數學試驗如何計算

值?第1頁第1頁圓周率是人類取得最古老數學概念之一,早在大約37前（即公元前17左右）古埃及人就已經在用256/81（約3.1605）作為π近似值了。幾千年來,人們始終沒有停止過求π努力。第2頁第2頁你也許能寫出=3.1415926535實際計算問題8628034825342117068但是你會計算值嗎？你又能用幾種用Mathematica容易求出到幾百位In[1]=N[Pi,100]Out[2]3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899辦法計算值？第3頁第3頁

古典方法

分析方法

數值積分辦法

概率方法第4頁第4頁

古典辦法用什么辦法來計算π近似值呢？顯然，不也許僅依據圓周率定義，用圓周長清除以直徑。起先，人們采用都是用圓內接正多邊形和圓外切正多邊形來迫近古典辦法。6邊形12邊形24邊形圓第5頁第5頁

阿基米德曾用圓內接96邊形和圓外切96邊形夾逼辦法證實了由和導出公元5世紀,祖沖之指出比西方得到同樣結果幾乎早了10第6頁第6頁十五世紀中葉,阿爾·卡西給出π16位小數,打破了祖沖之紀錄

1579年,韋達證實

1630年,最后一位用古典辦法求π人格林伯格也只求到了π第39位小數第7頁第7頁從十七世紀中葉起,人們開始用更先進分析辦法來求π近似值,其中應用主要工具是收斂無窮乘積和無窮級數,在本節中我們將簡介一些用這類辦法求π近似值實例。分析辦法利用冪級數表示式第8頁第8頁取取1656年,沃里斯(Wallis)證實第9頁第9頁在微積分中我們學過泰勒級數,其中有當x=1第10頁第10頁取取第11頁第11頁用Mathematica計算[Out8]3.14154265358982449In[1]k=1000;S1=N[4*Sum[(-1)^(n-1)/(2n-1),{n,1,k}],18][Out2]3.14059265383979293In[3]k=10000;[Out4]3.14149265359004324In[5]k=15000;[Out6]3.1415259869235In[7]k=0第12頁第12頁左邊三個正方形構成矩形中，由和可得ACBD問題:能不能算得更快一點、更準確一點？第13頁第13頁Machin公式簡樸公式麥琴(Machin)給出第14頁第14頁再用MathematicaOut[8]3.141592653589793238462643383279Clear[k,n,S]In[1]k=10;S2=N[4*Sum[(-1)^(n-1)*(1/2)^(2n-1)/(2n-1)+(-1)^(n-1)*(1/3)^(2n-1)/(2n-1),{n,1,k}],20]Out[2]3.14159257960635121097In[3]k=20;Out[4]3.1415926535897574098In[5]k=50;Out[6]3.14159265358979323846In[7]k=50;第15頁第15頁將[0,1]區間n等分,取xk=k/n,yk=1/(1+xk2)數值積分辦法第16頁第16頁Out[8]3.141592646923126571795976843597MathematicaIn[1]y[x_]:=4/(1+x^2);n=100;S3=N[1/(2*n)*(Sum[2*y[k/n],{k,1,n-1}]+y[0]+y[1]),30]Out[2]3.1415759869231285559229513739In[3]n=500;Out[4]3.141591986923126571922960843596In[5]n=1000;Out[6]3.141592486923126571797960843597In[7]n=5000;第17頁第17頁交充要條件為設計方案1從Buffon落針試驗談起:平行線距離為a,針長度為l(<a);設針中心到較近平行線距離為x,針與平行線夾角,針與平行線相概率辦法MonteCarlo法第18頁第18頁次數很大,落針應均勻分布,落針中心在A區個數與(左圖正弦曲線下方面積D)

總數之比為A面積與矩形總面積之比=2l/a第19頁第19頁Mathemetican=100000;a=20;l=10;S4=Block[{i,m=0},For[i=n,i>0,i--,m=m+If[Random[]*a/2<=l/2*Sin[Random[]*Pi/2],

1,0]];N[(2*l*n)/(a*m),10]]Out[2]3.13234In[1]n=500000;Out[2]3.14408計算機模擬:產生[0,π/2]上n個角度t,產生[0,a/2]上n個距離x

計算滿足x<(l*sin(t))/2點數m；π=(2*l*n)/(a*m)第20頁第20頁＝4m/n計算機模擬:產生區間[0,1]上數目為n一組在正方形0<x<1,0<y<1上隨機投大量點,那么落在四分之一園內點數數m與在正方形內點數n之比m/n應為這兩部分圖形面積之比＝/4,故隨機數(x,y),計算滿足x2+y2<1點數m設計方案2第21頁第21頁MathemeticaOut[2]3.14736In[1]n=10000;S4=Block[{i,m=0},For[i=n,i>0,i--,m=m+If[Random[]^2+Random[]^2<=1,1,0]];N[4*m/n,10]]Out[2]3.1352In[1]n=50000;Out[2]3.15336In[1]n=100000;第22頁第22頁試驗任務1.用反正切函數冪級數展開式結合相關公式2.用數值積分計算,分別用梯形法和Simpson簡樸公式和Machin公式所用項數.求,若要準確到以40位、50位數字,試比較法準確到10位數字,用Simpson法準確到