南京航空航天大學(xué)研究生考試參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)共4頁第10頁二00七～二00八學(xué)年第一學(xué)期課程名稱：矩陣論試卷類型A卷課程編號(hào)：A000003參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制定人：2008年1月12日南京航空航天大學(xué)研究生考試試卷共5頁第1頁二00七～二00八學(xué)年第一學(xué)期《矩陣論》課程考試日期：2008年1月16日試卷類型A課程編號(hào)：A000003學(xué)院學(xué)號(hào)姓名成績一、（20分）設(shè)矩陣，（1）求的特征多項(xiàng)式和的全部特征值；（2）求的行列式因子、不變因子和初等因子；（3）求的最小多項(xiàng)式，并計(jì)算；（4）寫出的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型二、（20分）設(shè)是實(shí)數(shù)域上的全體實(shí)矩陣構(gòu)成的線性空間（按通常矩陣的加法和數(shù)與矩陣的乘法）。（1）求的維數(shù)，并寫出其一組基；（2）設(shè)是全體實(shí)對(duì)稱矩陣的集合，證明：是的子空間，并寫出的維數(shù)和一組基；（3）在中定義內(nèi)積，其中，求出的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基；（4）給出上的線性變換：，寫出線性變換在（1）中所取基下的矩陣，并求的核和值域。三、（20分）（1）設(shè)，求，，，；（2）設(shè)，令，證明：是上的矩陣范數(shù)并說明具有相容性；（3）證明：。四、（20分）已知矩陣，向量，（1）求矩陣的分解；（2）計(jì)算；（3）用廣義逆判斷方程組是否相容？若相容,求其通解；若不相容,求其極小最小二乘解。五、（20分）（1）設(shè)矩陣，，其中為實(shí)數(shù)，問當(dāng)滿足什么條件時(shí)，成立？（2）設(shè)階Hermite矩陣，其中，證明：，。（3）已知Hermite矩陣，（），證明：正定一、（20分）解：（1），的特征多項(xiàng)式為，的特征值6分（2）的行列式因子：1,1,；的不變因子：1,1,；的初等因子：；7分（3）因?yàn)椋淖钚《囗?xiàng)式；4分（4）的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形3分二、（20分）解：（1）的維數(shù)為4，一組基，，，；5分（2）,，則，；；。對(duì)加法和數(shù)乘封閉，所以是的子空間。的維數(shù)為3，一組基，，；5分（3），；，；，。所以、、為W的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。5分（4）在（1）中所取基下的矩陣為；的核：；的值域：。5分三、（20分）解：（1），，，；8分（2）若，則至少有一個(gè)，若，則，，，，所以是上的矩陣范數(shù)。所以是上的相容矩陣范數(shù)。8分（3），不妨設(shè)，則記,，則,，，綜上可知：4分四、（20分）（1）矩陣的分解：6分（2）8分（3）該方程組不相容。極小最小二乘解6分五、（20分）（1），，，時(shí)成立即時(shí)成立。10分（2），為的前k階順序主子式，。存在可逆矩陣，使得，，。6分（3）設(shè)是矩陣的任一特