學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精課堂導學三點剖析一、圖象問題余弦函數的圖象可以由正弦函數的圖象平移得到,也可以仿照正弦函數圖象的作法,使用“五點法";正切函數的圖象是由單位圓中的正切線作出的，即幾何法.正切函數的圖象不連續，只在區間(kπ—，kπ+)上有圖象,正切函數圖象關于中心對稱,對稱中心是（，0）,k∈Z。【例1】用“五點法”畫下列函數的簡圖.y=—cosx，x∈［0，2π］。畫法一:按五個關鍵點列表：x02πCosx10-101-cosx—1010—1描點畫圖(如圖所示）:畫法二：先用五點法畫y=cosx的圖象，再作它關于x軸的對稱圖形。圖象如上圖。溫馨提示類似于正弦函數，也可以由y=cosx變換為y=Acos(ωx+φ），x∈R,并討論其周期性，單調性,奇偶性等.各個擊破類題演練1作出函數y=tan（）在一個周期內的圖象是(）解析：首先函數的周期為2π，可排除B，D，其次當x=時，函數無意義,又可排除C。答案:A變式提升1在區間（,）范圍內,函數y=tanx與函數y=sinx的圖象交點的個數為（)A。1B。2C解法一：在同一坐標系中,首先作出y=sinx與y=tanx在(-,）內的圖象,需明確x∈(0，)時,有sinx〈x〈tanx(利用單位圓中的正弦線,正切線就可證明），然后利用對稱性作出x∈(-，）的兩函數的圖象如圖,由圖象可知它們有三個交點.所以應選C。解法二:x∈(—，），即sinx=tanx=,sinx(1—)=0，sinx=0或cosx=1。在x∈(—,)內x=—π,0，π滿足sinx=0,x=0滿足cosx=1,所以交點個數為3.所以應選C.答案:C二、定義域與值域余弦函數y=cosx與y=sinx的定義域,值域一樣,從圖象上看是夾在兩直線y=±1之間，故是有界的,利用有界性可以解決與余弦函數有關的問題；正切函數的定義域是{x｜x≠kπ+,k∈Z｝，值域是R，圖象只有增區間,無減區間，整個定義域不具備單調性。【例2】求下列函數的定義域：（1)y=;(2）y=解：（1）將正弦函數和正切函數的圖象畫在同一坐標系內,如圖所示。由圖顯然可得函數定義域集合為{x|2kπ≤x<2kπ+，k∈Z}∪｛x|x=2kπ+π,k∈Z｝.(2)由可利用單位圓中三角函數線直觀地求得上述不等式組的解集，如圖所示，即∴定義域為{x|2kπ+＜x＜2kπ+,k∈Z}。類題演練2求函數y=tan（2x+）的定義域.思路分析:把2x+作為一個整體，轉化為求y=tanx的定義域的問題.解：令z=2x+，根據y=tanz的定義域為｛z｜z≠kπ+,k∈Z｝,得2x+≠kπ+,于是x≠+。所以y=tan（2x+）的定義域為｛x｜x≠+,k∈Z｝。變式提升2解答下列各題:（1）求函數f（x）=tanx·cosx的定義域與值域；（2）求函數f（x)=tan｜x|的定義域與值域,并作其圖象．思路分析:先化簡函數,然后確定.解:（1）其定義域是{x｜x∈R且x≠kπ+，k∈Z｝．由f（x)=·cosx=sinx∈（—1，1），∴f(x）的值域是（—1,1)．（2）f（x)=k∈Z．可知，函數的定義域為｛x|x∈R且x≠kπ+,k∈Z}，值域為(-∞,+∞），其圖象如圖所示。溫馨提示（1)為了畫出函數圖象，有時需對給出的函數式進行變形,化簡，在變形，化簡過程中一定要注意等價變形，否則作出的圖象不是給出函數的圖象。(2）由圖象可以看到f（x）=tan｜x|不是周期函數。三、周期，單調性問題根據誘導公式知y=cosx的周期T=2π,y=tanx的周期為π。求函數的單調區間和判斷函數的單調性常用的方法是：定義法和圖象法。利用單調性可以比較三角函數值的大小，也可以求函數的值域等.【例3】已知函數f（x)=asin(kx+)，g（x）=btan（kx—),k>0。若它們的周期之和為，且f()=g(），f（）=g()+1,求這兩個函數.思路分析:先求出f（x)、g（x）的周期，再用待定系數法求a，b.解:由f（x）、g(x）的周期之和為，得+=,∴k=2.∵f()=asin(2×+)=-asin=a，g（）=btan（2×-)=-btan=b，由f（)=g(),得a=b，即a=2b。①又f()=asin（2×+)=acos=a，g(）=btan(2×-)=bcot=b.由f(）=g()+1,得a=×b+1,即a=-2b+2.②由①②聯立方程組,解得a=1，b=.∴f（x)=sin(2x+),g(x）=tan(2x-).溫馨提示求三角函數的周期,通常把它轉化成y=Asin(ωx+φ)+b的形式.周期的大小僅與x的系數ω有關,用公式T=就可求出周期。類題演練3試把tan1、tan2、tan3、tan4按照從小到大的順序排列,并說明理由.解法一:∵函數y=tanx在區間[，]內是增函數且tan1=tan（π+1），又〈2<3〈4<π+1<，∴tan2<tan3<tan4<tan1.解法二：如圖所示，1,2,3，4的正切函數線分別是AT1，AT2,AT3，AT4.所以tan2<tan3〈tan4<tan1。溫馨提示（1）將自變量化到同一單調區間，再利用單調性比較大小是比較三角函數值大小的重要方法。（2)本題易產生以下兩種誤解:誤解一：∵函數y=tanx是增函數，又1<2〈3〈4，∴tan1〈tan2〈tan3〈tan4.誤解二：∵2和3終邊在第二象限，∴tan2,tan3都是負數.又∵1和4的終邊分別在第一和第三象限，∴tan1,tan4都是正數.根據y=tanx是增函數且2<3，1<4，∴tan2〈tan3<tan1〈tan4.上述兩個誤解的根源在于混淆了函數單調性的概念.兩個誤解都把y=tanx視作定義域上的單調增函數，從而導致了錯誤的結果.變式提升3給出下列命題:①函數y=sin|x|不是周期函數;②函數y=tanx在定義域內是增函數；③函數y=|cos2x+|的周期是;④y=sin（+x）是偶函數。其中正確命題的序號是_________.解析:對于②,∵0<π，而tan0=tanπ,∴y=