟蒼生.中國工程院院士張伯禮在接受記者采訪時說：“中醫藥在治療新冠肺炎中發揮了核心作用，能顯著降低輕癥病人發展為重癥病人的幾率.對改善發熱?咳嗽?乏力等癥狀，中藥起效非常快，對肺部炎癥的吸收和病毒轉陰都有明顯效果.”2021年12月某地爆發了新冠疫情，醫護人員對確診患者進行積極救治.現有6位癥狀相同的確診患者，平均分成A，B兩組，A組服用甲種中藥，B組服用乙種中藥.服藥一個療程后，A組中每人康復的概率都為，B組3人康復的概率分別為，，.(1)設事件C表示A組中恰好有1人康復，事件D表示B組中恰好有1人康復，求；(2)若服藥一個療程后，每康復1人積2分，假設認定：積分期望值越高藥性越好，請問甲?乙兩種中藥哪種藥性更好？【答案】(1)(2)甲種中藥藥性更好【分析】（1）分別計算出示A組中恰好有1人康復，B組中恰好有1人康復的概率，根據相互獨立事件同時發生的概率的計算方法，求得答案;（2）根據二項分布的期望公式求得A組中服用甲種中藥康復人數積分的期望值，再計算出B組中服用乙種中藥康復人數積分的期望值，比較可得答案.【詳解】（1）依題意有，，.又事件C與D相互獨立，則，所以.（2）設A組中服用甲種中藥康復的人數為，則，所以.設A組的積分為，則，所以.設B組中服用乙種中藥康復的人數為，則的可能取值為：0,1,2,3,，，，，故的分布列為0123所以,設B組的積分為，則，所以,因為，所以甲種中藥藥性更好.3．（2022·全國·高三專題練習）某從事智能教育技術研發的科技公司開發了一個“AI作業”項目，并且在甲、乙兩個學校的高一學生中做用戶測試.經過一個階段的試用，為了解“AI作業”對學生學習的促進情況，該公司隨機抽取了200名學生，對他們的“向量數量積”知識點掌握的情況進行調查，樣本調查結果如下表：甲校乙校使用AI作業不使用AI作業使用AI作業不使用AI作業基本掌握32285030沒有掌握8141226假設每位學生是否掌握“向量數量積”知識點相互獨立.(1)從樣本中沒有掌握“向量數量積”知識點的學生中隨機抽取2名學生，用表示抽取的2名學生中使用“AI作業”的人數，求的分布列和數學期望；(2)用樣本頻率估計概率，從甲校高一學生中抽取一名使用“AI作業”的學生和一名不使用“AI作業”的學生，用“X=1”表示該名使用“AI作業”的學生基本掌握了“向量數量積”，用“X=0”表示該名使用“AI作業”的學生沒有掌握“向量數量積”，用“Y=1”表示該名不使用“AI作業”的學生基本掌握了“向量數量積”，用“Y=0”表示該名不使用“AI作業”的學生沒有掌握“向量數量積”.比較方差DX和DY的大小關系.【答案】(1)分布列見解析，；(2).【分析】（1）根據超幾何分布列分布列，求解期望；（2）由二項分布的方差公式求解.（1）依題意，沒有掌握“向量數量積”知識點的學生有60人，其中，使用“AI作業”的人數為20人，不使用“AI作業”的人數為40，所以，1，2，且，，，所以的分布列為：012P故（2）由題意，易知服從二項分布，，服從二項分布，，故.4．（2022·全國·高三專題練習）某商城玩具柜臺五一期間促銷，購買甲、乙系列的盲盒，并且集齊所有的產品就可以贈送節日送禮，現有甲、乙兩個系列盲盒，每個甲系列盲盒可以開出玩偶，，中的一個，每個乙系列盲盒可以開出玩偶，中的一個.（1）記事件：一次性購買個甲系列盲盒后集齊玩偶，，玩偶；事件：一次性購買個乙系列盲盒后集齊，玩偶；求概率及；（2）某禮品店限量出售甲、乙兩個系列的盲盒，每個消費者每天只有一次購買機會，且購買時，只能選擇其中一個系列的一個盲盒.通過統計發現：第一次購買盲盒的消費者購買甲系列的概率為，購買乙系列的概率為；而前一次購買甲系列的消費者下一次購買甲系列的概率為，購買乙系列的概率為，前一次購買乙系列的消費者下一次購買甲系列的概率為，購買乙系列的概率為；如此往復，記某人第次購買甲系列的概率為.①求的通項公式；②若每天購買盲盒的人數約為，且這人都已購買過很多次這兩個系列的盲盒，試估計該禮品店每天應準備甲、乙兩個系列的盲盒各多少個.【答案】（1）；；（2）①；②甲系列盲盒個，乙系列盲盒個.【分析】（1）計算一次性購買個甲系列盲盒，得到玩偶的情況總數為，利用排列與組合計算當集齊，，玩偶的所有情況總數，然后得到；利用正難則反思想，先計算一次性買個乙系列盲盒不能集齊，玩偶的概率，再利用計算即可；（2）①由題意可得，當時，，利用構造法求出數列的通項公式；②假設用表示一天中購買甲系列盲盒的人數，則根據題意可知，利用二項分布數學期望的計算公式得出購買甲的人數，從而得出購買乙的人數，根據一天中購買甲、乙的人數確定每天應準備甲、乙兩種盲盒的個數.【詳解】解：（1）若一次性購買個甲系列盲盒，得到玩偶的情況總數為，集齊，，玩偶，則有兩種情況：①其中一個玩偶個，其他兩個玩偶各個，則有種結果；②若其中兩個玩偶各個，另外兩個玩偶1個，則共有種結果，故；若一次性購買個乙系列盲盒，全部為與全部為的概率相等，均為，故；（2）①由題可知：，當時，，則，，即是以為首項，以為公比的等比數列.所以，即；②因為每天購買盲盒的人都已購買過很多次，所以對于每一個人來說，某一天來購買盲盒時，可看作，所以，其購買甲系列的概率近似于，假設用表示一天中購買甲系列盲盒的人數，則，所以，即購買甲系列的人數的期望為，所以禮品店應準備甲系列盲盒個，乙系列盲盒個.【點睛】本題考查概率的實際運用，考查概率與數列的綜合問題，解答本題的關鍵在于：（1）理解題目的意思，將問題靈活轉化，利用排列與組合解決（1）中及的計算；（2）分析清楚與之間的聯系，類比已知數列遞推關系式求通項公式的方法求解，然后利用的性質解題.5．（2023·全國·高三專題練習）某學校組織數學，物理學科答題競賽活動，該學校準備了個相同的箱子，其中第個箱子中有個數學題，個物理題．每一輪競賽活動規則如下：任選一個箱子，依次抽取三個題目（每次取出不放回），并全部作答完畢，則該輪活動結束；若此輪活動中，三個題目全部答對獲得一個獎品．(1)已知學生甲在每一輪活動中，都抽中了個數學題，個物理題，且甲答對每一個數學題的概率為，答對每一個物理題的概率為．①求學生甲第一輪活動獲得一個獎品的概率；②已知，學生甲理論上至少要進行多少輪活動才能獲得四個獎品？并求此時、的值．(2)若學生乙只參加一輪活動，求乙第三次抽到物理題的概率．【答案】(1)①；②至少要進行輪游戲，，．(2)【分析】（1）①利用獨立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率；②利用導數求出學生甲在每一輪活動中獲得一個獎品的概率為的最大值，可知學生甲在輪活動中獲得獎品的個數，由可求得的值，即可得解；（2）設選出的是第個箱子，計算出在第個箱子中第三次取出的是物理題的概率為，進而可求得所求概率為，結合數列的求和公式可求得所求事件的概率.（1）解：①記“學生甲第一輪活動獲得一個獎品”為事件．則；②學生甲在每一輪活動中獲得一個獎品的概率為，令，，，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，，即當時，．學生甲在輪活動中獲得獎品的個數，由，知．故理論上至少要進行輪游戲，此時，．（2）解：設選出的是第個箱子，連續三次取出題目的方法數為．設數學題為，物理題為，第三次取出的是物理題有如下四種情形：取法數為，取法數為，取法數為，取法數為，從而，第三次取出的是物理題的種數為．則在第個箱子中第三次取出的是物理題的概率為．而選到第個箱子的概率為，故所求的概率為．【點睛】關鍵點點睛：本題考查概率與數列的綜合應用，在求解第三問時，關鍵要求出在第個箱子中第三次取出物理題的概率，那么就應該對前三次取出的題目所屬科目進行列舉，進而求解.6．（2023·全國·高三專題練習）某企業從生產的一批零件中抽取100件產品作為樣本，檢測其質量指標值m（其中：），得到頻率分布直方圖，并依據質量指標值劃分等級如表所示：質量指標值m150≤m<350100≤m<150或350≤m≤400等級A級B級(1)根據頻率分布直方圖估計產品的質量指標值的分位數；(2)從樣本的B級零件中隨機抽3件，記其中質量指標值在[350，400]的零件的件數為，求的分布列和數學期望；(3)該企業為節省檢測成本，采用混裝的方式將所有的零件按500個一箱包裝，已知一個A級零件的利潤是10元，一個B級零件的利潤是5元，以樣本分布的頻率作為總體分布的概率，試估計每箱零件的利潤.【答案】(1)287.5(2)分布列為：0123數學期望為(3)每箱零件的利潤是4750元【分析】（1）先確定分位數所在的區間，再設出分位數，列出方程，求出答案；（2）先求出的B級零件個數和質量指標值在[350，400]的零件個數，求出可能取值，并求出相對應的概率，求出分布列和期望值；（3）設出每箱零件中A級零件有個，每箱零件的利潤為元，得到Y與X的函數關系，先得到，進而估計出每箱零件的利潤.【詳解】（1）前三組的頻率和為（0.001+0.002+0.003）×50=0.3<0.6前四組的頻率和為0.3+0.008×50=0.7>0.6設分位數為，，解得287.5∴產品的質量指標值的分位數為287.5（2），所以樣本的B級零件個數為10個，質量指標值在[350，400]的零件為5個，故可能取的值為0，1，2，3，相應的概率為：，，，隨機變量的分布列為0123所以期望.（3）設每箱零件中A級零件有個，每箱零件的利潤為元，則級零件有個，由題意知：，由（2）知：每箱零件中B級零件的概率為，A級零件的概率為1-0.1=0.9所以，所以，所以(元).所以每箱零件的利潤是4750元題型四：利用正太分布對稱性求概率或參數值一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習）已知兩個隨機變量X，Y，其中，（σ>0），若E(X)=E(Y)，且，則（

）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.1【答案】A【分析】由二項分布期望公式求得，再根據正態分布的對稱性及已知求.【詳解】由題設，即，又，故.故選：A二、多選題2．（2023春·江蘇南京·高三南京市第一中學校考開學考試）下列命題中，正確的命題是(

)A．已知隨機變量服從，若，則B．已知，則C．設隨機變量服從正態分布，若，則D．某人在次射擊中，擊中目標的次數為，則當時概率最大【答案】BCD【分析】選項A：利用二項分布期望、方差公式計算判斷；選項B：由互斥事件概率的加法公式計算判斷；選項C：利用正態分布圖象的對稱性即可判斷；選項D：由獨立重復實驗的概率計算公式和組合數公式,求出，，時的概率，通過解不等式求出的范圍即可判斷.【詳解】對于選項A：隨機變量服從二項分布，，，可得，，則，選項A錯誤；對于選項B：為必然事件，所以，而與互斥，，選項B正確；對于選項C：隨機變量服從正態分布，則圖象關于軸對稱，若，則，，選項C正確；對于選項D：因為在10次射擊中，擊中目標的次數為，，當時，對應的概率，所以當時，，由得，即，因為，所以且，又，即時，概率最大，故選項D正確．故選：BCD【點睛】二項分布的概率公式，可用作商法確定其中的最大值或最小值．3．（2022·湖北襄陽·襄陽五中校考模擬預測）下列命題中，正確的是（

）A．已知隨機變量服從正態分布，若，則B．已知隨機變量的分布列為，則C．用表示次獨立重復試驗中事件發生的次數，為每次試驗中事件發生的概率，若，則D．已知某家系有甲和乙兩種遺傳病，該家系成員患甲病的概率為，患乙病的概率為，甲乙兩種病都不患的概率為.則家系成員在患甲病的條件下，患乙病的概率為【答案】ACD【分析】對于A，利用正態分布的對稱性計算并判斷；對于B，利用分布列的性質計算并判斷；對于C，利用二項分布的期望、方差公式計算關判斷；對于D，由給定條件求出成員A甲病、乙病都患的概率，再利用條件概率公式計算并判斷作答.【詳解】對于A，因服從正態分布，且，由正態分布的性質知，，則，A正確；對于B，依題意，由分布列的性質知，而，解得，B錯誤；對于C，顯然，則有，解得，C正確；對于D，記事件M=“A患甲病”，事件N=“A患乙病”，則，且，而，于是有，又，從而得，所以A在患甲病的條件下，患乙病的概率為，D正確.故選：ACD三、解答題4．（2022秋·浙江金華·高三期末）為調查禽類某種病菌感染情況，某養殖場每周都定期抽樣檢測禽類血液中指標的值.養殖場將某周的5000只家禽血液樣本中指標的檢測數據進行整理，繪成如下頻率分布直方圖(1)根據頻率分布直方圖，估計這5000只家禽血液樣本中指標值的中位數（結果保留兩位小數）；(2)通過長期調查分析可知，該養殖場家禽血液中指標的值服從正態分布（i）若其中一個養殖棚有1000只家禽，估計其中血液指標的值不超過的家禽數量（結果保留整數）；（ii）在統計學中，把發生概率小于的事件稱為小概率事件，通常認為小概率事件的發生是不正常的.該養殖場除定期抽檢外，每天還會隨機抽檢20只，若某天發現抽檢的20只家禽中恰有3只血液中指標的值大于，判斷這一天該養殖場的家禽健康狀況是否正常，并分析說明理由.參考數據：①；②若，則【答案】(1)7.03(2)（i）841；（ii）不正常，理由見解析.【分析】（1）先判斷中位數所在區間，再設出中位數，利用中位數左側頻率和為0.5求解即可；（2）（i）由正態分布的對稱性及特殊區間的概率求得，再計算家禽數量即可；（ii）先求出，再由獨立重復實驗的概率公式求出恰有3只血液中指標的值大于的概率，和比較作出判斷即可.【詳解】（1）由可得中位數在區間內，設中位數為，則，解得；（2）（i）由可得，則，只；（ii），，隨機抽檢20只相當于進行20次獨立重復實驗，設恰有3只血液中指標的值大于為事件，則，所以這一天該養殖場的家禽健康狀況不正常.5．（2023·全國·高三專題練習）南平市于2018年成功獲得2022年第十七屆福建省運會承辦權.為進一步提升第十七屆福建省運會志愿者綜合素質，提高志愿者服務能力，南平市啟動首批志愿者通識培訓，并于培訓后對參訓志愿者進行了一次測試，通過隨機抽樣，得到100名參訓志愿者的測試成績，統計結果整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)由頻率分布直方圖可以認為，此次測試成績近似于服從正態分布，近似為這100人測試成績的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表），①求的值；②利用該正態分布，求；(2)在（1）的條件下，主辦單位為此次參加測試的志愿者制定如下獎勵方案：①測試成績不低于的可以獲贈2次隨機話費，測試成績低于的可以獲贈1次隨機話費；②每次獲贈的隨機話費和對應的概率為：贈送話費的金額（元）1030概率今在此次參加測試的志愿者中隨機抽取一名，記該志愿者獲贈的話費為（單位：元），試根據樣本估計總體的思想，求的分布列與數學期望.參考數據與公式：若，則，，.【答案】(1)①；②(2)分布列見解析；【分析】（1）①利用平均值的公式求解即可；②利用正態分布的對稱性即可求解；（2）由，所獲贈話費的可能取值為，，，，，結合表中數據，即可得到分布列，再利用期望公式即可求解.（1）由題，，因為，所以.（2）由題，，所獲贈話費的可能取值為，，，，，，，，，，所以的分布列為：所以.6．（2022·全國·高三專題練習）教育部門最近出臺了“雙減”政策.即有效減輕義務教育階段學生過重作業負擔和校外培訓負擔，持續規范校外培訓（包括線上培訓和線下培訓）.“雙減”政策的出合對校外的培訓機構經濟效益產生了嚴重影響.某大型校外培訓機構為了規避風險，尋求發展制定科學方案，工作人員對2021年前200名報名學員的消費金額進行了統計整理，其中數據如表.消費金額（千元）人數305060203010(1)該大型校外培訓機構轉型方案之一是將文化科主陣地輔導培訓向音體美等興趣愛好培訓轉移，為了深入了解當前學生的興趣愛好，工作人員利用分層抽樣的方法在消費金額為和的學員中抽取了5人，再從這5人中選取3人進行有獎問卷調查，求抽取的3人中消費金額為的人數的分布列和數學期望；(2)以頻率估計概率，假設該大型校外培訓機構2021年所有學員的消費金額可視為服從正態分布，，分別為報名前200名學員消費的平均數x以及方差（同一區間的花費用區間的中點值替代）.①試估計該機構學員2021年消費金額為的概率（保留一位小數）；②若從該機構2021年所有學員中隨機抽取4人，記消費金額為的人數為，求的方差.參考數據：；若隨機變量，則，，.【答案】(1)X的分布列為：X123P；(2)①．②．【分析】（1）由已知頻數統計表，得出頻率，從而可得抽取的5人在兩個區間的人數，得出的可能值為，計算出概率得分布列，然后由期望公式計算期望；（2）①由頻數分布表得各概率，計算出平均值和標準差，再由正態分布的概率性質求得概率發；②由二項分布的方差公式計算方差．【詳解】（1）由題意得，抽中的5人中消費金額為的人數為，消費金額為的人數為，設消費金額為的人數為X，則，所以，，，所以X的分布列為：X123P；（2）①由題意得，所以，所以．②由題意及①得，，，所以．7．（2023·全國·高三專題練習）第13屆女排世界杯于2019年9月14日在日本舉行，共有12支參賽隊伍.本次比賽啟用了新的排球用球MIKSA-V200W，已知這種球的質量指標ξ(單位:g)服從正態分布N(270，).比賽賽制采取單循環方式，即每支球隊進行11場比賽(采取5局3勝制)，最后靠積分選出最后冠軍積分規則如下:比賽中以3:0或3:1取勝的球隊積3分，負隊積0分;而在比賽中以3:2取勝的球隊積2分，負隊積1分.已知第10輪中國隊對抗塞爾維亞隊，設每局比賽中國隊取勝的概率為p(0<p<1).（1）如果比賽準備了1000個排球，估計質量指標在(260，265]內的排球個數(計算結果取整數).（2）第10輪比賽中，記中國隊3:1取勝的概率為.（i）求出f(p)的最大值點;（ii）若以作為p的值記第10輪比賽中，中國隊所得積分為X，求X的分布列.參考數據:ζ~N(u，)，則p(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6826，p(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.9544.【答案】（1）136；（2）（i）；（ii）分布列見解析.【分析】（1）由正態分布原則即可求出排球個數；（2）（i）根據二項分布先求出，再利用導數求出取得最大值時的值；（ii）根據比賽積分規則，得出中國隊得分可能的取值，然后求出分布列.【詳解】（1）因為ξ服從正態分布N(270，)，所以，所以質量指標在(260，265]內的排球個數為個；（2）（i），令，得，當時，，在上單調遞增；當時，，在上單調遞減；所以的最大值點；（ii）的可能取值為0，1，2，3.；；；；所以的分布列為0123P【點睛】求隨機變量的分布列的步驟：(1)理解X的意義，寫出X可能取得全部值；(2)求X取每個值的概率；(3)寫出X的分布列；(4)根據分布列的性質對結果進行檢驗.還可判斷隨機變量滿足常見分布列：兩點分布，二項分布，超幾何分布，正態分布.8．（2022·全國·高三專題練習）某省年開始將全面實施新高考方案．在門選擇性考試科目中，物理、歷史這兩門科目采用原始分計分；思想政治、地理、化學、生物這4門科目采用等級轉換賦分，將每科考生的原始分從高到低劃分為，，，，共個等級，各等級人數所占比例分別為、、、和，并按給定的公式進行轉換賦分．該省組織了一次高一年級統一考試，并對思想政治、地理、化學、生物這4門科目的原始分進行了等級轉換賦分．（1）某校生物學科獲得等級的共有10名學生，其原始分及轉換分如下表：原始分9190898887858382轉換分10099979594918886人數11212111現從這10名學生中隨機抽取3人，設這3人中生物轉換分不低于分的人數為，求的分布列和數學期望；（2）假設該省此次高一學生生物學科原始分服從正態分布．若，令，則，請解決下列問題：①若以此次高一學生生物學科原始分等級的最低分為實施分層教學的劃線分，試估計該劃線分大約為多少分？（結果保留為整數）②現隨機抽取了該省名高一學生的此次生物學科的原始分，若這些學生的原始分相互獨立，記為被抽到的原始分不低于分的學生人數，求取得最大值時的值．附：若，則，．【答案】（1）分布列詳見解析，數學期望為；（2）①69分；②．【分析】（1）寫出隨機變量的所有可能的取值，根據超幾何分布求出的每個值對應的概率，列出分布列，求出數學期望；（2）①設該劃線分為，由求出.由，得.由題意，又，故，故，即可求出；②由題意，根據獨立重復實驗的概率計算公式，求出，代入不等式組，即求的值.【詳解】（1）隨機變量的所有可能的取值為.由題意可得：，，，，隨機變量的分布列為數學期望．（2）①設該劃線分為，由得，令，則，由題意，，即，，，，，，取．②由①討論及參考數據得，即每個學生生物統考成績不低于分的事件概率約為，，．由即解得，，，當時，取得最大值．【點睛】本題考查超幾何分布、二項分布及正態分布，考查學生的數據處理能力和運算求解能力，屬于較難的題目．題型五：利用正太分布三段區間的概率值求概率一、單選題1．（2022春·全國·高三專題練習）2020年8月11日，國家主席習近平同志對制止餐飲浪費行為作出重要指示，他指出，餐飲浪費現象，觸目驚心，令人痛心!“誰知盤中餐，粒粒皆辛苦”，某中學制訂了“光盤計劃”，面向該校師生開展了一次問卷調查，目的是了解師生們對這一倡議的關注度和支持度，得到參與問卷調查中的2000人的得分數據.據統計此次問卷調查的得分（滿分：100分）服從正態分布，則（

）若隨機變量，則，A．0.34135 B．0.8186 C．0.6827 D．0.47725【答案】B【分析】根據正態分布的對稱性與原則求解即可.【詳解】解：因為得分（滿分：100分）服從正態分布，所以，所以故選：B2．（2022·全國·高三專題練習）醫用口罩由口罩面體和拉緊帶組成，其中口罩面體分為內、中、外三層.內層為親膚材質（普通衛生紗布或無紡布），中層為隔離過濾層（超細聚丙烯纖維熔噴材料層），外層為特殊材料抑菌層（無紡布或超薄聚丙烯熔噴材料層）.根據國家質量監督檢驗標準，醫用口罩的過濾率是重要的指標，根據長期生產經驗，某企業在生產線狀態正常情況下生產的醫用口罩的過濾率.若，則，，.有如下命題：甲：；乙：；丙：；丁：假設生產狀態正常，記表示一天內抽取的50只口罩中過濾率大于的數量，則.其中假命題是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【分析】根據正態分布曲線的特點判斷A，B，C；先計算出一只口罩過濾率小于等于的概率，然后根據即可計算出的值并進行判斷.【詳解】由題意可知，正態分布的；甲．因為，所以，故正確；乙．因為，所以，故正確；丙．因為，且，所以，故正確；丁．因為一只口罩過濾率小于等于的概率為，又因為，故錯誤；故選：D.【點睛】思路點睛：解決正態分布問題的三個關鍵點：（1）對稱軸；（2）標準差；（3）分布區間.利用對稱性可求指定范圍內的概率值；由分布區間的特征進行轉化，使分布區間轉化為的特殊區間，從而求出所求概率.二、解答題3．（2023·全國·高三專題練習）在“十三五”期間，我國的扶貧工作進入了“精準扶貧”階段，到2020年底，全國830個貧困縣全部脫貧摘帽，最后4335萬貧困人口全部脫貧，這是我國脫貧攻堅史上的一大壯舉．重慶市奉節縣作為國家貧困縣之一，于2019年4月順利脫貧摘帽，因地制宜發展特色產業，是奉節脫貧攻堅的重要抓手．奉節縣規劃發展了以高山煙葉、藥材、反季節蔬菜；中山油橄欖、養殖；低山臍橙等為主的產業格局，各類特色農產品已經成為了當地村民的搖錢樹．尤其是奉節臍橙，因“果皮中厚、脆而易剝，肉質細嫩化渣、無核少絡，酸甜適度，汁多爽口，余味清香”而聞名．為了防止返貧，鞏固脫貧攻堅成果，各職能部門對臍橙種植、銷售、運輸、改良等各方面給予大力支持．奉節縣種植的某品種臍橙果實按果徑X（單位：mm）的大小分級，其中為一級果，為特級果，一級果與特級果統稱為優品．現采摘了一大批此品種臍橙果實，從中隨機抽取1000個測量果徑，得到頻率分布直方圖如下：(1)由頻率分布直方圖可認為，該品種臍橙果實的果徑X服從正態分布，其中μ近似為樣本平均數，近似為樣本標準差s，已知樣本的方差的近似值為100．若從這批臍橙果實中任取一個，求取到的果實為優品的概率（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）(2)這批采摘的臍橙按2個特級果和n（，且）個一級果為一箱的規格進行包裝，再經過質檢方可進入市場．質檢員質檢時從每箱中隨機取出兩個果實進行檢驗，若取到的兩個果實等級相同，則該箱臍橙記為“同”，否則該箱臍橙記為“異”．①試用含n的代數式表示抽檢的某箱臍橙被記為“異”的概率p；②設抽檢的5箱臍橙中恰有3箱被記為“異”的概率為，求函數的最大值，及取最大值時n的值．參考數據：若隨機變量X服從正態分布，則，，．【答案】(1)(2)①；②；【分析】（1）先求出平均數，然后利用正態分布的對稱性和原則進行求解；（2）①先表達出抽檢的某箱臍橙被記為“同”的概率，再求出相應的概率；②表達出，利用導函數求出時，取得最大值，進而求出此時n的值.（1）由分布圖：則，在內為優品則（2）①②，且，因為，且，由對勾函數知識可知：在上單調遞減，當時，，所以，因為，且當時，，當時，，當時，，∴最大值在時取得，可求得或，因為，所以，求得4．（2023·全國·高三專題練習）某工廠為了提高某產品的生產質量引進了一條年產量為100萬件的生產線.已知該產品的質量以某項指標值k為衡量標準，為估算其經濟效益，該廠先進行了試生產，并從中隨機抽取了100件該產品，統計了每個產品的質量指標值k，并分成以下5組，其統計結果如下表所示：質量指標值頻數163040104試利用該樣本的頻率分布估計總體的概率分布，并解決下列問題：（注：每組數據取區間的中點值）(1)由頻率分布表可認為，該產品的質量指標值k近似地服從正態分布，其中近似為樣本平均數，近似為樣本的標準差s，并已求得，記X表示某天從生產線上隨機抽取的10件產品中質量指標值k在區間之外的個數，求及X的數學期望（精確到0.001）；(2)已知每個產品的質量指標值k與利潤y（單位：萬元）的關系如下表所示質量指標值k利潤yt假定該廠所生產的該產品都能銷售出去，且這一年的總投資為500萬元，問：該廠能否在一年之內通過銷售該產品收回投資？試說明理由.參考數據：若隨機變量，則，.【答案】(1)；(2)能，理由見解析.【分析】（1）首先求出樣本的平均數，然后根據正態分布求出質量指標k在區間之內的概率，從而得到質量指標k在區間之外的概率；然后根據二項分布即可求出答案.（2）首先求出每件產品的平均利潤，然后再求平均利潤的最大值，從而可求出該生產線的年盈利的最大值，把年利潤的最大值與進行比較即可得出答案.（1）由題意知，樣本的平均數為，所以，.所以質量指標k在區間之外的概率為.因為，則，所以.（2）由題意知，每件產品的平均利潤為，，易知函數的對稱軸為，且二次函數開口向下，所以當時，取得最大值，且因為該生產線的年產量為100萬個，所以該生產線的年盈利的最大值為萬元，因為845500，所以該廠能在一年之內通過銷售該產品收回投資.5．（2023·全國·高三專題練習）冠狀病毒是一個大型病毒家族，可引起感冒以及中東呼吸綜合征（MERS）和嚴重急性呼吸綜合征（SARS）等較嚴重疾病．出現的新型冠狀病毒（nCoV）是從未在人體中發現的冠狀病毒新毒株．人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等．在較嚴重病例中，感染可導致肺炎、嚴重急性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡．某醫院為篩查冠狀病毒，需要檢測血液中的指標．現從采集的血液樣品中抽取500份檢測指標的值，由測量結果得下側頻率分布直方圖：（1）求這500份血液樣品指標值的平均數和樣本方差（同一組數據用該區間的中點值作代表，記作）；（2）由頻率分布直方圖可以認為，這項指標的值X服從正態分布，其中近似為樣本平均數，近似為樣本方差．在統計學中，把發生概率小于3‰的事件稱為小概率事件（正常條件下小概率事件的發生是不正常的）．該醫院非常關注本院醫生健康狀況，隨機抽取20名醫生，獨立的檢測血液中指標的值，結果發現4名醫生血液中指標的值大于正常值20.03，試根據題中條件判斷該院醫生的健康率是否正常，并說明理由．附：參考數據與公式：，，；若，則①；②；③．，，，．【答案】（1）17.4；6.92（2）該院醫生的健康率是正常的．見解析【分析】（1）由頻率分布直方圖，直接利用平均數和方差公式，求出500份血液樣品指標值的平均數和樣本方差；（2）由（1）得出指標的值服從正態分布，從而可求出，在根據獨立重復試驗中的概率求法，求出20名醫生中出現4名醫生血液中指標的值大于正常值20.03的概率，即可判斷該院醫生的健康率是否正常.【詳解】解：（1）根據題意，由頻率分布直方圖可知，500份血液樣品指標值的平均數為：，500份血液樣品指標值的樣本方差為：．（2）由題意知：指標的值服從正態分布，，，則，所以，．隨機抽取20名醫生獨立檢測血液中指標的值，就相當于進行了20次獨立重復試驗，記“20名醫生中出現4名醫生血液中指標的值大于正常值20,03”為事件，則，所以從血液中指標的值的角度來看：該院醫生的健康率是正常的．【點睛】本題考查由頻率分布直方圖估計平均數和方差，考查對正態分布的理解和正態分布的實際應用，以及獨立重復試驗中的概率問題，考查理解分析和計算能力.6．（2023秋·貴州銅仁·高三統考期末）如今我們的互聯網生活日益豐富，除了可以很方便地網購，網絡外賣也開始成為不少人日常生活中重要的一部分，其中大學生更是頻頻使用網絡外賣服務.市教育主管部門為掌握網絡外賣在該市各大學的發展情況，在某月從該市大學生中隨機調查了人，并將這人在本月的網絡外賣的消費金額制成如下頻數分布表（已知每人每月網絡外賣消費金額不超過元）：消費金額（單位：百元）頻數由頻數分布表可以認為，該市大學生網絡外賣消費金額（單位：元）近似地服從正態分布，其中近似為樣本平均數（每組數據取區間的中點值，）.現從該市任取名大學生，記其中網絡外賣消費金額恰在元至元之間的人數為，求的數學期望；市某大學后勤部為鼓勵大學生在食堂消費，特地給參與本次問卷調查的大學生每人發放價值元的飯卡，并推出一檔“勇闖關，送大獎”的活動.規則是：在某張方格圖上標有第格、第格、第格、…、第格共個方格.棋子開始在第格，然后擲一枚均勻的硬幣（已知硬幣出現正、反面的概率都是，其中），若擲出正面，將棋子向前移動一格（從到），若擲出反面，則將棋子向前移動兩格（從到）.重復多次，若這枚棋子最終停在第格，則認為“闖關成功”，并贈送元充值飯卡；若這枚棋子最終停在第格，則認為“闖關失敗”，不再獲得其他獎勵，活動結束.①設棋子移到第格的概率為，求證：當時，是等比數列；②若某大學生參與這檔“闖關游戲”，試比較該大學生闖關成功與闖關失敗的概率大小，并說明理由.參考數據：若隨機變量服從正態分布，則，，.【答案】；①證明見解析；②闖關成功的概率大于闖關失敗的概率，理由見解析.【解析】根據數據算出，由服從正態分布，算出概率，即，進而算出的數學期望；①棋子開始在第格為必然事件，.第一次擲硬幣出現正面，棋子移到第格，其概率為，即.棋子移到第格的情況是下列兩種，即棋子先到第格，又擲出反面，其概率為；棋子先到第格，又擲出正面，其概率為.所以.即，進而求證當時，是等比數列；②由①知，，，，，得，所以，算出相應概率判斷出闖關成功的概率大于闖關失敗的概率.【詳解】解：，因為服從正態分布，所以.所以，所以的數學期望為.①棋子開始在第格為必然事件，.第一次擲硬幣出現正面，棋子移到第格，其概率為，即.棋子移到第格的情況是下列兩種，而且也只有兩種：棋子先到第格，又擲出反面，其概率為；棋子先到第格，又擲出正面，其概率為，所以，即，且，所以當時，數列是首項，公比為的等比數列.②由①知，，，，，以上各式相加，得，所以.所以闖關成功的概率為，闖關失敗的概率為.，所以該大學生闖關成功的概率大于闖關失敗的概率.【點睛】本題考查了根據已知數據求平均數，正態分布求概率，等比數列的證明以及數學期望的求法，題目較為綜合，屬于難題.題型六：利用正太分布三段區間的概率值估計人數一、解答題1．（2023·全國·高三專題練習）某市教育局對該市普通高中學生進行學業水平測試，試卷滿分120分．現從全市學生中隨機抽查了10名學生的成績，分別為78，81，84，86，86，87，92，93，96，97．(1)已知10名學生的平均成績為88，計算其中位數和方差；(2)已知全市學生學習成績分布服從正態分布，某校實驗班學生30人．①依據（1）的結果，試估計該班學業水平測試成績在的學生人數（結果四舍五入取整數）；②為參加學校舉行的數學知識競賽，該班決定推薦成績在的學生參加預選賽，若每個學生通過預選賽的概率為，用隨機變量X表示通過預選賽的人數，求X的分布列和數學期望．（正態分布參考數據：，）【答案】(1)中位數為，方差為；(2)①4；②分布列見解析，數學期望為.【分析】（1）根