“5+2”解答題狂練（四）分?jǐn)?shù)：70分時間：60分1．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知（1）求角的大小；（2）已知，的面積為6，求邊長的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由二倍角的余弦公式把降次，再用兩個角的和的余弦公式求，由三角形三內(nèi)角和定理可求得，從而求得角；（2）根據(jù)三角形的面積公式求出邊，再由余弦定理求邊.【詳解】試題分析：（1）由已知得，化簡得，故，所以，因為，所以.（2）因為，由，，，所以，由余弦定理得，所以.【點睛】本題主要考查了兩角和差公式的應(yīng)用及利用余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題.2．我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進行調(diào)查，通過抽樣，獲得某年100為居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求直方圖的的值；（2）設(shè)該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，說明理由；（3）估計居民月用水量的中位數(shù).

【答案】(1)；(2)36000；（3）.【解析】本題主要考查頻率分布直方圖、頻率、頻數(shù)的計算等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題、解決問題的能力.第（Ⅰ）問，由高×組距=頻率，計算每組的頻率，根據(jù)所有頻率之和為1，計算出a的值；第（Ⅱ）問，利用高×組距=頻率，先計算出每人月均用水量不低于3噸的頻率，再利用頻率×樣本容量=頻數(shù)，計算所求人數(shù)；第（Ⅲ）問，將前5組的頻率之和與前4組的頻率之和進行比較，得出2≤x<2.5，再估計月均用水量的中位數(shù).【詳解】（Ⅰ）由頻率分布直方圖，可知：月均用水量在[0,0.5）的頻率為0.08×0.5=0.04.同理，在[0.5,1），[1.5,2），[2,2.5），[3,3.5），[3.5,4），[4,4.5）等組的頻率分別為0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.由1–（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5×a+0.5×a，解得a=0.30.（Ⅱ）由（Ⅰ）100位居民月均用水量不低于3噸的頻率為0.06+0.04+0.02=0.12.由以上樣本的頻率分布，可以估計30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300000×0.12=36000.（Ⅲ）設(shè)中位數(shù)為x噸.因為前5組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5，而前4組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5所以2≤x<2.5.由0.50×（x–2）=0.5–0.48，解得x=2.04.故可估計居民月均用水量的中位數(shù)為2.04噸.【考點】頻率分布直方圖【名師點睛】本題主要考查頻率分布直方圖、頻率、頻數(shù)的計算公式等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題、解決問題的能力.在頻率分布直方圖中，第n個小矩形的面積就是相應(yīng)組的頻率，所有小矩形的面積之和為1，這是解題的關(guān)鍵，也是識圖的基礎(chǔ)．3．如圖2，四邊形為矩形，平面，，，作如圖3折疊，折痕.其中點、分別在線段、上，沿折疊后點在線段上的點記為，并且.（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】試題分析：（1）要證CF⊥平面MDF，只需證CF⊥MD，且CF⊥MF即可；由PD⊥平面ABCD，得出平面PCD⊥平面ABCD，即證MD⊥平面PCD，得CF⊥MD；（2）求出△CDE的面積S△CDE，對應(yīng)三棱錐的高MD，計算它的體積VMCDE．試題解析：（1）證明：∵PD⊥平面ABCD，PD?平面PCD，∴平面PCD⊥平面ABCD；又平面PCD∩平面ABCD=CD，MD?平面ABCD，MD⊥CD，∴MD⊥平面PCD，CF?平面PCD，∴CF⊥MD；又CF⊥MF，MD、MF?平面MDF，MD∩MF=M，∴CF⊥平面MDF；（2）∵CF⊥平面MDF，∴CF⊥DF，又易知∠PCD=60°，∴∠CDF=30°，∴CF=CD=；∵EF∥DC，∴，即，∴，∴，，=，∴【考點】空間線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)，空間幾何體的體積計算，邏輯推論證能力，運算求解能力4．已知拋物線的焦點也是橢圓的一個焦點.與的公共弦的長為.過點的直線與相交于，兩點，與相交于，兩點，且與同向.（1）求的方程；（2）若，求直線的斜率.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由拋物線方程可求出焦點，進而得出，再由公共弦的長為可得出，聯(lián)立方程可求出，，寫出方程即可；（2）設(shè)，，，，由題可得，即，設(shè)的方程為，聯(lián)立直線與拋物線可得，，聯(lián)立直線與橢圓可得，，即可建立方程求出.【詳解】（1）由知其焦點的坐標(biāo)為.因為也是橢圓的一個焦點，所以.①又與的公共弦的長為，與都關(guān)于軸對稱，且的方程為，由此易知與的公共點的坐標(biāo)為，所以.②聯(lián)立①，②得，.故的方程為.（2）如圖，設(shè)，，，.因與同向，且，所以，從而，即，于是.③設(shè)直線的斜率為，則的方程為.由，得.而，是這個方程的兩根，所以，.④由，得.而，是這個方程的兩根，所以，，⑤將④，⑤代入③，得，即，所以，解得，即直線的斜率為.【點睛】本題考查橢圓方程的求法，考查拋物線與橢圓的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.5．設(shè)f(x)=xlnx–ax2+(2a–1)x，aR.（Ⅰ）令g(x)=f'(x)，求g(x)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）已知f(x)在x=1處取得極大值.求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（Ⅰ）當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅱ）【解析】試題分析：（Ⅰ）先求出，然后討論當(dāng)時，當(dāng)時的兩種情況即得.（Ⅱ）分以下情況討論：①當(dāng)時，②當(dāng)時，③當(dāng)時，④當(dāng)時，綜合即得.試題解析：（Ⅰ）由可得，則，當(dāng)時，時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，時，，函數(shù)單調(diào)遞增，時，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.①當(dāng)時，，單調(diào)遞減.所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減.當(dāng)時，，單調(diào)遞增.所以在x=1處取得極小值，不合題意.②當(dāng)時，，由(Ⅰ)知在內(nèi)單調(diào)遞增，可得當(dāng)當(dāng)時，，時，，所以在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以在x=1處取得極小值，不合題意.③當(dāng)時，即時，在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，不合題意.④當(dāng)時，即，當(dāng)時，，單調(diào)遞增,當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以f(x)在x=1處取得極大值，合題意.綜上可知，實數(shù)a的取值范圍為.【考點】應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值,分類討論思想【名師點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計算、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、分類討論思想.本題覆蓋面廣，對考生計算能力要求較高，是一道難題.解答本題，準(zhǔn)確求導(dǎo)是基礎(chǔ)，恰當(dāng)分類討論是關(guān)鍵，易錯點是分類討論不全面、不徹底、不恰當(dāng).本題能較好地考查考生的邏輯思維能力、基本計算能力及分類討論思想等.6．在直角坐標(biāo)系中，圓的方程為．（Ⅰ）以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）,與交于兩點，，求的斜率．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】試題分析：（Ⅰ）利用，化簡即可求解；（Ⅱ）先