第3章正弦交流電路本章知識(shí)點(diǎn)1.理解正弦量的三要素及其各種表示方法。2.理解電路基本定律的相量形式；熟練掌握計(jì)算正弦交流電路的相量分析法，會(huì)畫(huà)相量圖。3.掌握有功功率和功率因數(shù)的計(jì)算；了解瞬時(shí)功率、無(wú)功功率和視在功率的概念。4.了解串聯(lián)諧振的條件及特點(diǎn)。5.理解提高功率因數(shù)的意義和方法。3.1正弦交流電的基本概念隨時(shí)間按正弦規(guī)律周期性變化的電動(dòng)勢(shì)、電壓和電流統(tǒng)稱為正弦交流電，也稱正弦量。以正弦電流為例，它的波形和數(shù)學(xué)表達(dá)式分別如圖3-2和式（3-1）所示。(3-1)圖3-2正弦信號(hào)的波形3.1正弦交流電的基本概念3.1.1周期、頻率和角頻率正弦交流電重復(fù)變化一次所需要的時(shí)間稱為周期。周期用T表示，單位為s。正弦函數(shù)在一秒內(nèi)完成的周期數(shù)稱為頻率。頻率用表示，單位為赫茲(Hz)。由以上定義，頻率與周期互為倒數(shù)關(guān)系，即或還可以用角速度表示正弦量變化的快慢，稱之為角頻率。由于正弦交流電完成一次循環(huán)變化了2π弧度（rad），所經(jīng)歷的時(shí)間為T，因此角頻率可表示為角頻率的符號(hào)為，單位為弧度/秒(rad/s)。目前我國(guó)的工頻為50Hz。3.1正弦交流電的基本概念3.1.2瞬時(shí)值、振幅、有效值任一時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的電流值稱為瞬時(shí)值。瞬時(shí)值用小寫(xiě)字母表示，如電流的瞬時(shí)值表示為。瞬時(shí)值中的最大值稱為振幅，也稱峰值，最小值稱為波谷，正弦量的最大值與最小值的差叫做峰-峰值。正弦量的有效值是用來(lái)反映交流電能量轉(zhuǎn)換的實(shí)際效果，是根據(jù)它的熱效應(yīng)確定的。正弦交流電的最大值和有效值之間存在如下數(shù)量關(guān)系：3.1正弦交流電的基本概念3.1.3相位、初相位和相位差正弦量的變化進(jìn)程常常用隨時(shí)間變化的電角度（即相位）來(lái)反映。在式（3-1）中的就是反映正弦交流電流在變化過(guò)程中任一時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的電角度。=0時(shí)對(duì)應(yīng)的相位稱為初相位，簡(jiǎn)稱初相。初相反映了正弦量計(jì)時(shí)起點(diǎn)的狀態(tài)。為了比較兩個(gè)同頻率的正弦量在變化過(guò)程中的相位關(guān)系和先后順序，引入相位差的概念，相位差用表示。當(dāng)兩個(gè)同頻率的正弦量之間的相位差為時(shí)，其相位關(guān)系為同相；當(dāng)兩個(gè)同頻率的正弦量之間的相位差為時(shí)，二者相位具有正交關(guān)系；若兩個(gè)同頻率的正弦量之間的相位差是時(shí)，則二者之間的相位關(guān)系為反相。3.2正弦量的相量表示法在正弦交流電路中，經(jīng)常需要進(jìn)行同頻率正弦量的運(yùn)算，電工技術(shù)中常采用相量法。3.2.1正弦量與相量的對(duì)應(yīng)關(guān)系正弦量可以用一個(gè)復(fù)數(shù)來(lái)表示，復(fù)數(shù)的模代表正弦量的有效值，復(fù)數(shù)的幅角代表正弦量的初相位。用來(lái)表示正弦量的復(fù)數(shù)稱為相量，相量用大寫(xiě)字母上面加黑點(diǎn)表示，用以表明該復(fù)數(shù)是時(shí)間的函數(shù)。例如，、和分別為正弦電流、電壓和電動(dòng)勢(shì)的相量，正弦交流電流的相量為這種用復(fù)數(shù)表示正弦量的方法叫做相量法。應(yīng)用向量圖可以把同頻率的正弦量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的運(yùn)算。需要注意的是：相量只是正弦量的一種表示方法，二者并不相等。而且只有當(dāng)電路中的各正弦量的頻率相同時(shí)，才能用相量法進(jìn)行運(yùn)算，并可以畫(huà)在同一個(gè)相量圖上。3.2正弦量的相量表示法3.2.1正弦量與相量的對(duì)應(yīng)關(guān)系例3-3已知V,A。試寫(xiě)出它們的相量式，畫(huà)相量圖。解:相量圖如圖3-6所示。3.2.2正弦量相量常用表示方法瞬時(shí)值表達(dá)式為的正弦電流，其對(duì)應(yīng)的相量形式可以用以下幾種形式表示。代數(shù)表示式

指數(shù)形式極坐標(biāo)形式3.2正弦量的相量表示法3.2.3相量形式的基爾霍夫定律1.基爾霍夫電流定律在正弦交流電路中，基爾霍夫電流定律的表達(dá)式仍為，與其對(duì)應(yīng)的相量式則為2.基爾霍夫電壓定律在正弦交流電路中，KVL的表達(dá)式仍為，與其對(duì)應(yīng)的相量式則為3.3單一參數(shù)的正弦交流電路3.3.1電阻元件的正弦交流電路1．電阻元件上電壓和電流的關(guān)系圖示為電阻元件在正弦交流電路中的電路模型。考慮到一般性，設(shè)電阻兩端電壓的初相位，則電壓的解析式為，其對(duì)應(yīng)相量，經(jīng)過(guò)電阻的電流為，其對(duì)應(yīng)相量，即，即有相量關(guān)系式既能表示電壓與電流有效值關(guān)系，又能表示其相位關(guān)系。圖3-7電阻元件的正弦交流電路3.3單一參數(shù)的正弦交流電路3.3.1電阻元件的正弦交流電路綜上所述，得出電阻元件上電壓和電流的關(guān)系有：1）電壓和電流均是同頻率同相位的正弦量。其波形圖如右圖。2）電壓和電流的瞬時(shí)值、有效值、最大值和相量之間均符合歐姆定律形式。圖3-9電阻元件上的電壓、電流和功率波形3.3單一參數(shù)的正弦交流電路3.3.1電阻元件的正弦交流電路2．功率及能量轉(zhuǎn)換電阻元件上的瞬時(shí)功率用以小寫(xiě)字母“”表示。任一瞬時(shí)，電阻元件上的瞬時(shí)功率總等于電壓瞬時(shí)值與電流瞬時(shí)值的乘積，即：瞬時(shí)功率在變化過(guò)程中始終在坐標(biāo)軸上方，即≥0，說(shuō)明電阻元件總是在吸收功率，它將電能轉(zhuǎn)換為熱能散發(fā)出來(lái)，是一個(gè)耗能元件。通常都是計(jì)算一個(gè)周期內(nèi)消耗功率的平均值，即平均功率，又稱為有功功率，用大寫(xiě)字母來(lái)表示。電阻元件上平均功率為：平均功率的單位為瓦(W)，工程上也常用千瓦(kW)。一般用電器上所標(biāo)的功率，如電燈的功率為25W、電爐的功率為1000W、電阻的功率為1W等都是指平均功率。3.3單一參數(shù)的正弦交流電路3.3.2電感元件的正弦交流電路1．電壓與電流的關(guān)系電感元件兩端電壓的最大值與通過(guò)它的電流最大值在數(shù)量上的關(guān)系為：等式兩端同除以，即可得到電壓、電流有效值之間的數(shù)量關(guān)系為：其中稱為電感的電抗(簡(jiǎn)稱感抗)，它的單位是歐姆。感抗與頻率成正比，當(dāng)→∞時(shí)，→∞，即電感相當(dāng)于開(kāi)路，因此電感常用作高頻扼流線圈。在直流電路中，=0，=0，即電感相當(dāng)于短路。電感元件兩端的電壓與通過(guò)它的電流存在著相位正交關(guān)系，且電壓總是超前電流。圖3-10電感元件電路3.3單一參數(shù)的正弦交流電路3.3.2電感元件的正弦交流電路歸納：正弦交流電路中的電感元件，其電壓、電流在數(shù)量上的關(guān)系符合微分形式的動(dòng)態(tài)關(guān)系；在相位上它們存在正交關(guān)系。上述關(guān)系用相量式可表示為：圖3-11電感元件的電壓與電流相量圖3.3單一參數(shù)的正弦交流電路3.3.2電感元件的正弦交流電路2．功率及能量轉(zhuǎn)換電感元件上的瞬時(shí)功率總等于電感元件上瞬時(shí)電壓與瞬時(shí)電流相乘所得，即電感元件雖然不消耗能量，但它與電源之間的能量交換客觀上是存在的。在電工技術(shù)中，通常用瞬時(shí)功率的幅值來(lái)衡量電感元件與電源之間能量交換的規(guī)模，即用無(wú)功功率來(lái)衡量，無(wú)功功率用大寫(xiě)字母“”表示無(wú)功功率的單位為乏(var)，還有千乏(kvar)。圖3-12電感元件的瞬時(shí)功率波形3.3單一參數(shù)的正弦交流電路3.3.3電容元件的正弦交流電路1．電壓與電流的關(guān)系設(shè)加在電容元件兩端的電壓為當(dāng)通過(guò)電容元件的電流與電壓取關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)，有：式中,，其中稱為電容的電抗，簡(jiǎn)稱容抗。容抗和感抗一樣，反映了電容元件在正弦電路中限制電流通過(guò)的能力，單位為歐姆(Ω)。容抗與頻率成反比，當(dāng)時(shí)，，電容相當(dāng)于開(kāi)路，即隔直作用；當(dāng)時(shí)，，電容相當(dāng)于短路。電容元件兩端的電壓與通過(guò)它的電流存在著相位正交關(guān)系，且電流總是超前電壓。3.3單一參數(shù)的正弦交流電路3.3.3電容元件的正弦交流電路1．電壓與電流的關(guān)系歸納：正弦交流電路中的電容元件，其電壓、電流在數(shù)量上的關(guān)系符合微分形式的動(dòng)態(tài)關(guān)系；在相位上它們存在正交關(guān)系。上述關(guān)系用相量式可表示為：3.3單一參數(shù)的正弦交流電路3.3.3電容元件的正弦交流電路2．功率及能量轉(zhuǎn)換電容元件雖然不消耗能量，但它與電源之間的能量交換客觀上是存在的。在電工技術(shù)中，通常用瞬時(shí)功率的幅值來(lái)衡量電感元件與電源之間能量交換的規(guī)模，即用無(wú)功功率來(lái)衡量，無(wú)功功率用大寫(xiě)字母“”表示：圖3-15電容元件的電壓、電流和瞬時(shí)功率波形3.4RLC串聯(lián)電路3.4.1RLC串聯(lián)電路1．電壓與電流的關(guān)系圖3-16為RLC串聯(lián)電路，各部分電壓與電流的參考方向如圖所示。根據(jù)基爾霍夫定律，電路的總電壓為其對(duì)應(yīng)的相量形式為：圖3-16RLC串聯(lián)電路圖3-17RLC串聯(lián)電路的三種情況3.4RLC串聯(lián)電路3.4.1RLC串聯(lián)電路1．電壓與電流的關(guān)系式中的稱為相量模型中的復(fù)數(shù)阻抗，簡(jiǎn)稱復(fù)阻抗。復(fù)阻抗的模值對(duì)應(yīng)正弦交流電路中的阻抗；輻角對(duì)應(yīng)正弦交流電壓與電流之間的相位差角。式中為復(fù)阻抗的模，稱為阻抗；為復(fù)阻抗的輻角，稱為阻抗角。阻抗角的大小取決于R、L、C三個(gè)元件的參數(shù)以及電源的頻率。3.4RLC串聯(lián)電路3.4.1RLC串聯(lián)電路2．功率由圖所示相量圖還可以推導(dǎo)出電壓三角形（相量圖）、阻抗三角形（非相量圖）和功率三角形（非相量圖），如圖所示，三個(gè)三角形顯然是相似三角形。若電壓三角形的各條邊同除以電流相量，就可得到阻抗三角形，阻抗三角形僅反映了電阻與電抗之間的數(shù)量關(guān)系；若電壓三角形的各條邊同乘以電流相量，又可得到功率三角形，功率三角形僅反映了電路中各種功率之間的數(shù)量關(guān)系。圖3-18阻抗、電壓、功率三角形3.4RLC串聯(lián)電路3.4.1RLC串聯(lián)電路2．功率從圖3-18所示的功率三角形中可得：三個(gè)功率之間有以下關(guān)系:3.4RLC串聯(lián)電路3.4.2RLC串聯(lián)電路的諧振在RLC串聯(lián)電路中，當(dāng)電路的總電流和端電壓同相時(shí)稱電路發(fā)生了諧振。由于發(fā)生在串聯(lián)電路中，故稱為串聯(lián)諧振。1．串聯(lián)諧振的條件串聯(lián)電路發(fā)生諧振的條件是電路的電抗為零，即則由此可得式中的和分別稱為串聯(lián)電路的諧振角頻率和諧振頻率。3.4RLC串聯(lián)電路3.4.2RLC串聯(lián)電路的諧振2．串聯(lián)諧振電路的特點(diǎn)（1）電路發(fā)生諧振時(shí)，因?yàn)殡娍篂榱悖宰杩棺钚。覟榧冸娮瑁矗?）電路發(fā)生諧振時(shí)，當(dāng)電源電壓不變時(shí)，電路中的電流最大，即（3）電路發(fā)生諧振時(shí)，感抗等于容抗，電路的電抗為零。但感抗和容抗均不為零，它們分別為式中稱為諧振電路的特性阻抗，單位為Ω。3.4RLC串聯(lián)電路3.4.2RLC串聯(lián)電路的諧振2．串聯(lián)諧振電路的特點(diǎn)（4）電路發(fā)生諧振時(shí)，電感與電容的端電壓數(shù)值相等、相位相反，二者相互抵消，對(duì)整個(gè)電路不起作用，電源電壓全部加在電阻元件上。圖3-20（a）、（b）所示分別為串聯(lián)諧振電路以及各部分電壓的相量圖。（5）電路諧振時(shí)，因電路呈現(xiàn)純阻性，所以電路總無(wú)功功率為零，電感與電容不再與電源交換能量，而在兩者之間相互轉(zhuǎn)換，電源的能量全部消耗在電阻上。圖3-20串聯(lián)諧振電路及相量圖3.5功率因數(shù)的提高在電力系統(tǒng)中，當(dāng)電源電壓和輸出功率一定時(shí)，若功率因數(shù)低，則引起線路電流增大，導(dǎo)致線路損耗和壓降增大，從而會(huì)影響供電質(zhì)量，降低輸電效率。因此，應(yīng)當(dāng)設(shè)法提高線路的功率因數(shù)。提高功率因數(shù)的途徑很多，目前廣泛采用的方法是在感性負(fù)載兩端并聯(lián)適當(dāng)?shù)碾娙荨Ｓ蓤D（b）可見(jiàn)，并聯(lián)電容前，線路中的總電流（也即負(fù)載電流）