PAGE課時作業64肯定值不等式[基礎達標]1．[2024·福建三明一中檢測]已知不等式|2x＋3|＋|2x－1|<a的解集為M.(1)若a＝6，求集合M；(2)若M≠?，求實數a的取值范圍．2．[2024·江西省名校高三教學質量檢測]已知函數f(x)＝|x－a|＋|2x－b|.(1)若a＝0，b＝2，畫出函數f(x)的圖象；(2)若a>0，b＝0，求f(x)≤2的解集．3.[2024·廣州市高三年級調研檢測]已知f(x)＝|x－a|(x－2)＋|x－2|(x－a)．(1)當a＝2時，求不等式f(x)<0的解集；(2)若x∈(－∞，a)時，f(x)<0，求a的取值范圍．4．[2024·唐山市高三年級摸底考試]設函數f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|.(1)畫出y＝f(x)的圖象；(2)若f(x)≤m|x|＋n，求m＋n的最小值．5.[2024·長沙市四校高三年級模擬考試]已知函數f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))＋|x＋a|，a>0.(1)若a＝2，求不等式f(x)≤3的解集；(2)若關于x的不等式f(x)>4恒成立，求a的取值范圍．6．[2024·南昌市高三年級摸底測試卷]已知函數f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(a2＋1,a)))＋|x－1|(a>0)，g(x)＝4－|x＋1|.(1)當a＝1時，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若關于x的不等式f(x)≤g(x)的解集包含[1,2]，求a的取值集合．[實力挑戰]7．[2024·河南省豫北名校高三質量考評]已知函數f(x)＝|x－3|＋|x＋m|，g(x)＝x2－8x＋9.(1)當m＝－1時，求不等式f(log2x)<4的解集；(2)若存在x0∈[－m,3](m>－3)，使不等式f(x0)≤g(x0)成立，求實數m的取值范圍．課時作業641．解析：(1)當a＝6時，原不等式為|2x＋3|＋|2x－1|<6，當x≤－eq\f(3,2)時，原不等式化為－2x－3＋1－2x<6，解得x>－2，∴－2<x≤－eq\f(3,2)；當－eq\f(3,2)<x<eq\f(1,2)時，原不等式化為2x＋3＋1－2x<6，解得4<6，∴－eq\f(3,2)<x<eq\f(1,2)；當x≥eq\f(1,2)時，原不等式化為2x＋3＋2x－1<6，解得x<1，∴eq\f(1,2)≤x<1.綜上所述，集合M＝{x|－2<x<1}．(2)∵M≠?，∴不等式|2x＋3|＋|2x－1|<a恒有解．令f(x)＝|2x＋3|＋|2x－1|，則f(x)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|x＋\f(3,2)|＋|x－\f(1,2)|))≥4，∴a>4，即實數a的取值范圍是(4，＋∞)．2．解析：(1)當a＝0，b＝2時，f(x)＝|x|＋|2x－2|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2，x≥1,－x＋2，0≤x<1.,－3x＋2，x<0))作出f(x)的圖象如圖所示．(2)當b＝0時，f(x)＝|x－a|＋|2x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－a，x≥a,x＋a，0≤x<a，,－3x＋a，x<0))作出f(x)的大致圖象如圖所示．令3x－a＝2，得x＝eq\f(1,3)(a＋2)；令x＋a＝2，得x＝2－a；令－3x＋a＝2，得x＝eq\f(1,3)(a－2)．故結合圖象可得當a>2時，f(x)≤2的解集為?；當1≤a≤2時，2≤2a，故f(x)≤2的解集為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)(a－2)，2－a))；當0<a<1時，2>2a，故f(x)≤2的解集為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)(a－2)，\f(1,3)(a＋2))).3．解析：(1)當a＝2時，f(x)＝2|x－2|(x－2)，由2|x－2|(x－2)<0，解得x<2，所以不等式f(x)<0的解集為{x|x<2}．(2)當x∈(－∞，a)時，f(x)＝|x－a|(x－2)＋|x－2|(x－a)＝(a－x)(x－2)＋|x－2|(x－a)＝(x－a)[|x－2|－(x－2)]，因為x－a<0，則由f(x)<0，可得|x－2|－(x－2)>0，|x－2|>x－2，所以x－2<0，x<2，即x<a?x<2，所以a的取值范圍是(－∞，2]．4．解析：(1)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x，x<－1,－x＋2，－1≤x≤\f(1,2)，,3x，x>\f(1,2)))所以y＝f(x)的圖象如圖所示．(2)一方面，由f(x)≤m|x|＋n得f(0)≤n，解得n≥2.因為f(x)≥|(2x－1)＋(x＋1)|＝3|x|，所以m|x|＋n≥3|x|.(※)若m≥3，(※)式明顯成立；若m<3，則當|x|>eq\f(n,3－m)時，(※)式不成立．另一方面，由圖可知，當m≥3且n≥2時，f(x)≤m|x|＋n.故當且僅當m≥3且n≥2時，f(x)≤m|x|＋n.因此m＋n的最小值為5.5．解析：(1)若a＝2，則不等式f(x)≤3可化為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＋|x＋2|≤3，當x≤－2時，不等式化為－x＋eq\f(1,2)－x－2≤3，∴x≥－eq\f(9,4)，此時－eq\f(9,4)≤x≤－2；當－2<x<eq\f(1,2)時，不等式化為－x＋eq\f(1,2)＋x＋2＝eq\f(5,2)≤3，x∈R，此時－2<x<eq\f(1,2)；當x≥eq\f(1,2)時，不等式化為x－eq\f(1,2)＋x＋2≤3，∴x≤eq\f(3,4)，此時eq\f(1,2)≤x≤eq\f(3,4).綜上，不等式f(x)≤3的解集為x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9,4)，\f(3,4))).(2)f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))＋|x＋a|≥eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))－(x＋a)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋a)).∵f(x)>4恒成立?f(x)min>4，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))>4，又a>0，∴a＋eq\f(1,a)>4，解得0<a<2－eq\r(3)或a>2＋eq\r(3)，即a的取值范圍是(0,2－eq\r(3))∪(2＋eq\r(3)，＋∞)．6．解析：(1)由題意，當a＝1時，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋3，x≤1,1，1<x<2,2x－3，x≥2))，當x≤1時，f(x)＝－2x＋3≥3，解得x≤0；當1<x<2時，f(x)＝1≥3，無解；當x≥2時，f(x)＝2x－3≥3，解得x≥3.∴f(x)≥3的解集為(－∞，0]∪[3，＋∞)．(2)關于x的不等式f(x)≤g(x)的解集包含[1,2]?eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(a2＋1,a)))＋|x－1|≤4－|x＋1|在[1,2]上恒成立．∵a>0，∴eq\f(a2＋1,a)＝a＋eq\f(1,a)≥2，當且僅當a＝eq\f(1,a)，即a＝1時等號成立，∴不等式eq\f(a2＋1,a)－x＋x－1≤3－x在[1,2]上恒成立，即a＋eq\f(1,a)≤4－x在[1,2]上恒成立，∴a＋eq\f(1,a)≤2，∴a＋eq\f(1,a)＝2，故a＝1，即a的取值集合是{1}．7．解析：(1)當m＝－1時，不等式f(x)<4，即|x－3|＋|x－1|<4，可化為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤1，,－(x－3)－(x－1)<4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1<x≤3，,－(x－3)＋(x－1)<4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>3，,(x－3)＋(x－1)<4，))解得0<x≤1或1<x≤3或3<x<4，所以不等式f(x)<4的解集為{x|0<x<4}．由0<log2x<4，得1<x<16，所以不等式f(log2x)<4的解集為{x|1<x<16}．(2)當x0∈[－m,3](m>－3)時，x0－3≤0，x0＋m≥0，所以f(x0)＝m＋3，于是原問題可化為存在x0∈[－m,3](m>－3)，使m＋3≤g(x0)，即m≤