數字信號處理

DigitalSignalProcessing第五章時域離散系統的網絡結構福建農林大學金山學院信息與機電工程系

(309428110@)第五章時域離散系統的網絡結構11/22/20242第五章時域離散系統的網絡結構本章主要內容5.1引言5.2用信號流圖表示網絡結構5.3無限長脈沖響應基本網絡結構5.4有限長脈沖響應基本網絡結構5.5FIR系統的線性相位結構5.6FIR系統的頻率采樣結構11/22/20243第五章時域離散系統的網絡結構

5.1引言系統分析——已知某一系統的結構及相關參數進行系統特性分析，分析其系統穩定性、頻率響應特性等。

系統綜合——根據已知系統的相關特性（技術指標）進行系統結構及參數設計。設計實現11/22/20244第五章時域離散系統的網絡結構

數字濾波器是指輸入、輸出均為數字信號，通過一定運算關系改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或者濾除某些頻率成分的器件。

5.1引言11/22/20245第五章時域離散系統的網絡結構πωcω00ωcπω0ωcπωH(ejω)為矩形窗時的情形11/22/20246第五章時域離散系統的網絡結構濾波器的功能與實現實現濾波從運算上看，只需三種運算：加法、單位延遲、乘常數。因此數字濾波器的實現方法：利用通用計算機編程，即軟件實現;數字信號處理器（DSP）即專用硬件實現。

5.1引言11/22/20247第五章時域離散系統的網絡結構以一階數字濾波器為例：只要按照流程圖編成程序，就可以讓一臺通用計算機來完成這個運算。

5.1引言11/22/20248第五章時域離散系統的網絡結構這個運算也可用專用設備來實現。這個設備是由輸入輸出延時部分、系數ai、bi存儲器、運算器及控制器組成。每一部分都可以用數字硬件來構成。

5.1引言11/22/20249第五章時域離散系統的網絡結構時域離散系統可以用差分方程來描述：

對應的系統函數：

5.1引言11/22/202410第五章時域離散系統的網絡結構

為了用計算機或專用硬件對輸入信號的處理，必須把上式變換成一種算法，按照這種算法對輸入信號進行運算。如果給定一個差分方程，對應不同的算法有很多種，例如：

因此研究實現信號的算法是一個很重要的問題，可用網絡結構表示具體的算法，因此，網絡結構實際表示的是一種運算結構。本章重點介紹數字系統的基本網絡結構。H1(z)=H2(z)=H3(z)不同的系統函數對應不同的算法，不同的算法直接影響系統運算誤差，運算速度以及系統的復雜程度和成本

5.1引言11/22/202411第五章時域離散系統的網絡結構實現數字信號處理的三種基本運算單元：

加法器單位延遲器常數乘法器基本的單元兩種表示法：

方框圖法信號流圖法

5.2用信號流圖表示網絡結構11/22/202412第五章時域離散系統的網絡結構aa

x(n)x(n)《信號與系統》的方框圖表示法DSP中三種基本運算流圖x(n)z-1x(n-1)延時單元x(n)Z

1x(n-1)加法單元x1(n)x1(n)x2(n)乘法單元ax(n)a

x(n)x2(n)x1(n)+x2(n)Z

1和a為支路增益，箭頭表示信號流動方向，兩個變量相加，用一圓點表示。信號流圖的的圓點(

)表示節點，有輸入(x(n))、輸出(y(n))、中間節點。每個節點處的信號稱為節點變量，節點間連線稱為支路。所以信號流圖由連接節點的一些有方向性的支路構成。

5.2用信號流圖表示網絡結構11/22/202413第五章時域離散系統的網絡結構不同的信號流圖代表不同的運算方法，而對于同一個系統函數可以有多種信號流圖相對應。從基本運算考慮，滿足以下條件，稱為基本信號流圖。信號流圖中所有支路的增益是常數或者是z-1；流圖環路中必須存在延時支路；節點和支路的數目是有限的。

5.2用信號流圖表示網絡結構11/22/202414第五章時域離散系統的網絡結構

基本信號流圖對應一種具體的運算方法，非基本信號流圖不能用一種具體的運算方法來實現。網絡結構可以通過基本信號流圖來描述。ax(n)y(n)H(z)圖1-bx(n)y(n)圖2

以上兩圖都不滿足基本信號流圖的條件，圖1支路的增益不是常數或Z-1，圖2的流圖環路中沒有延時支路。

5.2用信號流圖表示網絡結構例題1：判斷下列兩圖是否為基本信號流圖。11/22/202415第五章時域離散系統的網絡結構由基本信號流圖求系統函數H(z)根據給定的信號流圖，設置中間節點變量，節點變量w(n)等于該節點的所有輸入支路變量之和。代入中間節點變量，就可以最終確定流圖的輸入與輸出關系，并根據輸入、輸出關系求出系統函數H(z)。

5.2用信號流圖表示網絡結構11/22/202416第五章時域離散系統的網絡結構

已知基本信號流圖如下，求其系統函數H(z)。解:(1)首先在信號流圖中，設置中間節點變量w2'(n)、w2(n)、w1(n)，列出節點變量狀態方程；并對各方程求Z變換。

5.2用信號流圖表示網絡結構例題2：x(n)y(n)W2’(n)W2(n)W1(n)z-1b1b0-a2-a1b2z-111/22/202417第五章時域離散系統的網絡結構(2)求解狀態變量的Z變換方程，用X(z)和常數，Z-m表示Y(z),根據H(z)=Y(z)/X(z)，求出系統函數H(z)。

5.2用信號流圖表示網絡結構w1(n)=w2(n-1);w2(n)=w2’(n-1);w2’(n)=x(n)-a1w2(n)-a2w1(n);y(n)=b2w1(n)+b1w2(n)+b0w2’(n);

W1(z)=W2(z)z-1;W2(z)=W2’(z)z-1;W2’(z)=X(z)-a1W2(z)-a2W1(z);Y(z)=b2W1(z)+b1W2(z)+b0W2’(z);11/22/202418第五章時域離散系統的網絡結構網絡結構分類：按脈沖響應的長度分類無限脈沖響應（IIR）網絡有限脈沖響應（FIR）網絡

5.2用信號流圖表示網絡結構11/22/202419第五章時域離散系統的網絡結構差分方程

系統函數IIR濾波器在結構上存在輸出到輸入的反饋

無限脈沖響應（IIR）網絡

11/22/202420第五章時域離散系統的網絡結構差分方程系統函數FIR濾波器的結構上不存在輸出到輸入的反饋，信號流圖中不存在環路。有限脈沖響應（FIR）網絡

11/22/202421第五章時域離散系統的網絡結構直接I型結構

直接II（典范）型結構級聯型結構并聯型結構

5.3無限脈沖響應的基本結構11/22/202422第五章時域離散系統的網絡結構一、直接型I型結構按差分方程可以寫出。11/22/202423第五章時域離散系統的網絡結構直接型特點：第二個網絡實現極點，即實現y(n)加權延時:可見，第二網絡是輸出延時，即反饋網絡。

*共需（M+N）個存儲延時單元。第一個網絡實現零點，即實現x(n)加權延時:11/22/202424第五章時域離散系統的網絡結構優點：結構簡單、清晰；缺點：所用運算單元多，延時支路較多；

ak、bk常數對濾波器的性能控制作用不明顯；零、極點關系不明顯，調整困難。

直接型特點：11/22/202425第五章時域離散系統的網絡結構直接型結構是由兩個網絡級聯組成：

對線性非移變系統，有交換兩個網絡次序，得到典范（正準）型結構

二、直接II（典范）型結構11/22/202426第五章時域離散系統的網絡結構需2N個延時單元H1(z)

H2(z)

二、直接II（典范）型結構對調11/22/202427第五章時域離散系統的網絡結構H2(z)H1(z)二、直接II（典范）型結構合并11/22/202428第五章時域離散系統的網絡結構僅需N個延時單元二、直接II（典范）型結構11/22/202429第五章時域離散系統的網絡結構習題1、用直接I型及典范結構實現以下系統函數：解：根據IIR濾波器的系統函數標準式將系統函數整理為：11/22/202430第五章時域離散系統的網絡結構得，，直接I型結構：典范型結構：11/22/202431第五章時域離散系統的網絡結構注意：系統函數要化為負冪次有理分式，且分母常數項系數為1，其他項為-ai的形式；差分方程要化為后向差分方程，左邊只有一項y(n)，且其系數為1；可以根據差分方程或系統函數畫信號流圖，其前向支路的系數就是系統函數（或差分方程）中的系數bi，后向支路的系數就是系統函數（或差分方程中的系數）中的系數ai；注意空缺項，在畫信號流圖時標出對應系數為零或斷開該支路。11/22/202432第五章時域離散系統的網絡結構思考題：z-1z-11.2-0.72x(n)y(n)數字濾波器的結構如圖：（1）寫出它的差分方程和系統函數；（2）判斷該濾波器是否因果穩定；（3）按照零、極點分布定性畫出其幅頻特性曲線，并近似求出幅頻特性峰值點頻率。

11/22/202433第五章時域離散系統的網絡結構H(Z)的極點為：z1=0.6+j0.6，z2=0.6-j0.6極點均在單位圓內，濾波器因果穩定幅頻特性峰值點頻率近似為：11/22/202434第五章時域離散系統的網絡結構直接型與典范性結構特點同：都是直接型的實現方法，共同的缺點是系數ak,bk對濾波器的性能控制不明顯，這是因為它們與系統函數的零、極點關系不明顯，因而調整困難；此外，直接型結構極點對系數的變化過于靈敏，容易出現不穩定或產生較大誤差。異：典范性所需的延時單元較少，可節省存儲單元或寄存器。11/22/202435第五章時域離散系統的網絡結構三、級聯型結構先將系統函數按零、極點進行因式分解11/22/202436第五章時域離散系統的網絡結構再將共軛因子展開，構成實系數二階因子，則得為了簡化級聯形式，將實系數的兩個一階因子組合成二階因子（或將一階因子看成是二階因子的退化形式），

則整個可寫成實系數二階因子的形式：11/22/202437第五章時域離散系統的網絡結構級聯型結構

IIR的級聯型網絡結構：H(z)=H1(z)H2(z)

Hk(z)，級聯型示意圖：y(n)x(n)H1(z)H2(z)Hk(z)(a)典范型一階網絡結構；(b)典范型型二階網絡結構級聯型結構不是唯一的11/22/202438第五章時域離散系統的網絡結構級聯型結構

11/22/202439第五章時域離散系統的網絡結構所需存儲器最少，系統結構組成靈活；該結構應用最廣泛。每一個基本節與濾波器的一對極點和一對零點有關。調整系數、可以單獨調整濾波器第對零點，而不影響其它零點、極點。調整系數、單獨調整濾波器第對極點，而不影響其它零點、極點。

級聯型結構的優點11/22/202440第五章時域離散系統的網絡結構存在誤差積累、級聯結構中后面的網絡輸出不會傳送到前面，所以運算誤差的積累相對于直接型要小；零、極點配合關系著網絡最優化的問題，而最佳配合關系不易確定。級聯結構可以有許多不同搭配關系，不同方案性能不同。級聯型結構的缺點11/22/202441第五章時域離散系統的網絡結構習題2：設系統的系統函數為試畫出各種可能的級聯型結構，并指出哪一種最好。

解：由于系統函數的分子和分母各有兩個因式，因而可以有兩種級聯型結構。

H(z)=H1(z)H2(z)①11/22/202442第五章時域離散系統的網絡結構畫出級聯型結構如圖(a)所示。②，畫出級聯型結構如圖（b）所示。

第一種級聯型結構最好，因為用的延時器少。11/22/202443第五章時域離散系統的網絡結構11/22/202444第五章時域離散系統的網絡結構四、并聯型結構并聯型表示

將H（Z）展成部分分式形式:

式中，Hi(z)通常為一階網絡和二階網絡，網絡系統均為實數。二階網絡的系統函數一般為：式中，β0i、β1i、α1i和α2i都是實數。如果β1i=a2i=0則構成一階網絡。11/22/202445第五章時域離散系統的網絡結構四、并聯型結構并聯型表示

其輸出Y(z)表示為：

Y(z)=H1(z)X(z)+H2(z)X(z)+…+Hk(z)X(z)表明：將x(n)送入每個二階(或一階)網絡后，將所有輸出相加得到輸出y(n)

y(n)x(n)Hk(z)H2(z)H1(z)a將系統函數展成部分分式，每個部分分式一般是一階或二階的形式，每個部分分式用直接型結構實現，將這些直接型結構并聯，形成并聯型結構的系統11/22/202446第五章時域離散系統的網絡結構圖

并聯型結構

四、并聯型結構11/22/202447第五章時域離散系統的網絡結構并聯結構可以單獨調整極點位置。所以，在要求準確傳輸極點的場合，宜采用這種結構。各并聯基本節的誤差相互沒有影響，無誤差積累，因此，并聯形式運算誤差最小。由于基本節并聯，可同時對輸入信號進行運算，因此并聯型結構運算速度快。并聯型結構的優點11/22/202448第五章時域離散系統的網絡結構但不能像級聯型那樣單獨調整零點的位置，因為并聯型各子系統的零點，并非整個系統函數的零點。當H(z)有多階極點時，部分分式展開不易。并聯型結構的缺點11/22/202449第五章時域離散系統的網絡結構習題3:若系統函數

，求H(z)的并聯型結構。解：確定H(z)極點z1=0.5，z2=0.25均為一階極點；并將H(z)表示成Zn正冪等式，對H(z)展開成部分分式18250125050250=-++=-===zzzzzzzzzHA

).().()(..12++zzzH)(50250250250=-=-===zzzzzz25-

).().(B..282505012020=--++====zzzzzzzzzH).)(.()(C11/22/202450第五章時域離散系統的網絡結構將上式每一部分用直接型結構實現，其并聯型結構如下圖：0.5Z-118

y(n)x(n)80.25Z-1－2511/22/202451第五章時域離散系統的網絡結構習題4、設系統函數如下式：試畫出它的并聯型結構圖。解首先將系統函數寫成下式:11/22/202452第五章時域離散系統的網絡結構將分母進行因式分解，得到:11/22/202453第五章時域離散系統的網絡結構轉置定理如果將原網絡中所有支路的方向加以反轉，并將輸入和輸出相互交換，則網絡的系統函數不會改變。

轉置結構

轉置結構轉置11/22/202454第五章時域離散系統的網絡結構IIR基本網絡結構特點比較零極點調節運算誤差運算速度直接Ⅰ(Ⅱ)型級聯型并聯型不能直接調節零極點單獨調節極點單獨調節較大相對直接型小最小最快所需延時單元2N(N)NN一般一般11/22/202455第五章時域離散系統的網絡結構已知某三階數字濾波器的系統函數為試畫出其直接型、級聯型和并聯型結構。例題3：11/22/202456第五章時域離散系統的網絡結構i直接型將系統函數H(z)表達為11/22/202457第五章時域離散系統的網絡結構ii級聯型將系統函數H(z)表達為一階、二階實系數分式之積11/22/202458第五章時域離散系統的網絡結構iii并聯型將系統函數H(z)表達為部分分式之和的形式11/22/202459第五章時域離散系統的網絡結構

h(n)為一個N點序列，H(z)在Z=0處為（N-1）階極點，有（N-1）個零點。

5.4有限脈沖響應的基本結構一、特點：1、h（n）在有限個n值處不為零。2、H（z）在處收斂，極點全部在Z=0處。3、非遞歸結構。11/22/202460第五章時域離散系統的網絡結構5.4.1橫截型（直接型、卷積型）FIR濾波器的差分方程ai=011/22/202461第五章時域離散系統的網絡結構5.4.1橫截型（直接型、卷積型）FIR濾波器的差分方程11/22/202462第五章時域離散系統的網絡結構

h(n)=bi

i=0,1,….,N-111/22/202463第五章時域離散系統的網絡結構

習題4假設系統的系統函數為

H(z)=1+2.88z－1+3.4048z－2+1.74z－3+0.4z－4

要求畫出系統的直接型結構以及描述系統的差分方程。

解：

系統的差分方程為

y(n)=x(n)+2.88x(n－1)+3.4048x(n－2)+1.74x(n－3)+0.4x(n－4)

其直接型結構如圖所示。11/22/202464第五章時域離散系統的網絡結構5.4.2級聯型H(z)進行因式分解，并將共軛成對的零點放在一起，形成一個系數為實數的二階網絡，形式如下：β0i、β1i、β2都是實數。如果β2i=0則為一階網絡。

1L

2L

22

12

0L

02x(n)y(n)

01

11

21z-1z-1z-1z-1z-1z-1FIR級聯型網絡結構示意圖11/22/202465第五章時域離散系統的網絡結構習題5設FIR網絡系統函數H(z)如下式：

H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3

畫出H(z)的直接型結構和級聯型結構。解：將H(z)進行因式分解，得到：

H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2)

其直接型結構和級聯型結構如圖所示。

11/22/202466第五章時域離散系統的網絡結構5.4.2級聯型級聯型結構的特點級聯型結構每一個一階因子控制一個實數零點每一個二階因子控制一對共軛零點。調整零點位置比直接型方便。但是它所需要的系數比直接型多，因而需要的乘法器多。

11/22/202467第五章時域離散系統的網絡結構所謂線性相位：是指濾波器產生的相移與輸入信號頻率成線性關系。（1）線性相位的定義FIR的線性相位是非常重要的，因為數據傳輸以及圖像處理都要求系統具有線性相位，而FIR濾波器由于它的沖激響應是有限長的,因而有可能做成嚴格線性相位的。5.5FIR系統的線性相位結構11/22/202468第五章時域離散系統的網絡結構若FIRDF的h(n)是實數，且滿足對稱性。即滿足約束條件：偶對稱h(n)=h(N-1-n);

奇對稱h(n)=-h(N-1-n);

也就是說h(n)的對稱中心在（N-1）/2，則這種FIR濾波器就具有嚴格線性相位。下面我們針對h(n）的奇、偶進行討論。5.5FIR系統的線性相位結構11/22/202469第五章時域離散系統的網絡結構令n’=N-1-n代入用n=n’并應用線性FIR特性：h(n)=h(N-1-n)（1）h(n)為偶，N=偶數時FIR的線性相位的特性11/22/202470第五章時域離散系統的網絡結構其中h(0)=h(N-1),h(1)=h(N-2)……(2)

h(n)為偶，N=偶數時,線性相位FIR的結構流圖Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)x(n-N/2+1)h(0)h(1)h(2)h(3)h(N/2-2)h(N/2-1)…….z-1z-1z-1z-1共有（N/2-1）項H(Z)11/22/202471第五章時域離散系統的網絡結構當N=奇數時，有一中間項h((N-1)/2)無法合并，需提出來：（3）h(n)為偶，N=奇數時FIR的線性相位的特性11/22/202472第五章時域離散系統的網絡結構其中h(0)=h(N-1),h(1)=h(N-2)……,h((N-3)/2)=h((N-1)/2共有（N-3）/2項(3)

h(n)為偶，N=奇數時,線性相位FIR的結構流圖h(N-1)Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)h(0)h(1)h(2)h(3)…….11/22/202473第五章時域離散系統的網絡結構當h(n)=偶對稱時，即h(n)=h(N-1-n),可求出:N=奇數時（4）總結：h(n)為偶對稱，N=奇、偶數時FIR的線性相位的特性N=偶數時11/22/202474第五章時域離散系統的網絡結構當h(n)=奇對稱時，即h(n)=-h(N-1-n),可求出:N=奇數時（5）h(n)為奇對稱，N=奇、偶數時FIR的線性相位的特性N=偶數時11/22/202475第五章時域離散系統的網絡結構Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)x(n-N/2+1)h(0)h(1)h(2)h(3)h(N/2-2)h(N/2-1)…….z-1z-1z-1z-1-1-1-1-1-1-1h(n)為奇對稱，N=偶數時，線性相位FIR的結構流圖11/22/202476第五章時域離散系統的網絡結構h(N-1)Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)h(0)h(1)h(2)h(3)…….-1-1-1-1-1h(n)為奇對稱，N=奇數時，線性相位FIR的結構流圖11/22/202477第五章時域離散系統的網絡結構

頻率域等間隔采樣，相應的時域信號會以采樣點數為周期進行周期性延拓，如果在頻率域采樣點數N大于等于原序列的長度M，則不會引起信號時域混疊，此時原序列的z變換H(z)與頻域采樣值H(k)滿足下面關系式：

要求：頻率域采樣點數N≥M，上式提供了一種稱為頻率采樣的FIR網絡結構。k=0,1,2,…N-15.6FIR系統的頻率采樣結構11/22/202478第五章時域離散系統的網絡結構11/22/202479第五章時域離散系統的網絡結構由：得到FIR濾波器的頻率抽樣型結構。它由兩部分級聯而成。

其中：第一部分為梳狀濾波器

第二部分N個諧振器組成的諧振柜（1）頻率抽樣型濾波器結構11/22/202480第五章時域離散系統的網絡結構它是一個由N節延時單元所組成的梳狀濾波器。由看出：(2)梳狀濾波器令零、極點特性11/22/202481第五章時域離散系統的網絡結構而等間隔角度之間為所以即在單位圓上有N個等間隔角度的零點。(2)梳狀濾波器11/22/202482第五章時域離散系統的網絡結構

諧振器：是一階網絡。z-1W-kH(k)Hk(z)諧振器的零極點：此為一階網絡，有一極點：（3）諧振器11/22/202483第五章時域離散系統的網絡結構

諧振柜：它是由N個諧振器并聯而成的。這個諧振柜的極點正好與梳狀濾波器的一個零點（i=k)相抵消，保證了網絡的穩定性。從而使這個頻率（w=2πk/N)上的頻率響應等于H(k)。(4)諧振柜11/22/202484第五章時域離散系統的網絡結構H(ejw)H(k)(4)諧振柜11/22/202485第五章時域離散系統的網絡結構z-1W-kH(0)z-1W-kH(1)z-1W-kH(2)z-1W-kH(N-1)-z-Nx(n)y(n)（5）頻率抽樣型結構流圖將兩部分級聯起來，得到頻率抽樣結構流圖。11/22/202486第五章時域離散系統的網絡結構優點：頻響特性調整方便，在頻率采樣點ωk，H(ejωk)=H(k)，只要調整H(k)(即一階網絡Hk(z)中乘法器的系數H(k))，可有效地調整頻響特性。易于標準化、模塊化：只要h(n)長度N相同，對于任何頻響形狀，其梳狀濾波器部分和N一階網絡部分結構完全相同，只是各支路增益H(k)不同。這樣，相同部分便于標準化、模塊化。

(6)頻率抽樣型結構特點11/22/202487第五章時域離散系統的網