3

組合互動學習達標小練自

主

預

習[課標解讀]1.通過實例，理解組合的概念，能利用計數原理推導組合數公式.2.能夠利用組合數公式解決一些簡單的實際問題.[素養目標]水平一：1

.能從教材實例中抽象出組合的概念(數學抽象).2.

通過實例，理解組合與兩個計數原理的關系，能利用計數原理推導組合數公式(數學抽象).3.通過組合知識解決實際問題(邏輯推理、數學運算).水平二：1.借助組合數公式及組合數的性質進行運算(數學運算).2.能用枚舉

法寫出一個組合問題的所有的組合(邏輯推理).3.能用分步乘法計數原理解決簡單的組合問題(邏輯推理、數學運算).自主預習1.組合的概念一般地，從n

個不同元素中，任取

m(m≤n,且

m,n∈N+)個元素為一

組，叫作從n

個不同元素中取出m個元素的一個組

合

.我們把有關求組合的

個數問題叫作組合問題.課前篇自主預習·

知識梳理·知識點一組合2.組合與排列的聯系與區別從排列與組合的定義可知，兩者都是從n個不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)

個元素的計數問題，它們的差別是：排列需要考慮元素順序，組合不需要考慮元素順序.也就是說：只有元素相同且順序也相同的兩個排列

才是相同的；只要兩個組合元素相同，不論元素的順序如何，都是相同的組合

.知識點二

組合數1.組合數的概念從

n個不同元素中取出m(m≤n,

且m,n∈N+)個元素的所有組合個

數，叫作從n個不同元素中取出m(m≤n,

且m,n∈N+)個元素的組合數，

記作Cm.2.組合數公式及其性質(1)公式：(2)性質：(3)規定：Ch=

1.·問題初探·

1.“abc”和“acb”是相同的排列還是相同的組合?提示：由于“abc”與

“acb”的元素相同，但排列的順序不同，所以“abc”

與“acb”是相同的組合，但不是相同的排列.2.怎樣理解組合，它與排列有何區別?提示：(1

)組合要求n個元素是不同的，被取的m個元素也是不同的，即從

n個不同的元素中進行m

次不放回地取出.(2)取出的m

個元素不講究順序，也就是說元素沒有位置的要求，無序性是組合的特點.(3)辨別一個問題是排列問題還是組合問題，關鍵看選出的元素與順序是否有關，若交換某一問題中某兩個元素的位置對結果產生影響，則是排列問

題，否則就是組合問題。3.如何理解組合與組合數這兩個概念?提示：同“排列”與“排列數”是兩個不同的概念一樣，“組合”與“組合

數”也是兩個不同的概念，“組合”是指“從n個不同元素中取m(m≤n,且m,n∈N+)

個元素合成一組”,它不是一個數，而是具體的一件事；“組

合數”是指“從n個不同元素中取出m(m≤n,且

m,n∈N+)

個元素的所有不同組合的個數”,它是一個數.例如，從3個不同元素a,b,c

中每次取出

兩個元素的組合為ab,ac,bc,

其中每一種都叫一個組合，這些組合共有3

個，則組合數為3.互動學習課堂篇

互動學習類

型

寫出問題的組合[例1]

寫出從5位同學中選3位同學去社區服務的所有組合.[解]解法一：用

A,B,C,D,E分別表示5位同學，可按AB→AC→AD→BC→BD→CD

順序寫出，即所以所有組合為ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE

,BDE,CDE.解法二：用A,B,C,D,E分別表示5位同學，畫出樹形圖，如圖所示

.由此可以寫出所有的組合：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE.通法提煉1.此類列舉所有從n個不同元素中選出m個元素的組合，可借助“順序后移

法”或“樹形圖法”,直觀地寫出組合做到不重復不遺漏.2.由于組合與順序無關.故利用“順序后移法”時箭頭向后逐步推進，且寫出的一個組合不可交換位置.如寫出ab

后，不必再交換位置為ba,因為它們是

同一組合.畫“樹形圖”時，應注意頂層及下枝的排列思路，防止重復或遺漏.變式訓練1

(1)在圓周上有5個點，則以這5個點為頂點的三角形有10個.解析：設圓周上5個點分別為A,B,C,D,E,由于任意3點不共

線，所以只需從這5個點中任意取出3個點均可構成三角形，屬于組合問

題，所有的組合為{A,B,C},{A,B,D},{A,B,E},{A,C,D},{A,C,E},{A,D,E},{B,C,D},{B,C,E},{B,D,E},{C,D,E},共10種.(2)如已知a,b,c,d

這四個元素，寫出每次取出2個元素的所有組合.解：可

按a→b→c→d順序寫出，即所以所有組合為ab,ac,ad,bc,bd,cd.[例2]

(1)計算：①+C?0

·(2)證明：類型

二

組合數公式的應用;②;③●③解法一：原式=C3+Cs-c4+c4-Cs+…+C41-C4o=Cf?=330.解法二：原式=C4+c3+C3+…+C?o=Cs+C3+…+Cio=C6+c6②∵

∴9.5≤n≤10.5,∵n∈N*,∴n=10,十…+C?o=…=C4o+C?o=Cf?=330.(2)證明：解法一：左邊=右邊，原結論得證。解法二：利用公式Cm=cm-1+cm=1

推得左邊=(cm+

1+cm)+(Cm+通法提煉有關組合數的兩個公式的應用范疇是有所區別的，常用于n,

m

為具體自然數的題目，一般偏向于具體組合數的計算；公式常用于n,m為字母或含有字母的式子的題目，一般偏向于方程的求解或有關組合數

的恒等式的證明.變式訓練2

(1)計算：(②Cy+C5+C2+C3+C4+C5.(2)求證：;(2)證明：因為類型

簡單的組合問題[例3]

在一次數學競賽中，某學校有12人通過了初試，學校要從

中選出5人參加市級培訓.在下列條件下，有多少種不同的選法?(1)任意選5人；(2)甲、乙、丙三人必須參加；(3)甲、乙、丙三人不能參加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人參加.[解]

(1)從中任取5人是組合問題，共有Ci?=792(種)不同的選法.(2)甲、乙、丙三人必須參加，則只需要從另外9人中選2人，是組合問題，共有C?=36(種)不同的選法.(3)甲、乙、丙三人不能參加，則只需從另外的9人中選5人，共有C5

=126(種)不同的選法.(4)甲、乙、丙三人有1人參加，可分兩步：先從甲、乙、丙中選1人，

有C

1=3

(種)選法；再從另外9人中選4人，有C9種選法.共有C3c9=378(種)不同的選法.通法提煉解答簡單的組合問題的思考方法：(1)弄清要做的這件事是什么事.(2)選出的元素是否與順序有關，也就是看看是不是組合問題.(3)結合兩計數原理利用組合數公式求出結果.變式訓練3

現有10名教師，其中男教師6名，女教師4名.(1)現要從中選2名教師去參加會議，有多少種不同的選法?(2)選出2名男教師或2名女教師去外地學習的選法有多少種?(3)現要從中選出男、女教師各2名去參加會議，有多少種不同的選法?解：(1)從10名教師中選2名去參加會議的選法種數為●(2)可把問題分兩類情況：第一類，選出的2名是男教師有C?種選法；第二類，選出的2名是女教師有C2種選法。根據分類加法計數原理，共有C6+c2=15+6=21(種)不同的選法。(3)從6名男教師中選2名的選法有C6種，從4名女教師中選2名的選法有C2種，根據分步乘法計數原理，共有

(種)不同的

選法.類

型

四

分組分配問題[例4]

6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法：(1)分給甲、乙、丙三人，每人兩本；(2)分為三份，每份兩本；(3)分為三份，一份一本，一份兩本，一份三本；(4)分給甲、乙、丙三人，一人一本，一人兩本，一人三本；(5)分給甲、乙、丙三人，每人至少一本.[解]

(1)根據分步乘法計數原理得到C6c2c2=90(種).(2)分給甲、乙、丙三人，每人兩本有C6c2c2種方法，這個過程可以分

兩步完成：第一步分為三份，每份兩本，設有x種方法；第二步再將這三份分給甲、乙、丙三名同學有A3種方法.根據分步乘法計數原理可得c?c2c2=xA3,所以

●

因此分為三份，每份兩本一共有15種方法.(3)這是“不均勻分組”問題，一共有C?csc3=60(種)方法。(4)在(3)的基礎上再進行全排列，所以一共有C?csc3A3=360(種)方法.(5)可以分為三類情況：①“2,2,2型”即(1)中的分配情況，有c6c2c2=90(種)方法；②“1,2,3型”即(4)中的分配情況，有C?csc3A3?

=360(種)方法；③“1,1,4型”,有C6A3=90

(種)方法.所以一共有90+360+90=540(種)方法.常見形式處理方法非均勻編號分組n個不同元素分成m組，各組元素數目均不相等，且考慮各組間的順序，其分法種數為A

·Am均勻編號分組n個不同元素分成m組，其中r組元素個數相同且考慮各組間的順序，其分法種數為

·Am通法提煉1.組合應用題中分配問題的常見形式及處理方法如下表所示A

A通法提煉2.分配問題的處理途徑將

n

個元素按一定要求分給m

個人，稱為分配問題.分組問題和分配問題是

有區別的，前者組與組之間只要元素個數相同是不可區分的；而后者即使兩個元素個數相同，但因人不同，仍然是可區分的.對于這類問題必須遵循先分

組后排列的原則.變式訓練4

將4個編號為1,2,3,4的小球放入4個編號為1,2,3,4的盒子中.(1)每盒至多一球，有多少種放法?(2)每個盒內放一個球，并且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同，有

多少種放法?(3)把4個不同的小球換成4個相同的小球，恰有一個空盒，有多少種放

法?(4)把4個不同的小球換成20個相同的小球，要求每個盒內的球數不少

它的編號數，有多少種放法?解：(1)這是全排列問題，共有A4=24

(種)放法。(2)1個球的編號與盒子編號相同的選法有C4種，當1個球與1個盒子的編號相同時，用局部列舉法可知其余3個球的投放方法有2種，故共有c4·2=8

(種)放法。(3)先從四個盒子中選出三個盒子，再從三個盒子中選出一個盒子放入

兩個球，余下兩個盒子各放一個.由于球是相同的，即沒有順序，所以屬于

組合問題，故共有C4c1=12

(種)放法。(4)(隔板法)先將編號為1,2,3,4的4個盒子分別放入0,1,2,3個球，再把剩下的14個球分成四組，即在○○○○○○○○○○○○○○這14個球中間的13個空中放入三塊隔板，共有C?3=286(種)放法，如O0|O0000|O00|O00○,即編號為1,2,3,4的盒子分別放入2,6,5,7個球.達標小練1.以下四個命題，屬于組合問題的是(C)A.從3個不同的小球中，取出2個排成一列B.老師在排座次時將甲、乙兩位同學安排為同桌C.在電視節目中，主持人從100位幸運觀眾中選出2名幸運之星D.從13位司機中任選出兩位開兩輛車從甲地到乙地檢測篇達標小練解析：選

項A是排列問題，因為2個小球有順序；選項B是排列問題，因為甲、乙位置互換后是不同的排列方式；選項C是組合問題，因為2位觀眾無

順序；選項D是排列問題，因為兩位司機開哪一輛車是不同的.故選C.2.計算7C6-4C4的值為(

A

)A.0B.1

C.360

D.1203.某小組有10名學生，其中3名女生，從中選3名代表，要求至少有1名女

生，則有不同的選法種數是

(

D)A.120B.108C.100