第7章離散信號(hào)與系統(tǒng)的Z域分析

7.1用定義求下列信號(hào)的雙邊Z變換及收斂域。

7.3已知f(k)的雙邊Z變換為F(z)，F(xiàn)(z)的收斂域?yàn)棣?lt;|z|<β，求下列信號(hào)的雙邊Z變換。

解應(yīng)用Z變換性質(zhì)求序列的Z變換。

(1)因?yàn)?/p>

所以

解

(1)因?yàn)?/p>

7.5已知雙邊Z變換為

(1)|z|>4，求原函數(shù)f(k)；

(2)|z|<2，求原函數(shù)f(k)；

(3)3<|z|<4，求原函數(shù)f(k)。

(3)當(dāng)3<|z|<4時(shí)，f(k)是雙邊序列。根據(jù)收斂域情況，可將F(z)展開式中第一、二項(xiàng)對(duì)應(yīng)為因果序列，而將第三項(xiàng)對(duì)應(yīng)為反因果序列，即有

(3)因?yàn)?/p>

所以

解本題練習(xí)K域卷積和性質(zhì)及其應(yīng)用。

(1)因?yàn)?/p>

所以

(2)因?yàn)?/p>

所以

解常用單邊Z逆變換方法包括：變換對(duì)公式法、Z變換性質(zhì)法和部分分式展開法。F(z)的單邊Z逆變換，其原函數(shù)都是因果序列。

(5)因?yàn)?/p>

所以

7.10已知因果序列f(k)滿足的方程如下，求f(k)。

(2)已知K域方程為由終值定理，得兩邊同乘z,

得

所以，系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)為

①

或者

②

容易驗(yàn)證式①、②表示同一序列。也可以將Yzs(z)表示為

再取Z逆變換，得

②

自然，式①、②為同一序列。

(3)對(duì)差分方程

取單邊Z變換，得將f(k)的Z變換

代入式①,整理得

③最后，對(duì)式②、③取Z逆變換，求得系統(tǒng)單位響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)為對(duì)上面的方程取單邊Z變換，有

7.20已知因果離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)如下，求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，粗略畫出系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)曲線。其幅頻和相頻響應(yīng)為其幅頻、相頻響應(yīng)分別為

7.21求題圖7.1所示離散系統(tǒng)的單位響應(yīng)h(k)和單位階躍序列響應(yīng)g(k)。圖中，各子系統(tǒng)的單位響應(yīng)分別為h1(k)=δ(k-1)，h2(k)=ε(k)，h3(k)=ε(k－3)。題圖7.1

解本題練習(xí)子系統(tǒng)互聯(lián)及復(fù)合系統(tǒng)單位響應(yīng)與單位階躍響應(yīng)的計(jì)算。由于

7.22題圖7.2所示離散因果系統(tǒng)，H1(z)=z－1，

(1)求離散系統(tǒng)的差分方程；

(2)求單位響應(yīng)h(k)。題圖7.2題解圖7.22

7.23題圖7.3所示系統(tǒng)，D為單位延遲器，當(dāng)輸入為

時(shí)，零狀態(tài)響應(yīng)yzs(k)中yzs(0)=1，yzs(1)=yzs(3)=0,確定系數(shù)a

、b、c。

解本題要求掌握離散系統(tǒng)K域、Z域的框圖表示，離散系統(tǒng)H(z)、Yzs(z)的計(jì)算。

畫出零狀態(tài)下系統(tǒng)的Z域框圖如題解圖7.23所示。題解圖7.23計(jì)算：

7.24求題圖7.4所示離散系統(tǒng)在下列輸入作用下的零狀態(tài)響應(yīng)。

(1)f(k)=ε(k)；

(2)f(k)=kε(k)；題圖7.4題解圖7.24

7.25已知一階、二階因果離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分別如下，求離散系統(tǒng)的差分方程。

7.26已知離散系統(tǒng)如題圖7.5所示。

(1)畫出系統(tǒng)的信號(hào)流圖；

(2)用梅森公式求系統(tǒng)函數(shù)H(z)；

(3)寫出系統(tǒng)的差分方程。題圖7.5

解本題應(yīng)用梅森公式計(jì)算系統(tǒng)函數(shù)H(z),進(jìn)而寫出傳輸算子H(E)和系統(tǒng)差分方程。

由題圖7.5(a)、(b)、(c)方框圖，畫出Z域信號(hào)流圖如題解圖7.26(a)、(b)、(c)所示。題解圖7.26

(2)在題解圖7.26(b)中，含有一對(duì)互不接觸的環(huán)和三條開路，根據(jù)梅森公式寫出系統(tǒng)函數(shù):

7.27畫出題7.25中各系統(tǒng)的直接形式信號(hào)流圖和模擬

框圖。

解將系統(tǒng)函數(shù)改寫如下：

結(jié)合梅森公式，分別畫出用直接形式Ⅰ、Ⅱ模擬離散系統(tǒng)的信號(hào)流圖，如題解圖7.27(a)、(b)、(c)與(d)、(e)、(f)所示。

直接形式模擬框圖(略)。題解圖7.27

7.28已知因果離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)如下,分別用串聯(lián)形式和并聯(lián)形式信號(hào)流圖模擬系統(tǒng)。題解圖7.28-1題解圖7.28-2題解圖7.28-3題解圖

7.28-4

7.29已知因果離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的零、極點(diǎn)分布如題圖7.6所示，并且H(0)=－2。

(1)求系統(tǒng)函數(shù)H(z)；

(2)求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)；題圖7.6

(2)H(z)有一個(gè)零點(diǎn):z=－2；一個(gè)極點(diǎn):z=－0.5。其零極點(diǎn)分布圖如題解圖7.30所示。題解圖7.30

(3)因單位圓位于H(z)收斂域內(nèi)，故系統(tǒng)頻率響應(yīng)可表

示為由于題圖7.7題解圖7.31

(2)由H(z)寫出系統(tǒng)傳輸算子:

對(duì)應(yīng)算子方程和差分方程為

(3)由H(z)寫出系統(tǒng)頻率響應(yīng):

解對(duì)于因果離散系統(tǒng)，若H(z)的全部極點(diǎn)均位于單位圓內(nèi)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。對(duì)于高階因果系統(tǒng)，一般應(yīng)用朱里準(zhǔn)則判定H(z)所有極點(diǎn)是否均位于單位圓內(nèi)，該準(zhǔn)則要求H(z)的分母多項(xiàng)式A(z)均滿足:

①A(1)>0;

②(－1)nA(－1)>0;

③朱里排列中奇數(shù)行首元素>該行末元素的絕對(duì)值。

此時(shí),系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。

(2)對(duì)H(z)的分母多項(xiàng)式,有

由于

A(1)=13>0

但是

(－1)5A(