PAGE12-萬有引力與航天(建議用時40分鐘)1．(2024·全國卷Ⅲ)“嫦娥四號”探測器于2024年1月在月球背面勝利著陸，著陸前曾繞月球飛行，某段時間可認為繞月做勻速圓周運動，圓周半徑為月球半徑的K倍。已知地球半徑R是月球半徑的P倍，地球質量是月球質量的Q倍，地球表面重力加速度大小為g。則“嫦娥四號”繞月球做圓周運動的速率為()A．eq\r(\f(RKg,QP))B．eq\r(\f(RPKg,Q))C．eq\r(\f(RQg,KP))D．eq\r(\f(RPg,QK))【解析】選D。在地球表面上，Geq\f(mM,R2)＝mg①，“嫦娥四號”繞月球做圓周運動由萬有引力供應向心力：Geq\f(m′M月,（KR月）2)＝eq\f(m′v2,KR月)②，由①②解得v＝eq\r(\f(gM月R2,MKR月))＝eq\r(\f(gR2,QK\f(R,P)))＝eq\r(\f(RPg,QK))，D正確。【加固訓練】北斗衛星導航系統為導航系統供應定位數據支持的衛星主要有三類：地球靜止軌道衛星(GEO)，定點位置在赤道上空；傾斜地球同步衛星(IGSO)；軌道半徑小一些的中圓軌道衛星(MEO)。如圖所示是一顆地球靜止軌道衛星A、一顆傾斜地球同步衛星B和一顆中圓地球軌道衛星C的軌道立體對比示意圖，其中衛星B、C的軌道共面，它們都繞地球做勻速圓周運動，下列推斷正確的 ()A.衛星C的線速度大于衛星B的線速度B.衛星A和衛星B均相對赤道表面靜止C.中圓地球軌道衛星C比同步衛星A的周期比大D.衛星C所受的向心力肯定大于衛星B所受的向心力【解析】選A。三衛星做圓周運動，都由萬有引力供應向心力，由牛頓其次定律可得Geq\f(Mm,r2)=meq\f(v2,r)，解得v=eq\r(\f(GM,r))，由于rC<rB，半徑越小，線速度越大，A正確；衛星A相對赤道表面靜止，衛星B相對赤道表面不是靜止的，B錯誤；三衛星做圓周運動的向心力都由萬有引力供應，由牛頓其次定律可得Geq\f(Mm,r2)=meq\f(4π2,T2)r，解得T=，rC<rA，半徑越大，周期越大，C錯誤；三衛星做圓周運動的向心力都由萬有引力供應，有Geq\f(Mm,r2)＝ma，雖然rC<rB，但是不知道衛星質量的大小，所以不能推斷向心力大小，D錯誤。2.(2024·德陽模擬)2020年5月5日晚18時，長征五號B運載火箭首發取得圓滿勝利。該火箭是中國近地軌道運載實力最大的新一代運載火箭，拉開我國空間站在軌建立階段飛行任務的序幕，為后續空間站核心艙、試驗艙放射奠定了堅實基礎。下列與我國空間站“天宮一號”“天宮二號”的有關說法正確的有()A．我國第一個目標飛行器“天宮一號”在370km高度飛行時速度等于7.9km/sB．“神舟十一號”載人飛船到達“天宮二號”同一軌道上加速后完成對接C．“天舟一號”貨運飛船在低于“天宮二號”的軌道上時速度比“天宮二號”小D．航天員王亞平在“天宮二號”中授課時相對空間站靜止的水球處于完全失重狀態【解析】選D。7.9km/s為第一宇宙速度即近地衛星的運行速度，由于“天宮一號”的軌道半徑比地球半徑更大，由公式eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))，“天宮一號”在370km高度飛行時速度小于7.9km/s，故A錯誤；“神舟十一號”載人飛船到達“天宮二號”同一軌道上加速后將做離心運動，不行能實現對接，故B錯誤；由公式eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))，“天舟一號”貨運飛船在低于“天宮二號”的軌道上時速度比“天宮二號”大，故C錯誤；相對空間站靜止的水球所受萬有引力全部供應向心力，則水球處于完全失重狀態，故D正確。【加固訓練】我國已駕馭“半彈道跳動式高速再入返回技術”，為實現“嫦娥”飛船月地返回任務奠定基礎。如圖虛線為地球大氣層邊界，返回器與服務艙分別后，從a點無動力滑入大氣層，然后經b點從c點“跳”出，再經d點從e點“躍入”實現多次減速，可避開損壞返回器。d點為軌跡最高點，離地面高h，已知地球質量為M，半徑為R，引力常量為G。則返回器 ()A．在d點處于超重狀態B．從a點到e點速度越來越小C．在d點時的加速度大小為eq\f(GM,R2)D．在d點時的線速度小于地球第一宇宙速度【解析】選D。d點處做向心運動，向心加速度方向指向地心，應處于失重狀態，A錯誤；由a到c由于空氣阻力做負功，動能減小，由c到e過程中只有萬有引力做功，機械能守恒，a、c、e點時速度大小應當滿意va>vc＝ve，B錯誤；在d點時合力等于萬有引力，即eq\f(GMm,（R＋h）2)＝mad，故加速度大小ad＝eq\f(GM,（R＋h）2)，C錯誤；第一宇宙速度是最大環繞速度，其他軌道的環繞速度都小于第一宇宙速度，D正確。故選D。3．2020年5月5日，長征五號B運載火箭在中國文昌航天放射場勝利首飛，將新一代載人飛船試驗船送入太空，若試驗船繞地球做勻速圓周運動，周期為T，離地高度為h，已知地球半徑為R，萬有引力常量為G，A．試驗船的運行速度為eq\f(2πR,T)B．地球的第一宇宙速度為eq\f(2π,T)eq\r(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R＋h))\s\up12(3),R))C．地球的質量為eq\f(2π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R＋h))\s\up12(3),GT2)D．地球表面的重力加速度為eq\f(4π2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R＋h))\s\up12(2),RT2)【解析】選B。試驗船的運行速度為eq\f(2π（R＋h）,T)，故A錯誤；近地軌道衛星的速度等于第一宇宙速度，依據萬有引力供應向心力有Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，依據試驗船受到的萬有引力供應向心力有Geq\f(Mm船,（R＋h）2)＝m船(eq\f(2π,T))2(R＋h)，聯立兩式解得第一宇宙速度v＝eq\f(2π,T)eq\r(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R＋h))\s\up12(3),R))，故B正確；依據試驗船受到的萬有引力供應向心力有Geq\f(Mm船,（R＋h）2)＝m船(eq\f(2π,T))2(R＋h)，解得M＝eq\f(4π2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R＋h))\s\up12(3),GT2)，故C錯誤；地球的重力加速度等于近地軌道衛星的向心加速度，依據萬有引力供應向心力有Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)＝mg，依據試驗船受到的萬有引力供應向心力有Geq\f(Mm船,（R＋h）2)＝m船(eq\f(2π,T))2(R＋h)，聯立兩式解得重力加速度g＝eq\f(4π2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R＋h))\s\up12(3),R2T2)，故D錯誤。故選B。4．(2024·南陽模擬)如圖所示，A、B為地球的兩個軌道共面的人造衛星，運行方向相同，A為地球同步衛星，A、B衛星的軌道半徑的比值為k，地球自轉周期為T0。某時刻A、B兩衛星距離達到最近，從該時刻起到A、B間距離最遠所經驗的最短時間為()A．eq\f(T0,2（\r(k3)＋1）)B．eq\f(T0,\r(k3)－1)C．eq\f(T0,2（\r(k3)－1）)D．eq\f(T0,\r(k3)＋1)【解題指南】兩衛星相距最近(最遠)的條件(1)兩衛星的運轉方向相同，且位于和中心連線的半徑上同側時，兩衛星相距最近，從運動關系上，兩衛星運動關系應滿意(ωA-ωB)t=2nπ(n=1，2，3，…)(2)當兩衛星位于和中心連線的半徑上兩側時，兩衛星相距最遠，從運動關系上，兩衛星運動關系應滿意(ωA-ωB)t′=(2n-1)π(n=1，2，3…)【解析】選C。由開普勒第三定律得：eq\f(req\o\al(\s\up1(3),\s\do1(A)),Teq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(A)))＝eq\f(req\o\al(\s\up1(3),\s\do1(B)),Teq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(B)))，由TA＝T0得TB＝eq\f(T0,\r(k3))，設兩衛星至少經過時間t距離最遠，即B比A多轉半圈，eq\f(t,TB)－eq\f(t,TA)＝eq\f(1,2)，聯立解得：t＝eq\f(T0,2（\r(k3)－1）)，故選項C正確。5．(多選)探究火星的奇妙承載著人類折服宇宙的幻想。假設人類某次利用飛船探測火星的過程中，飛船只在萬有引力作用下貼著火星表面繞火星做圓周運動時，測得其繞行速度為v，繞行一周所用時間為T,已知引力常量為G，則()A．火星表面的重力加速度為eq\f(πv,T)B．火星的半徑為eq\f(Tv,2π)C．火星的密度為eq\f(3π,GT2)D．火星的質量為eq\f(Tv2,2πG)【解析】選B、C。飛船在火星表面做勻速圓周運動，軌道半徑等于火星的半徑，依據v＝eq\f(2πR,T)，得R＝eq\f(vT,2π)，故B正確；依據萬有引力供應向心力，由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，得火星的質量M＝eq\f(4π2R3,GT2)，依據密度公式得火星的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(\f(4π2R3,GT2),\f(4πR3,3))＝eq\f(3π,GT2)，故C正確；依據M＝ρ·eq\f(4πR3,3)＝eq\f(3π,GT2)×eq\f(4π,3)×(eq\f(vT,2π))3＝eq\f(Tv3,2πG)，可知D錯誤；依據重力等于萬有引力得，mg＝Geq\f(Mm,R2)，得g＝Geq\f(M,R2)＝eq\f(2πv,T)，故A錯誤。故選B、C。【加固訓練】(多選)(2024·長沙模擬)我國安排在2024年實現火星的著陸巡察，假設探測器飛抵火星著陸前，沿火星表面做勻速圓周運動，運動的周期為T，線速度為v，已知引力常量為G，火星可視為質量勻稱的球體，則下列說法正確的是()A.火星的質量為B.火星的平均密度為C.火星表面的重力加速度大小為D.探測器的向心加速度大小為【解析】選B、C、D。因探測器沿火星表面做勻速圓周運動，故可認為軌道半徑等于火星的半徑，設探測器繞火星運行的軌道半徑為r，依據v=可得r=，又，得M=，選項A錯誤；火星的平均密度ρ=，選項B正確；火星表面的重力加速度大小g火=，選項C正確；探測器的向心加速度大小為a=，選項D正確。6.(多選)(2024·玉溪模擬)如圖所示,A是地球的同步衛星,B是位于赤道平面內的近地衛星,C為地面赤道上的物體,已知地球半徑為R,同步衛星離地面的高度為h,則()A.A、B加速度的大小之比為()2B.A、C加速度的大小之比為1+C.A、B、C速度的大小關系為vA>vB>vCD.要將B衛星轉移到A衛星的軌道上運行至少須要對B衛星進行兩次加速【解析】選B、D。依據萬有引力供應向心力可知G=ma,得aA=G,aB=G,故=()2,選項A錯誤;A、C角速度相同,依據a=ω2r得aA=ω2(R+h),aC=ω2R,故=1+,選項B正確;依據G=m得v=,可知軌道半徑越大,線速度越小,所以vB>vA,又A、C角速度相同,依據v=ωr可知vA>vC,故vB>vA>vC,選項C錯誤;要將B衛星轉移到A衛星的軌道上,先要加速到橢圓軌道上,再由橢圓軌道加速到A衛星的軌道上,選項D正確。【總結提升】求解近地衛星、地球同步衛星和赤道上物體的關鍵(1)在求解“同步衛星”與“赤道上的物體”的向心加速度的比例關系時應依據二者角速度相同的特點，運用公式a=ω2r而不能運用公式a=。(2)在求解“同步衛星”與“赤道上的物體”的線速度比例關系時，仍要依據二者角速度相同的特點，運用公式v=ωr而不能運用公式v=。(3)在求解“同步衛星”運行速度與第一宇宙速度的比例關系時，因都是由萬有引力供應的向心力，故要運用公式v=，而不能運用公式v=ωr或v=。7.(創新題)宇航員駕駛宇宙飛船勝利登上月球，他在月球表面做了一個試驗：在停在月球表面的登陸艙內固定一傾角θ＝30°的斜面，讓一個小物體以速度v0由底端沿斜面對上運動，利用速度傳感器得到其來回運動的v-t圖象如圖所示，圖中t0已知。已知月球的半徑為R，萬有引力常量為G。不考慮月球自轉的影響。求：(1)月球的密度ρ；(2)宇宙飛船在近月圓軌道繞月球做勻速圓周運動的速度v1。【解析】(1)由題意及圖象可知：eq\f(v0t0,2)＝eq\f(v·2t0,2)①得到物體回到斜面底端時速度大小：v＝eq\f(v0,2)②物體向上運動時mgsin30°＋μmgcos30°＝ma1，a1＝eq\f(v0,t0)③物體向下運動時mgsin30°－μmgcos30°＝ma2，a2＝eq\f(v,2t0)④由①②③④得出該星球表面的重力加速度為g＝eq\f(5v0,4t0)⑤在星球表面Geq\f(Mm,R2)＝mg⑥M＝ρ·eq\f(4,3)πR3⑦由⑤⑥⑦得到該星球的密度為ρ＝eq\f(15v0,16πGRt0)(2)依據mg＝meq\f(veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),R)⑧由⑤⑧得到該星球的第一宇宙速度為v1＝eq\r(\f(5v0R,4t0))答案：(1)eq\f(15v0,16πGRt0)(2)eq\r(\f(5v0R,4t0))8．(2024·山東等級考)我國將在今年擇機執行“天問1號”火星探測任務。質量為m的著陸器在著陸火星前，會在火星表面旁邊經驗一個時長為t0、速度由v0減速到零的過程。已知火星的質量約為地球的0.1倍，半徑約為地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小為g，忽視火星大氣阻力。若該減速過程可視為一個豎直向下的勻減速直線運動，此過程中著陸器受到的制動力大小約為()A．m(0.4g－eq\f(v0,t0))B．m(0.4g＋eq\f(v0,t0))C．m(0.2g－eq\f(v0,t0))D．m(0.2g＋eq\f(v0,t0))【解析】選B。忽視星球的自轉，萬有引力等于重力，Geq\f(Mm,R2)＝mg，則eq\f(g火,g地)＝eq\f(M火,M地)·eq\f(Req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(地)),Req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(火)))＝0.1×eq\f(1,0.52)＝0.4，解得g火＝0.4g地＝0.4g；著陸器做勻減速直線運動，依據運動學公式可知0＝v0－at0，解得a＝eq\f(v0,t0)；勻減速過程，依據牛頓其次定律得f－mg火＝ma，解得著陸器受到的制動力大小為f＝mg火＋ma＝m(0.4g＋eq\f(v0,t0))，A、C、D錯誤，B正確。故選B。9.太空中存在一些離其他恒星很遠的、由兩顆星體組成的雙星系統，可忽視其他星體對它們的引力作用。假如將某雙星系統簡化為志向的圓周運動模型，如圖所示，兩星球在相互的萬有引力作用下，繞O點做勻速圓周運動。由于雙星間的距離減小，則()A．兩星的運動角速度均漸漸減小B．兩星的運動周期均漸漸減小C．兩星的向心加速度均漸漸減小D．兩星的運動線速度均漸漸減小【解析】選B。設兩星的質量分別為M1和M2，相距L，M1和M2的角速度為ω，由萬有引力定律和牛頓其次定律得，對M1：Geq\f(M1M2,L2)＝M1r1ω2，對M2：Geq\f(M1M2,L2)＝M2r2ω2，因為L＝r1＋r2，解得r1＝eq\f(M2,M1＋M2)L，r2＝eq\f(M1,M1＋M2)L，T＝eq\f(2π,ω)＝2πeq\r(\f(L3,G（M1＋M2）))，雙星的總質量不變，距離減小，周期減小，角速度增大，A錯誤，B正確；依據Geq\f(M1M2,L2)＝M1a1＝M2a2知，L變小，則兩星的向心加速度均增大，故C錯誤；由于v1＝ωr1＝eq\r(\f(G（M1＋M2）,L3))·eq\f(M2,M1＋M2)L＝M2eq\r(\f(G,L（M1＋M2）))，v2＝ωr2＝eq\r(\f(G（M1＋M2）,L3))·eq\f(M1,M1＋M2)L＝M1eq\r(\f(G,L（M1＋M2）))可見，距離減小線速度變大，故D錯誤。10．(多選)同步衛星的放射方法是變軌放射，即先把衛星放射到離地面高度為200～300km的圓形軌道上，這條軌道叫停岸軌道，如圖所示，當衛星穿過赤道平面上的P點時，末級火箭點火工作，使衛星進入一條大的橢圓軌道，其遠地點恰好在地球赤道上空約36000km處，這條軌道叫轉移軌道；當衛星到達遠地點Q時，再開動衛星上的發動機，使之進入同步軌道，也叫靜止軌道。關于同步衛星及其放射過程A.在P點火箭點火和Q點開動發動機的目的都是使衛星加速，因此，衛星在靜止軌道上運行的線速度大于在停岸軌道運行的線速度B．在P點火箭點火和Q點開動發動機的目的都是使衛星加速，因此，衛星在靜止軌道上運行的機械能大于在停岸軌道運行的機械能C．衛星在轉移軌道上運動的速度大小范圍為7.9～11.2km/sD．全部地球同步衛星的靜止軌道都相同【解析】選B、D。依據衛星變軌的原理可知，在P點火箭點火和Q點開動發動機的目的都是使衛星加速。當衛星做圓周運動時，由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(\f(GM,r))，可知衛星在靜止軌道上運行的線速度小于在停岸軌道運行的線速度，故A錯誤；由能量守恒可知，衛星在靜止軌道上運行的機械能大于在停岸軌道運行的機械能，故B正確；衛星在轉移軌道上的遠地點需加速才能進入同步衛星軌道，而同步衛星軌道的速度小于7.9km/s，故C錯誤；全部地球同步衛星的靜止軌道都相同，并且都在赤道平面上，高度肯定，故D正確。【加固訓練】(多選)“嫦娥四號”從距月面高度為100km的環月圓軌道Ⅰ上的P點實施變軌，進入近月點高度為15km的橢圓軌道Ⅱ，由近月點Q勝利落月，如圖所示，關于“嫦娥四號”，下列說法正確的是 ()A.沿軌道Ⅰ運動至P點時，需制動減速才能進入軌道ⅡB．沿軌道Ⅱ運行的周期大于沿軌道Ⅰ運行的周期C．沿軌道Ⅱ運動時，在P點的加速度大于在Q點的加速度D．在軌道Ⅱ上由P點運行到Q點的過程中，萬有引力對其做正功，它的動能增加，重力勢能削減，機械能不變【解析】選A、D。在軌道Ⅰ上運動，從P點變軌，可知“嫦娥四號”做近心運動，在P點應當制動減速以減小所需向心力，通過做近心運動減小軌道半徑，故A正確；除點P外，軌道Ⅱ的半長軸小于軌道Ⅰ的半徑，依據開普勒第三定律可知，沿軌道Ⅱ運行的周期小于沿軌道Ⅰ運行的周期，故B錯誤；在軌道Ⅱ上運動時，衛星只受萬有引力作用，在P點受到的萬有引力比在Q點的小，故在P點的加速度小于在Q點的加速度，故C錯誤；在軌道Ⅱ上由P點運行到Q點的過程中，萬有引力對“嫦娥四號”做正功，“嫦娥四號”的速度漸漸增大，動能增加，重力勢能減小，機械能不變，故D正確。故選A、D。11．(多選)(2024·武漢模擬)如圖所示，點L1和點L2稱為地月連線上的拉格朗日點。在L1點處的物體可與月球同步繞地球轉動。在L2點處旁邊的飛行器無法保持靜止平衡，但可在地球引力和月球引力共同作用下圍繞L2點繞行。我國中繼星“鵲橋”就是繞L2點轉動的衛星，“嫦娥四號”在月球背面工作時所發出的信號通過“鵲橋”衛星傳回地面，若鵲橋衛星與月球、地球兩天體中心距離分別為R1、R2，信號傳播速度為c。則()A.“鵲橋”衛星在地球上放射時的放射速度大于地球的逃逸速度B．處于L1點的繞地球運轉的衛星周期接近28天C．“嫦娥四號”發出信號到傳回地面的時間為t＝e