第2章測量誤差和測量結果處理2.1測量誤差的基本概念2.2測量誤差的來源2.3誤差的分類2.4隨機誤差分析2.5系統誤差分析2.6系統誤差的合成2.7測量數據的處理小結

2.1測量誤差的基本概念

2.1.1誤差概念

1.測量中涉及的幾個量值

1)真值A0

一個物理量在一定條件下所呈現的真實數值稱作它的

真值。

2)指定值As

因為絕對真值是不可知的，所以一般由國家設立各種盡可能維持不變的實物標準(或基準)，以法令的形式指定其所體現的量值作為計量單位的指令值。

3)實際值A

實際測量中，不可能都直接與國家基準相比對，所以國家通過一系列各級實物計量標準構成量值傳遞網，把國家基準所體現的計量單位逐級比較并傳遞到日常工作儀器或量具上。在每一級的比較中，都以上一級標準所體現的值當作準確無誤的值，通常稱為實際值，也稱作相對真值。

4)標稱值

測量器具上標定的數值稱為標稱值，如標準砝碼上標出的1kg，標準電阻上標出的1Ω，標準電池上標出的電動勢1.0186V，標準信號發生器刻度盤上標出的輸出正弦波的頻率100kHz等。

5)示值

由測量器具指示的被測量量值稱為測量器具的示值，也稱測量值，它包括數值和單位。一般來說，示值與測量儀表的讀數有區別，讀數是儀器刻度盤上直接讀到的數字。

2.測量誤差

在實際測量中，測量器具不準確，測量手段不完善，環境影響，測量操作不熟練及工作疏忽等都會導致測量結果與被測量真值不同。測量儀器儀表的測得值與被測量真值之間的差異稱為測量誤差。

3.單次測量和多次測量

單次(一次)測量是用測量儀器對待測量進行一次測量的過程。顯然，為了得知某一量的大小，必須至少進行一次測量。在測量精度要求不高的場合，可以只進行單次測量。單

次測量不能反映測量結果的精密度，一般只能給出一個量的大致概念和規律。

4.等精度測量和非等精度測量

在保持測量條件不變的情況下對同一被測量進行的多次測量過程稱作等精度測量。這里所說的測量條件包括所有對測量結果產生影響的客觀和主觀因素，如測量儀器、方法、測量環境、操作者的操作步驟和細心程度等。等精度測量的測量結果具有同樣的可靠性。2.1.2誤差的表示方法

1.絕對誤差

絕對誤差定義為

Δx=x－A0

(2.1-1)

式中，Δx為絕對誤差，x為測得值，A0為被測量真值。前面已提到，真值A0一般無法得到，所以用實際值A代替A0，因而絕對誤差更有實際意義的定義是

Δx=x－A

(2.1-2)絕對誤差具有下面幾個特點：

(1)絕對誤差是有單位的量，其單位與測得值和實際值相同。

(2)絕對誤差是有符號的量，其符號表示測得值與實際值的大小關系，若測得值較實際值大，則絕對誤差為正值，反之為負值。

(3)測得值與被測量實際值間的偏離程度和方向通過絕對誤差來體現。但僅用絕對誤差通常不能說明測量的質量。

(4)對于信號源、穩壓電源等供給量儀器，絕對誤差定義為

Δx=A－x

(2.1-3)

式中，A為實際值，x為供給量的指示值(標稱值)。如果沒有特殊說明，本書中涉及的絕對誤差按式(2.1-2)計算。

與絕對誤差絕對值相等但符號相反的值稱為修正值，一般用符號c表示

c=－Δx=A－x

(2.1-4)測量儀器的修正值可通過檢定由上一級標準給出，它可以是表格、曲線或函數表達式等。利用修正值和儀器示值可得到被測量的實際值：

A=x+c

(2.1-5)

例如，由某電流表測得的電流示值為0.83mA，查該電流表檢定證書得知該電流表在0.8mA及其附近的修正值都為－0.02mA，那么被測電流的實際值為

A=0.83+(－0.02)=0.81mA

2.相對誤差

實際中常用相對誤差來說明測量精度的高低，它可分為以下幾種。

(1)實際相對誤差定義為

(2.1-6)

(2)示值相對誤差(又稱標稱值相對誤差)定義為

(2.1-7)

(3)滿度相對誤差

定義為儀器量程內最大絕對誤差Δxm與測量儀器滿度值(量程上限值)xm的百分比值

(2.1-8)

滿度相對誤差又稱為滿度誤差和引用誤差。由式(2.1-8)可以看出，滿度誤差實際上給出了儀表各量程內絕對誤差的最大值

(2.1-9)

【例2.1-1】某電壓表s=1.5，試算出它在0~100V量程中的最大絕對誤差。

解：在0~100V量程內上限值xm=100V，由式(2.1-9)得

【例2.1-2】某1.0級電流表的滿度值xm=100μA，求測量值分別為x1=100μA，x2=80μA，x3=20μA時的絕對誤差和示值相對誤差。

解：由式(2.1-9)得絕對誤差為

前已敘述，絕對誤差是不隨測量值改變的。測得值分別為100μA、80μA、20μA時的示值相對誤差各不相同，分別為

【例2.1-3】要測量100℃的溫度，現有0.5級、測量范圍為0℃~300℃和1.0級、測量范圍為0℃~100℃的兩種溫度計，試分析各自產生的示值誤差。

解：對0.5級溫度計，可能產生的最大絕對誤差為

按照誤差整量化原則，認為該量程內絕對誤差x1=Δxm1=

±1.5℃，因此示值相對誤差為同樣可算出用1.0級溫度計可能產生的絕對誤差和示值相對誤差為

(4)在電子測量中還常用到分貝誤差。分貝誤差是用對數表示誤差的一種形式，單位為分貝(dB)。分貝誤差廣泛用于增益(衰減)量的測量中。下面以電壓增益測量為例，引出分貝誤差的表示形式。

設雙口網絡(如放大器、衰減器等)輸入、輸出電壓的測量值分別為Ui和Uo，則電壓增益Au的測量值為

(2.1-10)

用對數表示為

Gx=20lgAu(dB)

(2.1-11)設A為電壓增益實際值，其分貝值G=20lgA，由式(2.1-2)及式(2.1-11)可得

(2.1-12)

(2.1-13)由此得到

(2.1-14)

(2.1-15)顯然，式(2.1-15)中γdB與增益的相對誤差有關，可看成相對誤差的對數表現形式，稱之為分貝誤差。若令

并設γA≈γx，則式(2.1-15)可改寫成：

γdB=20lg(1+γx)(dB)

(2.1-16)

式(2.1-16)即為分貝誤差的一般定義式。

若測量的是功率增益，則因為功率與電壓呈平方關系，并考慮對數運算規則，所以這時的分貝誤差定義為

γdB=10lg(1+γx)(dB)

(2.1-17)

【例2.1-4】某電壓放大器，當輸入端電壓Ui=1.2mV時，測得輸出電壓Uo=6000mV，設Ui誤差可忽略，Uo的

測量誤差γ2=±3%。求放大器電壓放大倍數的絕對誤差ΔA、相對誤差γx及分貝誤差γdB。

解：電壓放大倍數為

電壓分貝增益為輸出電壓絕對誤差為

因忽略Ui誤差，故電壓增益的絕對誤差為電壓增益的相對誤差為

電壓增益的分貝誤差為實際電壓的分貝增益為

G=74±0.26dB

當γx值很小時，分貝增益定義式(2.1-16)和式(2.1-17)中的γdB可分別利用下面近似式得到：

γdB≈8.69γxdB(電壓、電流類增益)

(2.1-18)

γdB≈4.34γxdB(功率類增益)

(2.1-19)

如果在測量中使用的儀器是用分貝作單位的，則分貝誤差直接按Δx=x－A計算。例如，某衰減器的標稱值為20dB,經檢定為20.5dB，則其分貝誤差為

Δx=20－20.5=－0.5dB2.1.3測量儀器的容許誤差

1.工作誤差

工作誤差是指在額定工作條件下儀器誤差的極限值，即來自儀器外部的各種影響量和儀器內部的影響特性為任意可能的組合時，儀器誤差的最大極限值。

2.固有誤差

固有誤差是當儀器的各種影響量和影響特性處于基準條件時儀器所具有的誤差?；鶞蕳l件如表2.1-1所示。這些基準條件是比較嚴格的，所以這種誤差能夠更準確地反映儀器

所固有的性能，便于在相同條件下，對同類儀器進行比較和校準。

3.影響誤差

影響誤差是指當一個影響量在其額定使用范圍內取任

一值，而其他影響量和影響特性均處于基準條件時所測得

的誤差，例如溫度誤差、頻率誤差等。只有當某一影響量在工作誤差中起重要作用時才給出影響誤差，它是一種誤差的極限。

4.穩定誤差

穩定誤差是儀器的標稱值在其他影響量和影響特性保持恒定的情況下，在規定時間內產生的誤差極限。常以相對誤差形式給出或者注明最長連續工作時間。例如，DS-33型交流數字電壓表就是用上述四種誤差標注的。工作誤差：50Hz~1MHz，1mV~1V量程為±1.5%±滿量程的0.5%。固有誤差：1kHz，1V時為讀數的0.4%±1個字。溫度影響誤差：1kHz，1V時的溫度系數為10-4/C。頻率影響誤差：50Hz~1MHz為±0.5%±滿量程的0.1%。穩定誤差：在溫度為-10℃~+40℃，相對濕度為80%以下，大氣壓為650~800mmHg的環境內，連續工作7小時。如同DS-33型交流數字電壓表一樣，許多測量儀器(尤其是較為精密的儀器和數字式儀器)的容許誤差常用誤差的絕對數值和相對數值相結合來表示。例如國產SX1842型四位半顯示直流數字電壓表，在2V擋的容許誤差(工作誤差)為±0.025%±1個字，其含義是該電壓表在2V擋的最大絕對誤差為

(2.1-20)式中，第一項±0.025%是以相對形式給出的誤差；第二項是以絕對形式給出的誤差。±1指的是顯示數字的最低位1個字所表示的數值，因此該項也稱為±1個字誤差。SX1842是

即四位半顯示，其含義是數字顯示共五位，最高位只

能是0或者1，后四位每一位取值均可為0~9，因此最大顯示為19999，現為2V擋，所以最低位為1時所代表的數值是

如果用該表測量某電壓時的測量值是1.5000V，則僅由儀器誤差造成的測量相對誤差為

【例2.1-5】用位數字電壓表2V擋和200V擋測量1V電壓，該電壓表各擋容許誤差均為±0.03%±1個字，試分析用上述兩擋分別測量時的相對誤差。

解：(1)用2V擋測量，仿照式(2.1-20)，絕對誤差為為了便于觀察，式中前一項是容許誤差的相對值部分，后一項是絕對值部分，即±1個字誤差，此時后者影響較小，測量數值(顯示值)為0.9996~1.0004V時，有效顯示數字

是四位到五位。相對誤差為

(2)用200V擋測量，絕對誤差為可見，此時±1個字誤差占了誤差的絕大部分(為了便于觀察，100×10－4未按科學計數法的規定寫成1.0×10－2)，由于此時最末位1個字誤差或最末位為1時代表的數值是10mV或0.01V，因此此時電壓表顯示為0.99~1.01V，顯示有效數字為二到三位。相對誤差為

2.2測量誤差的來源

2.2.1儀器誤差

儀器誤差又稱設備誤差，是由于設計、制造、裝配、檢定等的不完善以及儀器使用過程中元器件老化，機械部件磨損，疲勞等而使測量儀器設備帶有的誤差。2.2.2使用誤差

使用誤差又稱操作誤差，是由于對測量設備操作不當而造成的誤差。2.2.3人身誤差

人身誤差主要指由于測量者感官的分辨能力、視覺疲勞、固有習慣等對測量實驗中的現象與結果判斷不準確而造成的誤差。比如指針式儀表刻度的讀取，諧振法測量L、C、Q時諧振點的判斷等，都很容易產生誤差。2.2.4影響誤差

影響誤差是指各種環境因素與要求條件不一致而造成的誤差。對電子測量而言，最主要的影響因素是環境溫度、電源電壓和電磁干擾等。當環境條件符合要求時，影響誤差通?？刹挥杩紤]。但在精密測量及計量中，需根據測量現場的溫度、濕度、電源電壓等影響數值求出各項影響誤差，以便根據需要做進一步的數據處理，來提高測量結果的準確度。2.2.5方法誤差

顧名思義，方法誤差是指所使用的測量方法不當，或測量所依據的理論不嚴密，或對測量計算公式不適當簡化等原因造成的誤差。方法誤差也稱作理論誤差。例如當用平均值檢波器測量交流電壓時，平均值檢波器的輸出正比于被測正弦電壓的平均值，而交流電壓表通常以有效值U定度，兩者間理論上應有下述關系：

(2.2-1)式中，稱為定度系數。由于π和均為無

理數，因此當用有效值定度時，取近似公式：

(2.2-2)

顯然，兩者相比就產生了誤差，這種由于計算公式的簡化或近似造成的誤差就是一種理論誤差。

【例2.2-1】1.4節及圖1.4-2曾提及測量儀表的負載效應，現重畫于圖2.2-1中。圖中虛框代表一臺內電阻

RV=10MΩ，儀器工作誤差(也稱不確定度)為“±0.005%讀數±2個字”的數字電壓表，讀數Uo=10.0225V。試分析儀器誤差和方法誤差。圖2.2-1方法誤差示例

解：由圖2.2-1可以計算出：

(2.2-3)

(2.2-4)即比值Rs/RV愈大，示值相對誤差也愈大，這是一種方法誤差。將RV=10MΩ，Rs=10kΩ代入式(2.2-4)，得方法誤差：電壓表本身的儀器誤差:

可見，這里的方法誤差較儀器誤差大得多。

不過，由式(2.2-3)可以看出，測量值Uo與實際值Us間有確定的函數關系，只要知道Rs、RV和Uo，那么這里的方法誤差就可以得到修正。實際上由式(2.2-3)可以解得：

(2.2-5)利用式(2.2-5)修正公式和有關數據得到：

如果我們不用上面的偏差法原理測量Uo，而改用第1章中提到的零位法或微差法測量，則將基本避免方法誤差

(見2.5節)。當然，偏差法測量在測量操作實施上要比后兩

種方法方便得多。

2.3誤差的分類

2.3.1系統誤差

在多次等精度測量同一量值時，誤差的絕對值和符號保持不變，或當條件改變時誤差按某種規律變化，這種誤差稱為系統誤差，簡稱系差。圖2.3-1系統誤差的特征例如，標準電池的電動勢隨環境溫度變化而變化，因

而實際值和標稱值間產生一定的誤差ΔE，它遵循下面的

規律：2.3.2隨機誤差

隨機誤差又稱偶然誤差，是指對同一量值進行多次等精度測量時，其絕對值和符號均以不可預測的方式無規則變化的誤差。圖2.3-2電阻測量值的隨機誤差2.3.3粗大誤差

在一定的測量條件下，測量值明顯地偏離實際值所形成的誤差稱為粗大誤差，也稱為疏失誤差，簡稱粗差。*2.4隨機誤差分析

2.4.1測量值的數學期望和標準差

1.數學期望

設對被測量x進行n次等精度測量，得到n個測量值：

x1，x2，x3，…，xn

由于隨機誤差的存在，這些測量值也是隨機變量。

n個測量值(隨機變量)的算術平均值為

(2.4-1)當測量次數n→∞時，樣本平均值的極限定義為測量值的數學期望：

(2.4-2)

式中，Ex也稱作總體平均值。假設上面的測量值中不含系統誤差和粗大誤差，則第i次測量得到的測量值xi與真值A(前已敘述，由于真值A0一般無法得知，因此通常以實際值A代替)間的絕對誤差就等于隨機誤差，即

(2.4-3)

式中，Δxi、δi分別表示絕對誤差和隨機誤差。隨機誤差的算術平均值為當n→∞時，上式中第一項即為測得值的數學期望Ex，所以

(2.4-4)

由于隨機誤差具有抵償性，因此當測量次數n趨于無限大時，趨于零，即

(2.4-5)

即隨機誤差的數學期望等于零。由式(2.4-4)和式(2.4-5)可得

Ex=A

(2.4-6)

即測量值的數學期望等于被測量真值A。實際上不可能做到無限多次測量，對于有限次測量，當測量次數足夠多時近似認為

(2.4-7)

(2.4-8)

由上述分析得出結論，在實際測量工作中，當基本消除系統誤差且剔除粗大誤差后,雖然仍有隨機誤差存在,但多次測得值的算術平均值很接近被測量真值，因此就將它作為最后的測量結果,并稱之為被測量的最佳估值或最可信賴值。

2.剩余誤差

當進行有限次測量時，各次測得值與算術平均值之差稱為剩余誤差或殘差，其定義為

(2.4-9)

對式(2.4-9)兩邊分別求和，有

(2.4-10)

3.方差與標準差

隨機誤差反映了實際測量的精密度，即測量值的分散程度。由于隨機誤差具有抵償性，因此不能用它的算術平均值來估計測量的精密度，而應使用方差進行描述。方差定義為當n→∞時測量值與期望值之差的平方的統計平均值，即

(2.4-11)因為隨機誤差δi=xi－Ex，所以

(2.4-12)

式中，σ2稱為測量值的樣本方差，簡稱方差。由于實際測量中δi都帶有單位(mV、μA等)，因而方差σ2是相應單位的平方，使用不方便。為了與隨機誤差δi單位一致，將式(2.4-12)兩邊開方，取正平方根，得

(2.4-13)

有時還會用到平均誤差，其定義為

(2.4-14)2.4.2隨機誤差的正態分布

1.正態分布

在大多數情況下，測量值在其期望值上出現的概率最大，隨著對期望值偏離的增大，出現的概率急劇減小。表

現在隨機誤差等于零的隨機誤差出現的概率最大，隨著隨

機誤差絕對值的加大，出現的概率急劇減小。測量值和隨

機誤差的這種統計分布規律稱為正態分布，如圖2.4-1和圖2.4-2所示。圖2.4-1xi的正態分布曲線圖2.4-2δi的正態分布曲線設測量值xi在x~x+dx范圍內出現的概率為P，它正比于dx，并與x值有關，即

(2.4-15)

式中，定義為測量值xi的分布密度函數或概率分布函數，顯然有

(2.4-16)對于正態分布的xi，其概率密度函數為

(2.4-17)

同樣，對于正態分布的隨機誤差δi，有

(2.4-18)

2.均勻分布

在測量實踐中，還有其他形式的概率密度分布形式，其中，均勻分布是僅次于正態分布的一種重要分布，如圖2.4-3所示。均勻分布的特點是：在誤差范圍內，誤差出現的概率各處相同。在電子測量中常見的有下列幾種情況。

(1)儀表度盤刻度誤差。

(2)數字顯示儀表的最低位“±1個字”的誤差。

(3)由于舍入引起的誤差。圖2.4-3均勻分布的概率密度在圖2.4-3所示的均勻分布中，因一定滿足

所以概率密度為

(2.4-19)可以證明，式(2.4-19)所示的均勻分布的數學期望為

(2.4-20)

方差為

(2.4-21)

標準差為

(2.4-22)

3.極限誤差Δ

對于正態分布的隨機誤差，根據式(2.4-18)可以算出隨機誤差落在［－σ，+σ］區間的概率為

(2.4-23)同樣可以求得隨機誤差落在±2σ或±3σ范圍內的概率分別為

(2.4-24)

(2.4-25)即當測得值xi的置信區間為［Ex－2σ，Ex+2σ］和［Ex－3σ，Ex+3σ］時置信概率分別為0.954和0.997。由式(2.4-25)可見，隨機誤差絕對值大于3σ的概率(可能性)僅為0.003或0.3%，實際上出現的可能性極小，因此定義

Δ=3σ

(2.4-26)

4.貝塞爾公式

在上面的分析中，隨機誤差δi=xi－Ex=xi－A，其中xi

為第i次測量值，A為真值，Ex為xi的數學期望，且

在這種前提下，我們用測量值數列的標準差σ來表征測量值的分散程度，并有

實際上不可能做到n→∞的無限次測量。當n為有限值時，我們用殘差

來近似或代替真正的隨機誤差δi，用表示有限次測量時標準誤差的最佳估計值，可以證明：

(2.4-27)標準差的最佳估計值還可以用式(2.4-28)求出：

(2.4-28)

這是貝塞爾公式的另一種表達形式。有時簡稱為標準差估計值。

仍以表2.3-1為例，可以算出：

5.算術平均值的標準差

如果在相同條件下將同一被測量分成m組，每組重復n次測量，則每組測得值都有一個平均值。由于隨機誤差的存在，這些算術平均值也不相同，而是圍繞真值有一定的分

散性，即算術平均值與真值間也存在著隨機誤差。我們用

來表示算術平均值的標準差，由概率論中方差運算法則可以求出：

(2.4-29)同樣定義為算術平均值的極限誤差，與真值

間的誤差超過這一范圍的概率極小，因此，測量結果可以表示為

(2.4-30)在有限次測量中，以表示算術平均值標準差的最佳估值，有

(2.4-31)因為實際測量中n只能是有限值，所以有時就將和

稱作測量值的標準差和測量平均值的標準差，從而將式

(2.4-27)和式(2.4-31)直接寫成

(2.4-32)

(2.4-33)2.4.3有限次測量下測量結果的表達

由于實際上只可能做到有限次等精度測量，因而我們分別用式(2.4-32)和式(2.4-33)來計算測量值的標準差和算術平均值的標準差，如前所述，實際上是兩種標準差的最佳估值。由式(2.4-33)可以看到，算術平均值的標準差隨測量次數n的增大而減小，但減小速度要比n的增長慢得多，即僅靠單純增加測量次數來減小標準差收效不大，因而實際測量中n的取值并不很大，一般在10~20之間。

【例2.4-1】用電壓表對某一電壓測量10次，設已消

除系統誤差及粗大誤差，測得數據及有關計算值如表2.4-1

所示，試給出最終測量結果表達式。

解：計算得到∑vi=0，表示的計算正確。進一步計算得到：

因此該電壓的最終測量結果為

x=75.045±0.029V

2.5系統誤差分析

2.5.1系統誤差的特性

剔除粗差后，測量誤差等于隨機誤差δi和系統誤差εi的代數和，即

(2.5-1)

假設進行n次等精度測量，并設系差為恒值系差或其變化非常緩慢，即εi=ε，則Δxi的算術平均值為

(2.5-2)

當n足夠大時，由于隨機誤差的抵償性，δi的算術平均值趨于零，于是由式(2.5-2)得到

(2.5-3)2.5.2系統誤差的判斷

1.理論分析法

凡屬由于測量方法或測量原理引入的系差，不難通過對測量方法的定性和定量分析發現系差，甚至計算出系差的大小。2.2節例2.2-1中用內阻不高的電壓表測量高內阻電源電壓就是一例。

2.校準和比對法

當懷疑測量結果可能會有系差時，可用準確度更高的測量儀器進行重復測量以發現系差。測量儀器定期進行校準或檢定并在檢定證書中給出修正值，目的就是發現和減小使用被檢儀器進行測量時的系統誤差。

3.改變測量條件法

系差常與測量條件有關，如果能改變測量條件，比如更換測量人員、測量環境、測量方法等，則可對分組測量數據進行比較來發現系差。

4.剩余誤差觀察法

剩余誤差觀察法是根據測量數據數列各個剩余誤差的大小、符號的變化規律，以判斷有無系差及系差類型。圖2.5-1系統誤差的判斷

5.公式判斷法

馬林科夫判據和阿卑-赫梅特判據可分別用來判定有

無累進性系差和周期性系差，詳細論述可參閱參考文獻［1］、［3］。2.5.3消除系統誤差產生的根源

產生系統誤差的原因很多，如果能找出并消除產生系

差的根源或采取措施防止其影響，則將是解決問題最根本

的辦法。2.5.4削弱系統誤差的典型測量技術

1.零示法

零示法是在測量中，將待測量與已知標準量相比較，當二者的效應互相抵消時，零示器示值為零，此時已知標準量的數值就是被測量的數值。零示法原理如圖2.5-2所示圖2.5-2零示法原理圖電位差計是采用零示法的典型例子。圖2.5-3是電位差計的原理圖。圖2.5-3電位差計原理圖調Rs使IP=0，則被測電壓Ux=Us，即

(2.5-4)

2.替代法

替代法又稱置換法。它是在測量條件不變的情況下，用一標準已知量去替代待測量，通過調整標準量而使儀器的示值不變，于是標準量的值等于被測量值。由于替代前后整個測量系統及儀器示值均未改變，因此測量中的恒定系差對測量結果不產生影響，測量準確度主要取決于標準已知量的準確度及指示器的靈敏度。圖2.5-4是替代法在精密電阻電橋中的應用實例。首先接入未知電阻Rx，調節電橋使之平衡，即IP=0，此時有

(2.5-5)圖2.5-4替代法測量電阻由于R1、R2、R3都有誤差，因此若利用它們的標稱值來計算Rx，則Rx也帶有誤差，即

(2.5-6)

忽略增量乘積項，并考慮式(2.5-5)關系，近似得到：

(2.5-7)為了消除上述誤差，現用可變標準電阻Rs代替Rx，并在保持R1、R2、R3不變的情況下通過調節Rs，使電橋重新平衡，因而得到：

(2.5-8)

比較式(2.5-6)和式(2.5-8)，得到：

(2.5-9)

3.補償法

下面以諧振法(如Q表)測電容為例說明這種測量方法。圖2.5-5為測量原理圖，其中，u為高頻信號源，L為電感，

C0為分布電容，Cx為待測電容，假設電子電壓表內阻為無窮大。調節信號源頻率使電路諧振(此時電壓表指示最大)，設諧振頻率為f0，可以算出：

(2.5-10)圖2.5-5諧振法測電容可見，Cx與頻率f0、電感L、分布電容C0都有關，它們的準確度(尤其C0，常常很難給出具體準確的數值)都會對Cx的準確度產生影響。現改用補償法測量，如圖2.5-6所示，首先斷開Cx，調節標準電容Cs使電路諧振，設此時標準電容為

Cs1，而后保持信號源頻率不變，接入Cx，重新調整標準電容使電路諧振，設此時標準電容量為Cs2。圖2.5-6補償法測電容由式(2.5-10)容易得到僅接入Cs1時有

(2.5-11)

接入Cx后有

(2.5-12)

比較兩式得到：

Cx=Cs1－Cs2

(2.5-13)

可見，此時待測電容Cx僅與標準電容有關，從而測量準確度要比用圖2.5-5所示電路的結果高得多。

4.對照法

對照法又稱交換法，適于在對稱的測量裝置中用來檢查其對稱性是否良好，或從兩次測量結果的處理中削弱或消除系統誤差。現以圖2.5-7所示的等臂電橋為例說明這種方法圖2.5-7對照法測電阻先按圖2.5-7(a)的接法調節標準電阻Rs使電橋平衡，設此時標準電阻阻值為Rs1，因而

(2.5-14)

然后按圖2.5-7(b)交換Rx、Rs的位置，調節Rs使電橋平衡。設此時標準電阻阻值為Rs2，因而

(2.5-15)如果R1=R2(故稱為等臂電橋)，則由式(2.5-14)和式(2.5-15)可知Rs1=Rs2=Rs，進而得到

(2.5-16)

如果R1≠R2，則Rs1≠Rs2，可由式(2.5-14)和式(2.5-15)得到：

(2.5-17)

從而消除了R1、R2的誤差對測量結果的影響。

5.微差法

微差法又稱虛零法或差值比較法，實質上是一種不徹底的零示法(見1.3節及圖1.3-2)。在零示法中必須仔細調節標準量s使之與x相等，這通常很費時間，有時甚至不可能做到。

微差法允許標準量s與被測量x的效應不完全抵消，即相差一微小量δ，測得δ=x－s，即可得到待測量：

x=s+δ

(2.5-18)

x的示值相對誤差為

(2.5-19)

由于δ<<s，因此s+δ≈s。又由于δ<<x，所以有

(2.5-20)

即被測量的相對誤差基本上等于標準量的相對誤差，偏差式儀表產生的系差Δδ/δ幾乎可以忽略。

6.交叉讀數法

交叉讀數法是上述對照法的一種特殊形式。現以諧振頻率測量為例，說明交叉讀數法的具體應用。LC諧振電路的諧振曲線如圖2.5-8所示，由于在諧振點fx=f0附近曲線平坦，電壓變化很小，很難判斷真正的諧振狀態，所以會引入一定的方法誤差：

(2.5-21)式中，Q為電路品質因數，ΔU/U0主要是由于電壓表分辨力不高造成的。如果Q=100，ΔU/U0=2%，則得到示值誤差：

為了削弱該誤差，改用交叉讀數法，在諧振點兩旁曲線斜率較大處(一般取U=分別測出兩個失諧頻率f1和f2，則待測頻率可用式(2.5-22)求出：

(2.5-22)由此產生的理論誤差為

(2.5-23)

若Q值仍為100，可算得：

相對誤差要比直接用諧振法測量小得多。圖2.5-8LC諧振電路的諧振曲線2.5.5消除或削弱系統誤差的其他方法

1.利用修正值或修正因數加以消除

根據測量儀器檢定書中給出的校正曲線、校正數據或利用說明書中的校正公式對測量值進行修正，是實際測量中常用的辦法，這種方法原則上適用于任何形式的系差(見2.1節的式(2.1-5))。

2.隨機化處理

所謂隨機化處理，是指利用同一類型測量儀器的系統誤差具有隨機特性的特點，對同一被測量用多臺儀器進行測量，取各臺儀器測量值的平均值作為測量結果。通常這種方法用得并不多，首先費時較多，其次需要多臺同類型儀器，這往往也是難以做到的。

3.智能儀器中系統誤差的消除

在智能儀器中，可利用微處理器的計算控制功能削弱或消除儀器的系統誤差。利用微處理器削弱系差的方法很多，下面介紹兩種常用的方法。

(1)直流零位校準。

(2)自動校準。

圖2.5-9是運算放大器誤差修正原理圖。圖中，ε表示由于溫漂、時漂等造成的運算放大器等效失調電壓；Ux為被測電壓；Us為基準電壓；R1、R2為分壓電阻。當開關S接于Ux處時，運放輸出為

(2.5-24)

設P=(R1+R2)/R2，代入式(2.5-24)得

(2.5-25)圖2.5-9運放的自動校準原理可以利用微處理器軟件實現定時修正：通過程序控制輸入端開關依次接通Ux、Us和地，分別得到輸出電壓Uox、

Uos、Uoz并加以存儲。輸出電壓為

(2.5-26)

(2.5-27)

(2.5-28)由上述三式解得

(2.5-29)

這就是最后的結果。與式(2.5-25)相比，式(2.5-29)中不含P、ε、A0等，因而就不會受這些因素變化的影響而帶來誤差。*2.6系統誤差的合成

2.6.1誤差的合成

設最終測量結果為y，各分項測量值為x1、x2、…、xn

(分項測量值可以是單臺儀器中各部件的標稱值，如上述電橋中的R1、R2和R3，也可以是間接測量中各單項測量值，如上述功率測量中的U、I，U、R或I、R)，它們滿足函數關系：

y=f(x1，x2，…，xn)

(2.6-1)設各xi間彼此獨立，xi的絕對誤差為Δxi，y的絕對誤差為Δy，則

(2.6-2)

將式(2.6-2)按泰勒級數展開得略去上式右邊(二階以上)高階項，得

所以

(2.6-3)當式(2.6-3)中各分項的符號不能確定時，通常采用保守的辦法計算誤差，將式中各分項取絕對值后再相加，即

(2.6-4)

若用相對誤差形式表示總的合成誤差，則

(2.6-5)同樣，當各分項符號不明確時，為可靠起見，取絕對值相加，即

(2.6-6)

式(2.6-3)~式(2.6-6)為系統誤差合成公式，其中，式(2.6-3)、式(2.6-4)也稱為絕對誤差傳遞公式，式(2.6-5)、式(2.6-6)稱為相對誤差傳遞公式。2.6.2常用函數的合成誤差

1.和差函數的合成誤差

設

y=x1±x2

y+Δy=(x1+Δx1)±(x2+Δx2)

以上兩式相減得絕對誤差為

Δy=Δx1±Δx2

(2.6-7)當Δx1、Δx2符號不能確定時，同式(2.6-4)一樣的考慮，取

(2.6-8)

相對誤差為

(2.6-9)或者寫成：

(2.6-10)對于和函數，由式(2.6-8)得

(2.6-11)

對于差函數，有

(2.6-12)

【例2.6-1】電阻R1=1kΩ，R2=2kΩ，相對誤差均為±5%，求串聯等效電阻R的相對誤差。

解：串聯后的等效電阻為

R=R1+R2

由式(2.6-11)得串聯后電阻的相對誤差為

【例2.6-2】用指針式頻率計測量放大電路的頻帶寬度，儀器的滿度值fm=10MHz，準確度為±1%，測得高端截止頻率fh=10MHz，低端截止頻率fl=9MHz，試計算頻帶寬度的合成誤差。

解：儀器的最大絕對誤差為

即頻帶寬度的相對誤差為

由此可見，所用儀器為1.0級，準確度已很高，但最終測量結果的相對誤差卻很大。這是由于fh、fl比較接近的緣故，屬于測量方法不當。

2.積函數的合成誤差

設y=x1·x2，由式(2.6-3)得絕對誤差為相對誤差為

(2.6-13)

若γx1、γx2都有正負號，則

(2.6-14)

【例2.6-3】已知電阻上電壓及電流的相對誤差分別為γU=±3%，γI=±2%，用P=UI

計算功率，則P的相對誤差是多少?

解：由式(2.6-14)積函數誤差合成公式得

γP=±(3%+2%)=±5%

3.商函數的合成誤差

設x1、x2的絕對誤差分別為Δx1、Δx2，則由式(2.6-3)得絕對誤差為

(2.6-15)相對誤差為

(2.6-16)

若γx1、γx2都帶有正負號，則

(2.6-17)

【例2.6-4】用間接法測電阻上的直流電流。已知電阻為1kΩ，標稱值相對誤差γR=±2%，電壓表測得該電阻端電壓U=2.0V，相對誤差γU=±3%。求流過該電阻的電流I及其相對誤差。

解：

由式(2.6-17)得相對誤差：

4.冪函數的合成誤差

設y=kxm1·xn2，k為常數，將積函數的合成誤差公式略加推廣得

(2.6-18)

當γx1、γx2帶有正負號時，有

(2.6-19)

【例2.6-5】電流流過電阻產生的熱量Q=0.24I2Rt，若已知γI=±2%，γR=±1%，γt=±0.5%，求γQ。

解：直接引用式(2.6-14)和式(2.6-19)的結論，有

5.積商冪函數的合成誤差

設式中k、m、n、p均為常數，綜合上述各函數合成誤差公式，直接得到

(2.6-20)

當γx1、γx2、γx3都有正負號時，有

(2.6-21)

【例2.6-6】用電橋法測電阻，Rx=R1·R3/R2，已知R1=R3=100Ω，R2=1000Ω，各電阻絕對誤差均為正值，ΔR1=0.01Ω，ΔR3=0.1Ω，ΔR2=1.0Ω，求測量值Rx的相對誤差γRx。

解：各已知電阻的相對誤差為由于這里各誤差符號均為已知，因此引用式(2.6-20)得如果僅知道ΔR1=±0.01Ω，ΔR3=±0.1Ω，ΔR2=

±1.0Ω，則應引用誤差合成公式(2.6-21)，有2.6.3系統不確定度

系統誤差可能變化的最大幅度稱為系統不確定度，用εym表示，相對系統不確定度用γym表示，例如測量儀器的基本誤差、工作誤差等都屬此類。

1.系統不確定度的絕對值合成法

用εim和εym分別代替式(2.6-4)中的Δxi和Δy，用γym代替式(2.6-6)中的γy，得到

(2.6-22)

(2.6-23)

【例2.6-7】將R1=100×(1±10%)Ω和R2=400×(1±5%)Ω的電阻串聯，求等效電阻的誤差范圍(系統不確定度)。

解：

按式(2.6-22)得

2.系統不確定度的均方根合成法

(2.6-24)

(2.6-25)

【例2.6-8】用均方根合成法求例2.6-7中兩電阻串聯后的總誤差。

解：

可見，用均方根合成法要比絕對值合成法計算的結

果小。

【例2.6-9】某晶體管毫伏表的技術指標為：①頻率為1kHz時，基本誤差γm≤±2.5%；②以20℃為參考的溫度誤差γt≤±0.1%/℃；③在50Hz~50kHz范圍內，頻率附加誤差γf≤±2.5%；④電源電壓220V變化范圍±10%時，附加誤差γn≤±2%；⑤每更換一只晶體管，附加誤差γT≤

±1%?，F已知該表已換過一只晶體管，用其10V量程測

30kHz、5V信號，供電電源電壓為210V，室溫30℃。求總的測量誤差。

解：本例題給出的技術指標包括基本誤差和附加誤差?；菊`差的含義是指儀器在規定的正常條件下所具有的誤差，同2.1節中敘述的固有誤差含義相似，但這里的“正常

工作條件”比“基準工作條件”的要求松。附加誤差是指儀

器超出正常工作條件時所增加的誤差，與前述影響誤差的

含義相似。在一般工程測量中，系統誤差起主要作用，一般可按儀器的技術說明書提供的指標，用系統不確定度分析儀器測量誤差。

各分項系統不確定度如下所述。

(1)電壓表基本示值的相對誤差：

(2)30℃時的溫度示值相對誤差：

(3)頻率附加誤差：

(4)電源波動引起的相對誤差：

(5)更換一晶體管引起的相對誤差：絕對值合成法計算得到的測量誤差為

均方根合成法計算得到的測量誤差為

后者的結果較為合理。

2.7測量數據的處理

2.7.1有效數字的處理

1.有效數字

由于含有誤差，因此測量數據及由測量數據計算出來的算術平均值都是近似值。

2.多余數字的舍入規則

對測量結果中的多余有效數字，應按下面的舍入規則進行：以保留數字的末位為單位，它后面的數字若大于0.5單位，末位進1；小于0.5個單位，末位不變；恰為0.5個單位，則末位為奇數時加1，末位為偶數時不變，即使末位湊成偶

數。簡單概括為“小于5舍，大于5入，等于5時采取偶數法則”。

【例2.7-1】將下列數字保留到小數點后一位：12.34，12.36，12.35，12.45。

解：

【例2.7-2】用一臺0.5級電壓表的100V量程擋測量電壓，電壓表的指示值為85.35V，試確定有效位數。

解：該表在100V擋的最大絕對誤差為

3.有效數字的運算規則

當需要對幾個測量數據進行運算時，要考慮有效數字保留多少位的問題，以便不使運算過于麻煩而又能正確反映測量的精確度。保留的位數原則上取決于各數中精度最差的那一項。

(1)加法運算：以小數點后位數最少的為準(若各項無小數點，則以有效位數最少者為準)，其余各數可多取一位。例如：

(2)