第03講5.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式。②能正確運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行求值、化簡(jiǎn)和證明。會(huì)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行求值、化簡(jiǎn)、證明知識(shí)點(diǎn)01：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1、平方關(guān)系：2、商數(shù)關(guān)系:（，）【即學(xué)即練1】（2024·四川樂山·三模）已知，且為第二象限角，則（

）A． B． C． D．知識(shí)點(diǎn)02：關(guān)系式的常用等價(jià)變形1、2、【即學(xué)即練2】（23-24高一·上海·課堂例題）（1）已知，且是第四象限的角．求及；（2）已知，求及．題型01同角三角函數(shù)的基本關(guān)系【典例1】（23-24高一下·上海·期中）已知是第三象限角，，則的值是（

）A． B．C． D．【典例2】（23-24高一·上海·課堂例題）若，，且為第四象限的角，則實(shí)數(shù)．【變式1】（23-24高一上·湖南長(zhǎng)沙·期末）已知，為第三象限角，則（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24高一下·陜西渭南·期中）已知，且是第二象限角，求、．題型02平方關(guān)系【典例1】（23-24高一下·廣西桂林·期末）已知，且為第二象限角，則（

）A． B． C． D．【典例2】（25-26高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，且為第三象限角，則．【變式1】（24-25高一上·上海·課后作業(yè)）已知，，則實(shí)數(shù)k的值為.【變式2】（24-25高一上·上海·課堂例題）已知，，其中，求的值.題型03已知正弦，余弦，正切中其一求另外兩個(gè)量【典例1】（23-24高一下·北京·期中）已知，，則（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高一下·山東濰坊·階段練習(xí)）（1）已知，且是第二象限角，求和.（2）若，求的值.【變式1】（23-24高一下·北京延慶·期末）若，，則（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24高一下·安徽蚌埠·階段練習(xí)）已知為第二象限角，且，則（

）A． B． C． D．題型04利用平方關(guān)系求參數(shù)【典例1】（23-24高一上·江蘇鹽城·期末）若，，則．【典例2】（2024高一上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知和是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是．【變式1】（23-24高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知若為第二象限角，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．或 D．【變式2】（23-24高一下·遼寧大連·階段練習(xí)）已知，是關(guān)于的方程的兩根，則實(shí)數(shù)等于.題型05已知,求關(guān)于和的齊次式的值【典例1】（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）若，則等于（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高一上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）已知，求．【典例3】（23-24高一下·上海·期中）已知.求：(1)的值；(2)求的值.【變式1】（23-24高一下·廣東湛江·期末）已知，則（

）A． B．0 C． D．1【變式2】（23-24高一·上海·課堂例題）已知，求的值．【變式3】（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，求下列各式的值．(1)；(2)．題型06利用,與之間的關(guān)系求值【典例1】（23-24高一下·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）已知，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C． D．【典例2】（多選）（23-24高一上·山東淄博·期末）已知，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【典例3】（23-24高一上·四川遂寧·階段練習(xí)）已知，.則=，=．【變式1】（多選）（23-24高一下·山東濰坊·階段練習(xí)）設(shè)，，則下列等式正確的是（

）A． B．C． D．【變式2】（23-24高一下·湖南懷化·期末）已知，，則.【變式3】（23-24高一下·山東威海·階段練習(xí)）已知，且，則．題型07利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡(jiǎn)【典例1】（多選）（22-23高一下·河南南陽(yáng)·期中）的值可能為（

）A． B． C．1 D．3【典例2】（24-25高一上·全國(guó)·課堂例題）化簡(jiǎn)：(1)；(2)．【典例3】（23-24高一下·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中為第三象限角且(1)求的值；(2)求的值.【變式1】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若，的化簡(jiǎn)結(jié)果為.【變式2】（22-23高一下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）（1）若，求的值．（2）若，化簡(jiǎn)【變式3】（23-24高一下·陜西渭南·期末）（1）化簡(jiǎn)：A． B． C． D．8．（23-24高一下·江蘇揚(yáng)州·期中）1626年，阿貝爾特格洛德最早推出簡(jiǎn)寫的三角符號(hào)：、、（正割），1675年，英國(guó)人奧屈特最早推出余下的簡(jiǎn)寫三角符號(hào)：、、（余割），但直到1748年，經(jīng)過數(shù)學(xué)家歐拉的引用后，才逐漸通用起來，其中，，若，且，則（

）A．1 B． C． D．二、多選題9．（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）（多選）下列計(jì)算或化簡(jiǎn)結(jié)果正確的有（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若α為第一象限角，則10．（23-24高一上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）下列計(jì)算或化簡(jiǎn)，結(jié)果正確的是（）A． B．C．若，則 D．若，則三、填空題11．（23-24高一上·江蘇鹽城·期末）若，，則．12．（23-24高一上·江蘇揚(yáng)州·期末）若為第二象限角，則可化簡(jiǎn)為.四、解答題13．（24-25高一上·全國(guó)·課堂例題）化簡(jiǎn)：(1)；(2)．14．（23-24高一下·上海·期中）已知．(1)求的值；(2)求的值．B能力提升1．（23-24高三上·山東青島·期中）已知命題“，使得”為假命題，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）函數(shù)的最小值．第03講5.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式。②能正確運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行求值、化簡(jiǎn)和證明。會(huì)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行求值、化簡(jiǎn)、證明知識(shí)點(diǎn)01：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1、平方關(guān)系：2、商數(shù)關(guān)系:（，）【即學(xué)即練1】（2024·四川樂山·三模）已知，且為第二象限角，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用同角的平方關(guān)系與商數(shù)關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)椋裕郑裕裕譃榈诙笙藿牵?故選：A.知識(shí)點(diǎn)02：關(guān)系式的常用等價(jià)變形1、2、【即學(xué)即練2】（23-24高一·上海·課堂例題）（1）已知，且是第四象限的角．求及；（2）已知，求及．【答案】答案見解析【分析】（1）先根據(jù)象限角判斷，然后根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系求解；（2）先根據(jù)判斷角所在象限，然后根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系求解【詳解】（1）是第四象限的角，則，于是，則；（2），則是第二或四象限的角，當(dāng)是第二象限角時(shí)，，由，解得；當(dāng)是第四象限角時(shí)，，由，解得；題型01同角三角函數(shù)的基本關(guān)系【典例1】（23-24高一下·上海·期中）已知是第三象限角，，則的值是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由是第三象限角和商數(shù)關(guān)系結(jié)合即可求解.【詳解】因?yàn)椋约矗忠驗(yàn)椋裕獾茫驗(yàn)槭堑谌笙藿牵?故選：D.【典例2】（23-24高一·上海·課堂例題）若，，且為第四象限的角，則實(shí)數(shù)．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用同角公式，結(jié)合角所在象限求出.【詳解】由，，為第四象限的角，得，則，又，則，解得.故答案為：【變式1】（23-24高一上·湖南長(zhǎng)沙·期末）已知，為第三象限角，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用同角三角函數(shù)的商數(shù)與平方關(guān)系求解，再根據(jù)所在象限求解即,代入可得.【詳解】由，得，所以，聯(lián)立，解得，因?yàn)闉榈谌笙藿牵裕使蔬x：C.【變式2】（23-24高一下·陜西渭南·期中）已知，且是第二象限角，求、．【答案】，【分析】由同角三角函數(shù)關(guān)系及所在象限分別求得和的值.【詳解】因?yàn)槭堑诙笙藿牵裕?題型02平方關(guān)系【典例1】（23-24高一下·廣西桂林·期末）已知，且為第二象限角，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系計(jì)算求解即可.【詳解】因?yàn)闉榈诙笙藿?又因?yàn)?所以.故選：C.【典例2】（25-26高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，且為第三象限角，則．【答案】43/【分析】由同角三角函數(shù)關(guān)系求出并檢驗(yàn)，結(jié)合商數(shù)關(guān)系即可求解.【詳解】，由，可得，解得或．又為第三象限角，，把的值代入檢驗(yàn)得，，可得．故答案為：.【變式1】（24-25高一上·上海·課后作業(yè)）已知，，則實(shí)數(shù)k的值為.【答案】0或1【分析】運(yùn)用同角三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合正余弦值域解題即可【詳解】由于，．根據(jù)題意得到：，即，解得.滿足,則k的值為0或1.故答案為：0或1.【變式2】（24-25高一上·上海·課堂例題）已知，，其中，求的值.【答案】【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式列方程，求得的可能取值，根據(jù)為第二象限角求得的值.【詳解】解：由，易得，解得或1.由，所以①當(dāng)時(shí)，，，不合題意，舍去；②當(dāng)時(shí)，，，符合題意.綜上，.題型03已知正弦，余弦，正切中其一求另外兩個(gè)量【典例1】（23-24高一下·北京·期中）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式結(jié)合三角函數(shù)符合可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋郑郑裕裕蔬x：D.【典例2】（23-24高一下·山東濰坊·階段練習(xí)）（1）已知，且是第二象限角，求和.（2）若，求的值.【答案】（1），；（2）或【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得.（2）首先判斷是第二、四象限角，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)椋沂堑诙笙藿牵裕?（2）因?yàn)椋允堑诙⑺南笙藿?由，可得.當(dāng)是第二象限角時(shí)，；當(dāng)是第四象限角時(shí)，.【變式1】（23-24高一下·北京延慶·期末）若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系結(jié)合三角函數(shù)的正負(fù)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)樗杂忠驗(yàn)椋?因?yàn)椋裕?故選：C.【變式2】（23-24高一下·安徽蚌埠·階段練習(xí)）已知為第二象限角，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由同角的三角函數(shù)和切弦互化計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)闉榈诙笙藿牵遥裕裕蔬x：B題型04利用平方關(guān)系求參數(shù)【典例1】（23-24高一上·江蘇鹽城·期末）若，，則．【答案】0或【分析】根據(jù)，代入整理求解得出的值，進(jìn)而得出的值，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，所以，，整理可得，，解得或.當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，，，.綜上所述，或.故答案為：0或.【典例2】（2024高一上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知和是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是．【答案】【分析】由韋達(dá)定理，立方和公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹褪欠匠痰膬蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，所以，，，所以，即，解得，滿足．所以．故答案為：.【變式1】（23-24高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知若為第二象限角，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．或 D．【答案】D【分析】根據(jù)同角平方和關(guān)系即可結(jié)合角的范圍求解.【詳解】由可得或，由于為第二象限角，所以，故當(dāng)時(shí)，不符合要求，則符合要求，故選：D【變式2】（23-24高一下·遼寧大連·階段練習(xí)）已知，是關(guān)于的方程的兩根，則實(shí)數(shù)等于.【答案】/【分析】利用韋達(dá)定理及同角公式列式計(jì)算并驗(yàn)證得解.【詳解】由方程有兩根，得，解得，依題意，，則，解得，符合題意，所以實(shí)數(shù)等于.故答案為：題型05已知,求關(guān)于和的齊次式的值【典例1】（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)將所求式子分子化為齊次式，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系化弦為切，最后代入切的值得結(jié)果.【詳解】.故選：D【典例2】（24-25高一上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）已知，求．【答案】【分析】利用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系計(jì)算正、余弦齊次式.【詳解】已知，則．【典例3】（23-24高一下·上海·期中）已知.求：(1)的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系求解即可；（2）根據(jù)結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系求解即可.【詳解】（1）顯然，故則，解得.（2）【變式1】（23-24高一下·廣東湛江·期末）已知，則（

）A． B．0 C． D．1【答案】D【分析】根據(jù)題意結(jié)合齊次式問題分析求解.【詳解】因?yàn)椋?故選：B.【變式2】（23-24高一·上海·課堂例題）已知，求的值．【答案】.【分析】根據(jù)給定條件，利用齊次式法計(jì)算即得.【詳解】，所以.【變式3】（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，求下列各式的值．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）將式子齊次化即可求解；（2）將1看做，再進(jìn)行齊次化即可求解.【詳解】（1）因?yàn)椋裕瑢⑹阶拥姆肿臃帜竿瑫r(shí)除以得：所以．（2）．題型06利用,與之間的關(guān)系求值【典例1】（23-24高一下·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）已知，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，求得，再逐項(xiàng)分析判斷得解.【詳解】由，得，解得，對(duì)于A，，則，，A正確；對(duì)于D，，D正確；對(duì)于B，由，，得，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C正確.故選：B【典例2】（多選）（23-24高一上·山東淄博·期末）已知，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)題意，利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式，逐項(xiàng)計(jì)算，即可求解.【詳解】因?yàn)椋椒娇傻茫獾茫驗(yàn)椋裕裕訟正確；又由，所以，所以D正確；聯(lián)立方程組，解得，所以B正確；由三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可得，所以C錯(cuò)誤.故選：ABD【典例3】（23-24高一上·四川遂寧·階段練習(xí)）已知，.則=，=．【答案】/【分析】對(duì)平方即可求解，根據(jù)完全平方公式，聯(lián)立方程即可求解，即可求解.【詳解】，.，，又，；由得：或（舍），.故答案為：；【變式1】（多選）（23-24高一下·山東濰坊·階段練習(xí)）設(shè)，，則下列等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】DD【分析】將兩邊平方，結(jié)合平方關(guān)系求出A，即可判斷，則，即可判斷B、C，利用平方差公式判斷D.【詳解】因?yàn)椋裕矗矗裕蔄錯(cuò)誤；又，，所以，則，則，所以，故B正確、C錯(cuò)誤；，故D正確；故選：BD【變式2】（23-24高一下·湖南懷化·期末）已知，，則.【答案】【分析】?jī)蛇吰椒郊纯傻玫剑氲玫郊纯?【詳解】由已知，所以，所以.故答案為：.【變式3】（23-24高一下·山東威海·階段練習(xí)）已知，且，則．【答案】【分析】由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求得的值．【詳解】，，則，故答案為：．題型07利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡(jiǎn)【典例1】（多選）（22-23高一下·河南南陽(yáng)·期中）的值可能為（

）A． B． C．1 D．3【答案】DD【分析】根據(jù)角所在的象限分類討論即可.【詳解】因?yàn)椋郧遥粼诘谝幌笙蓿瑒t，故原式，若在第二象限，則，原式，若在第三象限，則，原式，若在第四象限，則，原式故選：BD【典例2】（24-25高一上·全國(guó)·課堂例題）化簡(jiǎn)：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用根式的化簡(jiǎn)與同角三角函數(shù)基本關(guān)系進(jìn)行求解即可；（2）利用完全平方公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得解.【詳解】（1）原式=．（2）原式．【典例3】（23-24高一下·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中為第三象限角且(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合同角三角關(guān)系分析可得，進(jìn)而可得，結(jié)合齊次式問題分析求解；（2）根據(jù)同角三角關(guān)系結(jié)合齊次式問題分析求解.【詳解】（1）由題意可得：，因?yàn)闉榈谌笙藿牵瑒t，即，所以原式.（2）由（1）可知：，由題意可得：.【變式1】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若，的化簡(jiǎn)結(jié)果為.【答案】【分析】先對(duì)分式進(jìn)行變形構(gòu)造出平方，然后把原式轉(zhuǎn)化成絕對(duì)值形式，最后去絕對(duì)值計(jì)算即可.【詳解】由題意知,故,故答案為：.【變式2】（22-23高一下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）（1）若，求的值．（2）若，化簡(jiǎn)【答案】（1）1；（2）.【分析】（1）利用正余弦齊次式法計(jì)算即得.（2）利用同角公式化簡(jiǎn)給定式子.【詳解】（1）由，得.（2）由，得，.【變式3】（23-24高一下·陜西渭南·期末）（1）化簡(jiǎn)：（2）已知，計(jì)算【答案】（1）1；（2）【分析】（1）利用同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可；（2）利用弦切互化求解即可.【詳解】（1）（2）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（23-24高一下·江西景德鎮(zhèn)·期末）已知是第三象限角，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)同角基本關(guān)系式可以求得.【詳解】因?yàn)槭堑谌笙藿牵遥裕裕蔬x：B.2．（23-24高一下·山東·期末）若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用同角的三角函數(shù)之間的關(guān)系求解即可.【詳解】因?yàn)椋缘慕K邊位于第三象限，所以.故選：B.3．（2024·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】根據(jù)切弦互化法計(jì)算即可求解.【詳解】因?yàn)椋裕蔬x：B．4．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知，則（

）A．0 B． C．或0 D．【答案】D【分析】由方程可求出的值，利用，確定，求出，計(jì)算即得.【詳解】由可得，因，則，故，則，所以故選：D.5．（25-26高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系式中的商關(guān)系，結(jié)合平方差公式，三角函數(shù)關(guān)系中平方和為1進(jìn)行代換求解即可.【詳解】.故選：B6．（2024高一·全國(guó)·專題練習(xí)）已知角的終邊在函數(shù)的圖象上，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】分母變?yōu)椋傻谜嘞引R次式，弦化切求解即可.【詳解】因?yàn)榻铅恋慕K邊在函數(shù)的圖象上，所以，=故選：A.7．（24-25高一·上海·隨堂練習(xí)）若，，則的值為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意結(jié)合齊次式問題運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)椋?故選：B．8．（23-24高一下·江蘇揚(yáng)州·期中）1626年，阿貝爾特格洛德最早推出簡(jiǎn)寫的三角符號(hào)：、、（正割），1675年，英國(guó)人奧屈特最早推出余下的簡(jiǎn)寫三角符號(hào)：、、（余割），但直到1748年，經(jīng)過數(shù)學(xué)家歐拉的引用后，才逐漸通用起來，其中，，若，且，則（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意將式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，再利用弦切互化的方法求解即可