第7章線段與角的畫法（單元提升卷）（滿分100分，完卷時間90分鐘）考生注意：1．本試卷含三個大題，共25題．答題時，考生務必按答題要求在答題紙規定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效．2．除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應位置上寫出解題的主要步驟．一、選擇題（本大題共6小題，每題3分，滿分18分）1．如圖，C、D是線段AB上的兩點，且D是線段AC的中點，若AB＝10cm，BC＝4cm，則AD的長為（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm【分析】由AB＝10cm，BC＝4cm，可求出AC＝AB﹣BC＝6cm，再由點D是AC的中點，則可求得AD的長．【解答】解：∵AB＝10cm，BC＝4cm，∴AC＝AB﹣BC＝6cm，又點D是AC的中點，∴AD＝AC＝3cm，答：AD的長為3cm．故選：B．【點評】本題考查了兩點間的距離，利用線段差及中點性質是解題的關鍵．2．如圖所示，某同學的家在A處，書店在B處，星期日他到書店去買書，想盡快趕到書店，請你幫助他選擇一條最近的路線（）A．A→C→D→B B．A→C→F→B C．A→C→E→F→B D．A→C→M→B【分析】根據線段的性質，可得C、B兩點之間的最短距離是線段CB的長度，所以想盡快趕到書店，一條最近的路線是：A→C→F→B，據此解答即可．【解答】解：根據兩點之間的線段最短，可得C、B兩點之間的最短距離是線段CB的長度，所以想盡快趕到書店，一條最近的路線是：A→C→F→B．故選：B．【點評】此題主要考查了線段的性質，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：兩點的所有連線中，可以有無數種連法，如折線、曲線、線段等，這些所有的線中，線段最短．3．已知：島P位于島Q的正西方，由島P，Q分別測得船R位于南偏東30°和南偏西45°方向上，符合條件的示意圖是（）A． B． C． D．【分析】根據方向角的定義，即可解答．【解答】解：根據島P，Q分別測得船R位于南偏東30°和南偏西45°方向上，故D符合．故選：D．【點評】本題考查了方向角，解決本題的關鍵是熟記方向角的定義．4．已知∠α＝35°，那么∠α的余角等于（）A．35° B．55° C．65° D．145°【分析】根據余角的定義：如果兩個角的和等于90°（直角），就說這兩個角互為余角計算．【解答】解：∵∠α＝35°，∴它的余角等于90°﹣35°＝55°．故選：B．【點評】本題考查了余角的定義，解題時牢記定義是關鍵．5．將一副三角尺按如圖方式進行擺放，∠1、∠2不互補的是（）A． B． C． D．【分析】如果兩個角的和等于180°（平角），就說這兩個角互為補角．即其中一個角是另一個角的補角，據此分別判斷出每個選項中∠1+∠2的度數和是不是180°，即可判斷出它們是否互補．【解答】解：如圖1，，∵∠2+∠3＝90°，∠3+∠4＝90°，∴∠2＝∠4，∵∠1+∠4＝180°，∴∠1+∠2＝180°，∴∠1、∠2互補．如圖2，，∠2＝∠3，∵∠1+∠3＝180°，∴∠1+∠2＝180°，∴∠1、∠2互補．如圖3，，∵∠2＝60°，∠1＝30°+90°＝120°，∴∠1+∠2＝180°，∴∠1、∠2互補．如圖4，，∵∠1＝90°，∠2＝60°，∴∠1+∠2＝90°+60°＝150°，∴∠1、∠2不互補．故選：D．【點評】此題主要考查了余角和補角的性質和應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：等角的補角相等．等角的余角相等；并能分別判斷出每個選項中的∠1+∠2的度數和是不是180°．6．如圖，點O在直線AB上，射線OC平分∠DOB．若∠COB＝35°，則∠AOD等于（）A．35° B．70° C．110° D．145°【分析】首先根據角平分線定義可得∠BOD＝2∠BOC＝70°，再根據鄰補角的性質可得∠AOD的度數．【解答】解：∵射線OC平分∠DOB．∴∠BOD＝2∠BOC，∵∠COB＝35°，∴∠DOB＝70°，∴∠AOD＝180°﹣70°＝110°，故選：C．【點評】此題主要考查了角平分線定義和鄰補角的定義，關鍵是掌握角平分線把角分成相等的兩部分．二、填空題（本大題共12題，每題2分，滿分24分）7．一副三角板如圖所示放置，則∠AOB＝105°．【分析】根據三角板的度數可得：∠2＝45°，∠1＝60°，再根據角的和差關系可得∠AOB＝∠1+∠2，進而算出角度．【解答】解：根據三角板的度數可得：∠2＝45°，∠1＝60°，∠AOB＝∠1+∠2＝45°+60°＝105°，故答案為：105．【點評】此題主要考查了角的計算，關鍵是掌握角之間的關系．8．如圖，三角板的直角頂點在直線l上，若∠1＝40°，則∠2的度數是50°．【分析】由三角板的直角頂點在直線l上，根據平角的定義可知∠1與∠2互余，又∠1＝40°，即可求得∠2的度數．【解答】解：如圖，三角板的直角頂點在直線l上，則∠1+∠2＝180°﹣90°＝90°，∵∠1＝40°，∴∠2＝50°．故答案為50°．【點評】本題考查了余角及平角的定義，正確觀察圖形，得出∠1與∠2互余是解題的關鍵．9．2700″＝0.75°．【分析】根據小的單位化大的單位除以進率，可得答案．【解答】解：2700″＝2700÷60＝45′÷60＝0.75°，故答案為：0.75．【點評】本題考查了度分秒的換算，小的單位化大的單位除以進率60．10．把15°30′化成度的形式，則15°30′＝15.5度．【分析】根據度、分、秒之間的換算關系，先把30′化成度，即可求出答案．【解答】解：∵30′＝0.5度，∴15°30′＝15.5度；故答案為：15.5．【點評】此題考查了度分秒的換算，掌握1°＝60′，1′＝60″是解題的關鍵，是一道基礎題．11．如圖，把一張長方形紙片ABCD沿EF折疊，點C、D分別落在點C′、D′的位置上，EC交AD于G，已知∠EFG＝56°，那么∠BEG＝68°．【分析】根據平行線的性質求得∠CEF的度數，然后根據折疊的性質可得∠FEG＝∠CEF，進而求得∠BEG的度數．【解答】解：∵長方形ABCD中，AD∥BC，∴∠CEF＝∠EFG＝56°，∴∠CEF＝∠FEG＝56°，∴∠BEG＝180°﹣∠CEF﹣∠FEG＝180°﹣56°﹣56°＝68°．故答案是：68°．【點評】本題考查了折疊的性質，正確確定折疊過程中出現的相等的角是關鍵．12．一個角的度數為20°，則它的補角的度數為160°．【分析】根據互為補角的兩個角的和等于180°列式進行計算即可得解．【解答】解：180°﹣20°＝160°．故答案為：160°．【點評】本題考查了余角和補角，解決本題的關鍵是熟記互為補角的和等于180°．13．如圖，線段的長度大約是2.3（或2.4）厘米（精確到0.1厘米）．【分析】根據對線段長度的估算，可得答案．【解答】解：線段的長度大約是2.3（或2.4）厘米，故答案為：2.3（或2.4）．【點評】本題考查了比較線段的長短，對線段的估算是解題關鍵．14．如圖，為抄近路踐踏草坪是一種不文明的現象，請你用數學知識解釋出這一現象的原因兩點之間線段最短．【分析】根據線段的性質解答即可．【解答】解：為抄近路踐踏草坪原因是：兩點之間線段最短．故答案為：兩點之間線段最短．【點評】本題考查了線段的性質，是基礎題，主要利用了兩點之間線段最短．15．將矩形ABCD沿AE折疊，得到如圖的圖形．已知∠CEB′＝50°，則∠AEB′＝65°．【分析】根據折疊前后對應部分相等得∠AEB′＝∠AEB，再由已知求解．【解答】解：∵∠AEB′是△AEB沿AE折疊而得，∴∠AEB′＝∠AEB．又∵∠BEC＝180°，即∠AEB′+∠AEB+∠CEB′＝180°，又∵∠CEB′＝50°，∴∠AEB′＝＝65°，故答案為：65．【點評】本題考查了角的計算以及折疊問題．圖形的折疊實際上相當于把折疊部分沿著折痕所在直線作軸對稱，所以折疊前后的兩個圖形是全等三角形，重合的部分就是對應量．16．對正方形ABCD進行分割，如圖1，其中E、F分別是BC、CD的中點，M、N、G分別是OB、OD、EF的中點，沿分化線可以剪出一副“七巧板”，用這些部件可以拼出很多圖案，圖2就是用其中6塊拼出的“飛機”．若△GOM的面積為1，則“飛機”的面積為14．【分析】分別得到“飛機”中的每個板的面積，再相加即可得到“飛機”的面積．【解答】解：由“飛機”的圖形可知，“飛機”由2個面積為1的三角形，2個面積為4的三角形，1個面積為2的平行四邊形，1個面積為2的正方形組成，故“飛機”的面積為：1×2+4×2+2+2＝14．故答案為：14．【點評】本題考查了七巧板．七巧板中的每個板的面積都可以利用正方形的性質求出來的．17．如圖，將一副三角尺疊放在一起，使直角頂點重合于點O，繞點O任意轉動其中一個三角尺，則與∠AOD始終相等的角是∠BOC．【分析】因為是一幅三角尺，所以∠AOB＝∠COD＝90°，再利用∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝90°﹣∠BOD，∠BOC＝∠COD﹣∠BOD＝90°﹣∠BOD，同角的余角相等，可知與∠AOD始終相等的角是∠BOC．【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝90°﹣∠BOD，∠BOC＝∠COD﹣∠BOD＝90°﹣∠BOD，∴∠AOD＝∠BOC．故答案為：∠BOC．【點評】本題主要考查了余角和補角．用到同角的余角相等．18．如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使邊AB、CB均落在對角線BD上，得折痕BE、BF，則∠EBF＝45°．【分析】根據四邊形ABCD是矩形，得出∠ABE＝∠EBD＝∠ABD，∠DBF＝∠FBC＝∠DBC，再根據∠ABE+∠EBD+∠DBF+∠FBC＝∠ABC＝90°，得出∠EBD+∠DBF＝45°，從而求出答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，根據折疊可得∠ABE＝∠EBD＝∠ABD，∠DBF＝∠FBC＝∠DBC，∵∠ABE+∠EBD+∠DBF+∠FBC＝∠ABC＝90°，∴∠EBD+∠DBF＝45°，即∠EBF＝45°，故答案為：45．【點評】此題考查了角的計算和翻折變換，解題的關鍵是找準圖形翻折后，哪些角是相等的，再進行計算，是一道基礎題．三、解答題（58分）19．已知∠β是∠α的3倍，且∠β的補角比∠α的余角小10°，求∠α的度數．【分析】根據∠β的補角比∠α的余角小10°列出方程（90°﹣∠α）﹣（180°﹣3∠α）＝10°求得∠α的度數即可．【解答】解：∵∠β是∠α的3倍，∴∠β＝3∠α，∵∠β的補角比∠α的余角小10°，∴（90°﹣∠α）﹣（180°﹣3∠α）＝10°，解得：∠α＝50°，∴∠α的度數為50°．【點評】本題考查了余角和補角的知識，解題的關鍵是會表示出一個角的補角和余角．20．如圖，點A、O、C在一直線上，OE是∠BOC的平分線，∠EOF＝90°，∠1比∠2大75°．（1）求∠2的度數．（2）求∠COF的度數．【分析】（1）根據角平分線的定義求得∠2＝∠BOE，再根據∠1與∠2的關系和平角的定義，列方程即可求得∠2的度數；（2）根據余角的定義，可求出∠COF的度數．【解答】解：（1）∵OE平分∠BOC，∴∠2＝∠BOE，設∠2＝x°，則∠1＝（x+75）°，∵∠2+∠BOE+∠1＝180°，∴x+x+x+75＝180，解得x＝35，∴∠2＝35°；（2）∵∠EOF＝∠2+∠COF＝90°，∠2＝35°，∴∠COF＝90°﹣35°＝55°．【點評】本題主要考查了角平分線的定義、平角和余角的定義等知識，能夠根據角與角的和差關系列方程求值是解答問題的關鍵．21．如圖，線段OB與射線OA有一公共端點O，在所給圖中，用直尺和圓規按所給的語句作圖．（保留作圖痕跡）（1）在射線OA上截取線段OC，使OC＝OB；（2）作線段OB的中點M；（3）作∠AOB的平分線OD；（4）如果∠AOB＝48°，OB表示從點O出發正東方向，那么射線OA表示北偏東42°方向．【分析】（1）用圓規在射線OA上截取線段OC＝OB；（2）作線段OB的垂直平分線得到其中點M；（3）利用基本作圖作∠AOB的平分線；（4）根據方向角的定義求解．【解答】解：（1）如圖，OC為所作；（2）如圖，點M為所作；（3）如圖，OD為所作；（4）90°﹣48°＝42°，所以射線OA表示北偏東42°的方向．故答案為北偏東42°．【點評】本題考查了作圖﹣復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了方向角．22．如圖，O是直線AB上一點，射線OD在∠BOC內部．（1）用直尺和圓規作出∠AOC的平分線OE，保留作圖痕跡，不要求寫出作法和結論．（2）在（1）的圖形中，設∠AOE與∠BOD互余．①寫出圖中與∠EOC互余的角：∠COD和∠BOD；②如果射線OB、OA分別表示從點O出發的東、西兩個方向，∠COD＝20°，那么射線OE表示點E在點O的北偏西20°的方向．【分析】（1）利用尺規作出∠AOC的平分線即可；（2）根據余角的性質即可得到結論；（3）根據方向角的定義即可得到結論．【解答】解：（1）如圖，射線OE即為所求；（2）①∵∠AOC的平分線OE，∴∠AOE＝∠COE，∵∠AOE+∠BOD＝90°，∴∠COE+∠COD＝90°，∴∠COD＝∠BOD，∴圖中與∠EOC互余的角有∠COD和∠BOD；②射線OE表示點E在點O的北偏西20°的方向；故答案為∠COD和∠BOD，20．【點評】本題考查了作圖﹣應用與設計作圖、方向角、余角補角等知識，解題的關鍵是熟練掌握五種基本作圖，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．23．已知四邊形ABCD，根據下列語句畫圖．（不寫畫法或作法，保留畫圖或作圖痕跡）（1）延長AB到E使得BE＝AD；（2）畫出∠DAB的平分線交DC于點F；（3）作出線段BC的中點O．（用直尺與圓規）【分析】（1）根據要求作出圖形即可．（2）利用尺規作∠DAB地方角平分線交CD于F．（3）作線段BC的垂直平分線，垂足為O．【解答】解：（1）如圖，線段BE即為所求．（2）如圖，射線AE即為所求．（3）如圖，點O即為所求．【點評】本題考查作圖﹣復雜作圖，線段的垂直平分線的性質，角平分線的定義等知識，解題的關鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考常考題型．24．已知∠AOB＝40°．（1）用直尺和圓規作出∠AOB的平分線OD（不寫作法，但保留作圖痕跡，寫出結論）；（2）已知∠AOB與∠BOC互為補角，畫出符合條件的所有可能的圖形，并求出∠COD的度數．【分析】（1）根據角平分線的定義作出圖形即可．（2）分兩種情形，分別畫出圖形求解即可．【解答】解：（1）如圖，射線OD即為所求．（2）當射線OA在∠BOC的外側時，∠COD＝∠COB+∠BOD＝140°+20°＝160°．當射線OA在∠BOC′內部時，∠C′OD＝∠C′OA+∠AOD＝100°+20°＝120°．【點評】本題考查作圖﹣復雜作圖，角平分線的定義，補角的定義等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．25．定義：從一個角的頂點出發，在角的內部引兩條射線，如果這兩條射線所成的角等于這個角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個角的內半角，如圖1，若∠COD＝∠AOB，則∠COD是∠AOB的內半角．（1）如圖1，∠AOB＝80°，∠AOC＝25°，∠COD是∠AOB的內半角，則∠BOD＝15°；（2）如圖2，已知∠AOB＝60°，將∠AOB繞點O按順時針方向旋轉一個角度α（0＜α＜60°）得∠COD，當旋轉的角度α為何值時，∠COB是∠AOD的內半角；（3）已知∠AOB＝30°，把一塊含有30°角的三角板如圖3疊放，將三角板繞頂點O以3度/秒的速度按順時針方向旋轉（如圖4），問：在旋轉一周的過程中，射線OA、OB、OC、OD能否構成內半角？若能，請直接寫出旋轉的時間；若不能，請說明理由．【分析】（1）根據“內半角”的定義，可求出∠COD的度數，再根據∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD，可得出結論；（2）由旋轉可分別求出∠BOC和∠AOD的度數，再根據“內半角”的定義，可列出等式，即可求出α的值；（3）由旋轉可知，分四種情況，分別進行討論，根據“內半角”的定義，可求出對應的時間．【解答】解：（1）如圖1，∵∠AOB＝80°，∠COD是∠AOB的內半角，∴