習題L基礎達標題解答

一、填空題

1.設AB是兩個隨機事件，P（X）=0.9,P（AB）=0.36,則P（A方）=.

解：0.54.因為尸（4可=尸（A）-P（A8）=0.54.

2.設P（A）=0.3,P（B）=0.2,尸（AU3）=0.4,則P（A月）二.

解：0.2.因為P（A5）=P（AU5）-P（3）=0.2.

3.設A,8是兩個隨機事件，P（X）=0.5,玳4一用=0.2,則=,尸（而）

解：0.3,0.7.因為P（A3）=P（A）-P（4-3）=0.3,。（而）=l—P（A8）=0.7.

4.在電話號碼簿中任取一個電話號碼，求后面四個數全不相同的概率.

解；0.504.因為所求概率為*=0.504.

5.盒子中有5紅2白共7只質量、大小相同的球，不放回取兩次，則兩次取不同顏色球的概

率.

解：因為所求概率與=3.

21C；21

6.設A,B是兩個隨機事件，尸（A）=0.7,P（B）=0.6,P（fi|A）=0.4,貝IJP（AJ3）=

尸（明

解：因為。.4=小種貂得P（加）=0.12,放

0.82.而‘

P（AlB）=P（A）+P（BA）=0.82.

二、選擇題

1.設48為仟意兩個事件，表達式4UA表示（）.

（A）A與B同時發生（B）A發生但8不發生

（C）8發生但A不發生（D）A與8至少有一件發生

解：選D.事件和的定義.

2.設A,B為兩個事件，則關系式=A當（）時成立.

（A）Au3（B）3uA（C）A^B（D）火u4

解：選A.\/XGA=AB=>xGB,故Au呂.

3.設任意的兩個事件AB,若=則必有().

(A)P(AJB)=1(B)事件A與8互不相容

(C)*4)=0或P(5)=0(D)事件A與B互為對立

解：選民事件不相容的定義.

4.設有10件產品，其中8件是合格品，2件是次品.現從中不放回任意抽取3件產品，求這3件產

品中恰有一件是次品的概率為().

79315

(A)—(B)—(C)-(D)—

1516416

解：選A.所求概率為卑=2_.

C：。15

5.袋中有3白1紅共4只質量、大小相同的球，甲先任取一球，觀察后放回；然后乙再任取一球，

則二人取相同顏色球的概率為().

小8/□、9/「、10小、11

(A)—(B)—(CJ—(D)——

16161616

2

解：選c.所求概率為I二J二U10.

4216

6.設有10件產品，其中8件是合格品，2件是次品.現從中每次抽取1件產品，有放回抽取3次,

求這3次抽取中恰有一次抽取是合格品的概率是().

1114

(A)0.096(B)—(C)-(D)—

解：選A.所求概率為&⑴=C；*1

=0.096.

三、解答題

1.設43是兩個隨機事件，已知P(A)=0.45,P(B)=0.3,P(^IJB)=0.8,求

P(AB),P(AB),P(B-A),P(AJB).

解：由夕(耳一耳)=P(而)=1一尸(A3)=0.8,得Q(AB)=l-0.8=0.2；

B)=1-P(^LB)=1-[P(A)+P(B)-P(AB)]

=1-[0.45+0.3-0.2]=0.45;

P(AB)=03-0.2=0.1；

P(AUB)=l-P(Al7I)=l-P(AB)=l-P(B-A)=1-0,1=0.9.

2.已知P(A)=P(B)=P(C)=L,P(AB)=P(AC)=P(BC)=-,P(A8C)=求概率戶(AU8(JC)和

4816

P(ABC).

解：由P(AJ8UO=P(A)+P(3)+P(O-P(AB)-P(AC)-P(3C)+P(ABC)

11111117

=―+-+------------+=;

4448881616

―/77

PiABC}-P(AJBUC)-1-P(/AUZ?JO-1——-—.

1616

3.已知尸(A)=0.5,尸(8)=04,P(A-8)=0.6,求P(A⑻，網斗⑻.

解：由尸(45)=P(4)+P(A)—P(AJN)=0.5+0.4-0.6=0.3,

P\A\B)=^^~=—=0.75；

P(B)0.4

由P(AB)=P(A-B)=P(A)-P[AB)=0.5-0.3=0.2,

0,2_0,2_0.2_1

-l-P(B)-1-0.4―港一3?

4.甲組有3男生1女生，乙組有1男生3女生.今從甲組隨機抽一人編入乙組，然后再從乙組隨機

抽一人編入甲組，求(1)甲組仍為3男生1女生的概率；(2)甲組為4男生的概率.

解：設4=｛先由甲組抽取一男生｝,8=｛再由乙組抽取一男生｝.

(1)P(A3+而)=P(A)P(8|A)+尸(無)戶(月區)=；?|+；?1=為=0.5；

(2)P(AB)=P(A)P(B\A)=11=J-=0.05.

5.袋中有5個白球與10個黑球，每次從袋中任取一個球，取出的球不再放回.求第二次取出的球與

第一次取出的球顏色相同的概率.

解：設事件A=｛第一次抽到的是白球｝,3=｛第二次抽到的是白球｝.

P=P(AB)+P(AB)=P(A)P(叫A)+P(A)P(B\A)

55-11010-1

=—?0.5238.

-5+105+10-15+105+10-121

另解：所求概率為

Q21

6.某工廠有甲、乙、丙三個車間生產同一種產品，由于設箏差別，各車間的生產量分別占總產量的

60%、25%,15%；各車間生產的產品優質品率分別為70%、80%、90%.現從總產品中隨機挑選一件,

習題1:綜合提高題解答

1.設一系統由兩個元件并聯而成，如下圖所示

已知各個元件獨立地工作，且每個元件能正常工作的概率均為

求系統能正常工作的概率.

解：記4,4分別表示元件正常工作，于是所求概率為

p(AJA)=I-P(AUA)=I-P(AX)

2.某燈泡廠有甲、乙兩條流水線，它們所出產的燈泡中，壽命大于2500小時的分別占80%和90%,

從它們生產的燈泡中各自隨機地抽取一個，求下列事件的概率：(1)兩個燈泡壽命均大于2500小

時；(2)兩燈泡中至少有一個壽命大于2500小時；(3)兩個燈泡中至多有一個壽命大于2500小

時.

解：用A,8分別表示從甲、乙兩個流水線上的產品中抽取的燈泡壽命大于2500小時，則它們相互獨

立.

(1)P(AB)=P(A)P(B)=0.8x0.9=0.72；

(2)P(A^B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.8+0.9-0.72=0.98；

(3)P(A□B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.2+0.1-0.2x0.1=0.28.

3.設兩個隨機事件A和B相互獨立，且P(麗q(M)=P(麗，試求P(A).

解：因為A和8相互獨立，則由P(AB)=P(AB)得P⑷P,)=P(可P(B),即

P(A)-P(AB)=P(B)-P(AB),從而P(A)=P(B).又P(AB)=P(B)P(A)=-,從而P(A)=-,故

-2

P(A)=\-P(A)=-.

習題2：基礎達標題解答

一、填空題

0,x<-1,

2

百—1Wx<0,

1.設隨機變量x的分布函數為尸（犬）=則P(X?=1)

3

一,0<x<1,

5

Q39R

解：—.因為P(x2=l)=P(X=l)+P(X=-l)=l-2+——0=—.

1551515

C—x.0<x<1,

2.設隨機變量X的密度函數為/(x)=八廿心則常數C=___________

0,其他，

4+001Q

解：因為「”/（外山:二］9一外也二。一一=b因此。二士.

2。4^2

2丫0<x<I

3.設隨機變量x的概率密度為/0）=八‘甘心’以y表示對x的三次獨立重復觀察中事件

o,其他.

x<-"出現的次數，則p（y=i）=

解:因為p/x《）=宸血$p（y=i）=c>（i-p）-g.

4.設X服從［-1,1］上的均勻分布，則概率P（X2-』X-，￡0）=

48

解：因為p（x?—!x—'wo）=P

84842乜28

5.設X?N（4，/）,尸（幻為其分布函數，則對任意實數a,#F{/j+a）+F（p-a）=

解：1.因為尸（〃+。）+尸（4一〃）=①（"佇乂）+①（匕士以）=飄0）+①（一0）=1.

x,0<x<1,

I33

6.設連續隨機變量X的概率密度為了（幻=戶乂1<%<2,則PQWX<二）=

0,其他.

3d,()</<1

7.設隨機變量X的概率密度為/"）=.如果P(X>a)=P(X<a),則〃二

解:f.因為由題意可知尸(X>〃)=P(X<〃)j尸—止J：3W因此"日

8.若隨機變量X的概率分布列為工-2T__9__\——L,記y=x+2,Z=-X+1,W=X2,

P0.30.20.10.20.2

則隨機變量y、z和w的概率分布列分別為:

y|01237Z-40123

P0.30.20.10.20.2P0.20.20.10.20.3

VV01425

P0.10.40.30.2

丫_]01?Q

9.設隨機變量X的分布列為胃二c八，八。二,，則y=2X-l,Z=X?+1的分布列

P0.20.10.10.30.3

為;.

y-3-1135Z1251()

解.-------------------------------------------------

p0.20.10.10.30.3'p0.10.30.30.3,

10.設X服從［-1,1］上的均勻分右，則隨機變量y=ex的概率密度為,Z=-ln(l-X)的

概率密度為_______________

1!”4e,e-L

-Z-，——?-In2<z<+8.

解：fAy)='2ye7z(z)=?2

.0,其它.0,其它.

1

?、附(刊，a<y<p_-<y<e,

因為％(y)=l”,4叫ye

0其它一斤

o,其它.

e

fx也(y)]|%(y)|，a<y<p,-In2<z<+8,

T,

似z)-yz(z)=?=-

?°，其它

o,其它.

二.選擇題

1.下列函數中能夠作為分布函數的是().

0,x<0,

0,x<(),

1

(A)F(x)=0<x<2,(B)F(x)=2+x八

2，；

------r2x20

Lx>2;\+x

0,x<0,

0,x<0,

Y+2

(C)FU)=^--,0<x<l,(D)F(x)=?2+cosx,()<x<

4

1,X>7T.

1,x>l;

解：選C.因為A：R(x)在x=2處左連續，但不右連續；B：/(內)=001；D：F(0)=3.

2.設隨機變量X~N(1O1,1O2),而且c滿足P(X>C)=P(XWC),則。等于().

(A)0(B)101(C)111(D)91

解：選B.因為由題意可知,=P(Xw。尸①,因此￡22=0,因此C=101.

21010

3.設隨機變量X的概率密度為/(x)=—J,-8<x<+oo,則2的值為().

1+JC

(A)-J=(B)-(C)-(D)-

yJTT萬22

解：選B.因為由題意可知1=f—JdA=(Zarctanx)匿=A/，因此〃=L

J^014-X71

4.下列命題正確的是().

(A)離散隨機變量的分布函數是連續函數

(B)連續隨機變量的密度函數滿足0<f(x)<1

(C)連續隨機變量的分布函數是連續函數

(D)兩個概率密度函數的乘積還是密度函數

解：選C因為離散隨機變量的分布函數是右連續函數，連續隨機變量的密度函數/(女)滿足/(1)>0,

兩個概率密度函數的乘積不一定是密度函數.

5.設標準正態隨機變量X的分布函數為①"),則對于任意實數a,有中(-/二().

(A)①⑷(B),一①⑷(C)2①⑷-1(D)1-中⑷

2

解：選D.因為中(一x)+①(x)=l,所以①(一〃)=1一①(a).

6.設耳⑴和5(x)都是隨機變量的分布函數，下面哪組值能夠使得%用=西。)-此⑴一定是某隨

機變量的分布函數().

32221313

(A)a=-,b=--(B)=-^b=~-(C)a=——,b=——(D)a=-,b=——

55a332222

22

解：選A.因為B條件下尸(x)=§4(x)+§6(x),F(+oo)=

C條件下F(x)=-^1(x)+3^(x)無法判斷其單調性;

D條件下F(x)=；6(x)+%(x),F(+oo)=2工1.

三.解答題

1.設隨機變量X的概率密度為

"叼。x，e',x>其0他,

求X的分布函數F(x)和概率P(-l<X<1).

解：(1)由/(%)=「/(r)dr得

J-oc

....0,x<0,

當x<()H寸，F(x)=0；當xNO時，F(x)=(xe'dr=l-(x+l)e因此T7。)=?

Jo[l-(x+l)e-\x>0.

、2

(2)P(-1<X<1)=F(1)-F(O)=1一一.

e

2.設隨機變量X的概率密度為

—sinx,0<x</r,

/?=2

0,其他

對x獨立地重復觀察3次，用y表示觀察值大于工的次數，試求y的分布律.

2

解：由題意可知y?3(幾〃)，其中〃=3,p=P(X>—)=[J-sin.vdv=-.

2J,22

I3

因止匕P(Y=0)=《〃。(1一")3=_,P(Y=1)=C>'(1一”)2二一，

88

3I

P(Y=2)=C；/r(l-p)'=-,P(y=3)=C浮(1-p)°=-.

oo

因此，y的分布律

yo123

p1331

8-8-8-8-

3.一個袋中有6只球，編號1,2,3,4,5,6,在具中同時取3只，以X表示取出的3只球中的最

大號碼，求X的分布律.

解：由題意可知

I]C23C13C21

P(X=3)=—=—,p(x=4)=T=3，P(X=5)===2,P(X=6)=T=一.

20Cl20d10Cl2

因此，X的分布律

X3456

J_2_2_1

2020IO2

4.設8件產品中有5件正品、3個次品，現隨機地從中抽取產品，每次抽I件，直到抽到正品為止,

求（1）有放回抽取時，抽取次數X的分布律；（2）無放回抽取時，抽取次數丫的分布律.

解：（1）由題意可知

P(X=k)=q)J(R=l,2,3,.....

（2）由題意可知

3x2x53x2x1x5_1

尸(y=l)S,p(y=2)=—=—,P(K=3)=—,P(r=4)=

88x7568x7x6568x7x6x556

因此，丫的分布律

Y1234

525J_

P

8565656

5.設隨機變量丫服從也可上的均勻分布‘且關于未知量、的方程，-枚+5丫+3=°沒有實根的概率

為”求“的值?

解：方程f一心+[y+2=o沒有實根等價于△二片一丫一2<0,因此可得尸(片一丫—2<0)='.

422

而P(Y2-r-2<0)=P(-l<y<2)=J：fy(y)dy,

當1時，ffy(y)dy—I,—5—dy=—-—=—,因此a=—2：

4-6/2

當T<4時，j>y)dy=f七dy=1^=；因止匕4=0；

當〃>2時，尸（丫2一丫一2<0）=0與已知矛盾.

綜上口、知，〃=—2或〃=（）.

6.設隨機變量X的概率密度為

-1<r<0,

x,0<x<h

0,其他.

求y=x2的分布函數.

解：因為隨機變量x在區間（-1』）內取值，所以隨機變量y=x?將在區間（0」）內取值.當），zo時,

求y=x2的分布函數6（），）：

2

FY(y)=P{Y<y}=P{X<y}=P[-^<X<^}=^fx(x)dx.

當OKy41時,4()，)=[1九(工)八=J])(l+x)dx+J，xdx=6；

當y>l時，耳()，)=1.

0,y<0,

所以隨機變量y的分布函數為6(.y)=",0<><1,

1,y>\.

7.設X服從區間(0,4)上的均勻分布，試求隨機變量y=X2-2X的密度函數.

解：因為隨機變量X在區間(0,4)內取值，所以隨機變量y=x2-2X將在區間(-1,8)內取值.對于

-l<y<8時，先求y=X2-2X的分布函數弓(y).

2

FY(y)=P[Y<y]=P{X-2X<y}=P{l-4y^<X<\+y^}=^fx(x)ax

當-l<y<。時，Wy)=.dx=爭進而加y)=*(y)=J7r

當。"<8時，Fr(y)=f^dx=l^±l,進而人()，)=『,)=..

-1<y<0,

4V7+T

i

所以隨機變量y的概率密度為f(y)=0<y<8,

Y3+1

0,其他.

習題2：綜合提高題解答

1.設隨機變量x的分布函數為

0,x<—1,

F(x)=((2x+6)/15,-1<A<1,

1,x>\.

求P(>2=1).

2

解：p(x=i)=p(x=i)+p(x=-i)=F(l)-F(r)+F(-l)-F((-l)-)

,84八11

=1-----+------0=—.

151515

2.設隨機變量X的密度函數為

C+x,-1<x<0,

/(x)=*C-x,0<x<1,

0,其他.

求：(1)常數C；(2)隨機變量X的分布函數尸3)；(3)P(-1<X<1).

22

解：(1)由1=］：工(幻口=，：。+工)心+［(。一］)心=20-1有(7=1.

(2)尸(x)=P{X/(x)dx,

J-00

當x<—l時，F(x)=0；

、2

當一l〈xv()時，F")=「(l+x)&=(l+x)；

J-2

當OK無<1時，F(x)=j°(14-x)dx+jV(l-x)dx=--x2+x4--；

當xNl時，F(x)=1.

0,x<—l,

所以隨機變量X的分布函數為F(x)=2

22'

1,x>\.

1、713

(3)P(——<X<-)=

222884

3.設f(x)=CerXx為某一隨機變量的概率密度，求參數C的值.

解：由概率密度正則性有J：/(x)dx=l,而

「"/(%)心=/Ce-f'dx=「。?”一.=Ce4e-(t-2)；dx

JF八，J-00J-x.J-oo

"2)2

=Ce4y/27rx-^=x[-----!——e巧dr=Cy/Tre4,

>/2

因此c=

1

X>-

o,2

4.已知X?U(T,1),Y=<1

X<-

2

解：p（y=0）=P（X>-）=P（-<X<l）=C-clr=-,

22^24

p（y=l）=p（X<l）=p（-l<X<1）=pldr=2.

22J-24

Y01

因此，y的分布律為i3一.

p--

44

5.設隨機變量x的分布函數用⑴為嚴格單調增加的連續函數，y服從[0,“上的均勻分布，證明隨

機變量Z=F-\Y）的分布函數與X的分布函數相同.

證：因為z=F;（y）的分布函數為

xi：）

Fz（z）=P{Z<z}=P{F-\Y）<z}=P{Y<Fx（z）}=[dx=Fx（z）f

因此，隨機變量工=FX\Y）的分布函數與X的分布函數相同.

習題3：基礎達標題解答

一.填空題

1.在一個箱子中裝有12只開關，其中2只是次品，從中有放回取兩次，每次任取一只開關，定義隨

機變量

Y[0,若第一次取出的是正品v[0,若第二次取出的是正品

A=S、丫=<

[L若笫一次取出的是次品[1,若第二次取出的是次品

試寫出二維隨機變量（x,y）的聯合概率分布列與x的邊緣分布列

Y

（x,y）

123

\_J_1

1

6918

X

2.若二維隨機變量（x,y）的聯合概率分布列為￡

2aP

3

且X與y相互獨立，則a=；p=

解：a=-iP=—?因為由獨立性知！='d+a）,即a=2；再由規范性知1=,+L+'+,+a+〃，

99939969183

即a+0=g,則夕

3.設相互獨立的隨機變量X與V都服從（0,2）上的均勻分布，則它們的聯合密度函數

/(X,y)=；P(\X-Y\<\)=

解：八乂）,）={^'3.因為X與丫都服從（0,2）上的均勻分布，則X與y的概率

0,其他4

密度函數分別為

1八c，心）二”。《

一,0<x<2,

/“)=2'

o,其他o,其他

再由x與y相互獨立,所以他們的聯合概率密度函數為

0<x<2,0<y<2,

f(x,y)=-4

0,其他

因此P(|X—丫歸1)=Jjf(x,y)dxdy="；dxd)，=1.

k-小?k-胭44

0<.v<2

0<y<2

le~2x,x>()

4.設隨機變量X與y相互獨立，它們的概率密度函數分別為/x（x）=

0,x<0

v>0

fY(y)=\')，則概率P[X<2,y>i)=______________

0,y<0

解：(l—eY)"3a0.0489.因為X與丫相互獨立，則P(X<2,K>1)=P(X<2)P(K>1)

2s3y43

=jjfx(x)dx^fY(y)dy=￡2e~dx^3e-dy=(\-e-)e-=0.0489.

二.選擇題

1.設X的分布函數為8(上)，則隨機變量函數Y=3X+1的分布函數為.

v-1I1

(A)&(=);(B)&(3y+1)；(C)3&(y)+l；(D)§外()')一§

解：選A.因為小)，)=P{y?)，}=p{3x+iw)，}二p{xw^^}=G(T).

3'3

2.設隨機變量X?U(0,6),則y=X-3的概率密度函數為.

1

-3-<y-<

(A)/y(y)=.￡-3<y<3

（B）人（），）=<6

u,其他0其他

（D）力（），）=E0<y<6

（C）/.（,）=?

u.其他

0,其他

解：選B.因為4(y)=P{Y?y}=P{X_3?y}=P{X?y+3}=&(y+3),X?U(0,6),所以Y=X-3

的概率密度函數為

\_

人()，)=邛(》)=*()，+3)=/x(y+3)=，6'-3<><3

o,其他

三.解答題

1.設隨機變量X在正整數123,4中等可能取值，另一隨機變量y在1?X中等可能地取一整數值，試

求（X,y）的聯合分布律.

解：x的可能取值為123,4,而y?x,則y的可能取值也是123,4.由于｛y>x｝是不可能事件,

所以當iv/時,

p{x=z,r=j}=o；

當后j時，由概率乘法公式得

P{X=z,y=j)=p{x=z}.p{y=j|x=z)；

(Z-1,2,3,4,J</).

4i

于是，(x,y)的聯合分布律為

Y

（x,y）

1234

i-000

4

2II00

88

X

111c

3———0

121212

J_J_J_J_

4161616T?

2.設二維隨機變量（X,y）的密度函數為

k(6-x-y)y0<x<2,2<y<4,

/(-%y)=?

0,其他.

求：(1)確定常數%;(2)求P(Xvl,y<3)；(3)求P(X+y<4).

解：(1)由1=JJ/(x,y)d_rdy=k(6-x-y)dy=%J；(6-2x)dx=8攵，得攵=:.

(2)記〃={(x,y)ix<i,y<3},則

=jjf。,y)drdy=北dxj；(6—x-y)dy=1.

p(x<i,r<3)

(3)記2={(x,y)ix+y<4},則

尸(X+y<4)="f(x,j)drdv=1J；cbj：'(6—x—y)dy=1-4x+6)dx=|.

*^2

3.設二維隨機變量（x.y）的密度函數為

0<x<2,0<y<1,

f(x,y)=?2

o,其他

求隨機變量x與y中至少有一個小于os的概率.

解：由題意，所求事件為｛X<0.5｝與｛y<0.5｝的和事件，其概率為

P({X<0.5}u{y<0.5})=l-P(X>0.5,r>0.5)

=l-f—dy=-.

J0.5J().528

1冶

4.設隨機變量乂與丫相互獨立，x~u(o,2),y的概率密度/(),)=(，'2,y>0寫出二維隨機

0,y<0

變量（X,y）的聯合概率密度/（x,y）,并求概率p（xwy）.

解：由/,（?=5'0<x<2,A（J）=2e2,及x與y相互