專題09空間向量與立體幾何1．（2022·北京昌平·二模）如圖，在正四棱柱中，是底面的中心，分別是的中點，則下列結論正確的是（

）A．// B．C．//平面 D．平面【答案】B【解析】在正四棱柱中，以點D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，令，是底面的中心，分別是的中點，則，，，對于A，顯然與不共線，即與不平行，A不正確；對于B，因，則，即，B正確；對于C，設平面的法向量為，則，令，得，，因此與不垂直，即不平行于平面，C不正確；對于D，由選項C知，與不共線，即不垂直于平面，D不正確.故選：B2．（2022·福建省福州第一中學三模）以下四組向量在同一平面的是（

）A．、、 B．、、C．、、 D．、、【答案】B【解析】對于A選項，設，所以，，無解；對于B選項，因為，故B選項中的三個向量共面；對于C選項，設，所以，，無解；對于D選項，設，所以，，矛盾.故選：B.3．（2022·北京·101中學三模）如圖，已知正方體的棱長為，是的中點，點在側面（含邊界）內，若，則面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，設，則，，因為，所以，得，所以，所以，當時，取最小值，易知，所以的最小值為．故選：D.4．（2022·四川雅安·二模）如圖，長方體中，點E，F(xiàn)分別是棱，上的動點（異于所在棱的端點）.給出以下結論：①在F運動的過程中，直線能與AE平行；②直線與EF必然異面；③設直線AE，AF分別與平面相交于點P，Q，則點可能在直線PQ上.其中所有正確結論的序號是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【解析】長方體中，，連接，，當點E，F(xiàn)分別是棱，中點時，由勾股定理得：，故，同理可得：，故四邊形是平行四邊形，所以在F運動的過程中，直線能與AE平行，與EF相交，①正確，②錯誤；以為坐標原點，，，所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則當點E，F(xiàn)分別是棱，中點且長方體為正方體時，設棱長為2，則，，，則，，則，又兩向量有公共點，所以三點共線，故則點可能在直線PQ上，③正確.故選：B5．（2022·山東泰安·二模）已知A，B兩點都在以PC為直徑的球O的球面上，AB⊥BC，AB＝BC＝4，若球O的體積為，則異面直線PB與AC所成角的余弦值為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖，取中點，連接，由可得是的外心，則平面，又，，由得，即，又，，分別是中點，，，以為軸建立空間直角坐標系，則，與平行的向量，，故異面直線PB與AC所成角的余弦值為.故選：A.6．（2022·浙江嘉興·模擬）如圖，在矩形中，，E，F(xiàn)，G，H分別為邊的中點，將分別沿直線翻折形成四棱錐，下列說法正確的是（

）A．異面直線所成角的取值范圍是 B．異面直線所成角的取值范圍是C．異面直線所成角的取值范圍是 D．異面直線所成角的取值范圍是【答案】C【解析】解：建立如圖所示空間直角坐標系，由題意得，和在平面中的投影分別在和上（如下圖所示），因為，令，則，由比值可知，的x，y，z坐標比值為，所以令坐標為，因為在平面中的投影在上，所以，同理可得坐標為，，則，解得，因為和的范圍均為，所以，即夾角范圍是，故A，B錯誤；同理可得，因為異面直線所成角范圍是，則夾角范圍是．即C正確，D錯誤；故選：C．7．（2022·安徽·合肥市第八中學模擬（理））平行六面體中，，則與底面所成的線面角的正弦值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：如圖所示，連接，相交于點，連接．平行六面體中，且，不妨令，，都是等邊三角形．是等邊三角形．，，，平面平面，平面，平面平面，是與底面所成角．因為，，所以．如圖建立空間直角坐標系，則，，，，其中的坐標計算如下，過作交于點，因為，，所以，所以，，因為所以，所以，顯然平面的法向量為，設與底面所成的角為，則故選：A8．（2022·安徽合肥·二模（文））在直三棱柱中，，，為該三棱柱表面上一動點，若，則點的軌跡長度為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為，，所以可將直三棱柱補形為邊長為2的正方體，取的中點E，F(xiàn)，G，H，K，L按順序連接.，，如圖所示，正方體中，，，所以面，所以，因為，所以.同理可得，因為，所以面，其中為正六邊形.因為E，G，H，L為的中點，所以M，N為的四等分點，根據(jù)正方體對稱性，知O為MN中點也是BC中點，因為，所以點P在過點O垂直于BC的平面內，即點P在面內.又因為點P在三棱柱表面上，所以P點的軌跡為五邊形MNEFG，，由正六邊形及正方體對稱性可知，故點P的軌跡長度為，故選：B9．（2022·湖南·長郡中學模擬）（多選題）已知正方體的邊長為2，M為的中點，P為側面上的動點，且滿足平面，則下列結論正確的是（

）A． B．平面C．與所成角的余弦值為 D．動點P的軌跡長為【答案】BCD【解析】如圖建立空間直角坐標系，設正方體棱長為2，則，所以，由平面，得，即，化簡可得：，所以動點P在直線上，對于選項A：，所以與不垂直，所以A選項錯誤；對于選項B：平面平面，所以平面，B選項正確；對于選項C：，C選項正確；對于選項D：動點P在直線上，且P為側面上的動點，則P在線段上，，所以，D選項正確；故選：BCD.10．（2022·江蘇淮安·模擬）（多選題）如圖，已知正方體ABCD—的棱長為1，P為正方形底面ABCD內一動點，則下列結論正確的有（

）A．三棱錐的體積為定值B．存在點P，使得C．若，則P點在正方形底面ABCD內的運動軌跡是線段ACD．若點P是AD的中點，點Q是的中點，過P，Q作平面α垂直于平面，則平面α截正方體的截面周長為3【答案】ACD【解析】對于A，P為正方形底面ABCD時，三棱錐的高不變，底面積也不變，所以體積為定值，所以A正確；對于B，以D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，；若，則，即，與題意矛盾，所以B不正確；對于C，，由得，所以的軌跡就是線段，所以C正確；對于D，因為，所以平面；因為平面平面，所以平面；以為參照線作出平面與正方體各個側面的交線，如圖，易知每個側面的交線均相等，長度為，所以截面周長為，所以D正確.故選：ACD.11．（2022·江蘇·蘇州市第六中學校三模）（多選題）某酒店大堂的壁燈的外觀是將兩個正三棱錐的底面重合構成的一個六面體（如圖），已知，現(xiàn)已知三棱錐的高大于三棱錐的高，則（

）A．∥平面B．二面角的余弦值小于C．該六面體存在外接球D．該六面體存在內切球【答案】BD【解析】連接AE交平面BCD于F.延長DF交BC于H.因為該幾何體為兩個正三棱錐的底面重合構成的一個六面體，且，所以為邊長為1的正三角形，且F為的中心，且面,面.所以,.以H為原點，為x軸正方向，為y軸正方向，過H作Hz平行AF，為z軸建立空間直角坐標系,則，，，，，（）.所以,,.對于A：設為面的一個法向量，則，不妨令y=1，則.假設∥平面，則有，解得：.這與相矛盾，所以∥平面不成立.故A錯誤；對于B：因為面,所以.在正三角形中，.又,所以面,所以,.所以為二面角的平面角.在EF上取點G，使.連接BG、CG、DG、HG.則幾何體GBCD為正三棱錐，且與正三棱錐ABCD全等.所以,.由余弦定理得：.如圖示：因為,所以.即二面角的余弦值小于.故B正確；對于C：假設該六面體存在外接球，設其球心為O.則球O必經過ABCD,所以球O為正三棱錐ABCD的外接球，設球O的半徑為R.由得：.因為,,所以，解得：.設球O的與AE的另一個交點為M，則,所以而,所以球O不能經過點E.即該六面體不存在外接球.故C錯誤；對于D：由于該六面體是將兩個正三棱錐的底面重合構成的，所以存在球Q與六面體均相切，設內切球的半徑為r.設.由等體積法可得：.而，可求出.故該六面體存在內切球.故D正確.故選：BD12．（2022·山東師范大學附中模擬）（多選題）已知正方體棱長為2，P為空間中一點．下列論述正確的是（

）A．若，則異面直線BP與所成角的余弦值為B．若，三棱錐的體積為定值C．若，有且僅有一個點P，使得平面D．若，則異面直線BP和所成角取值范圍是【答案】ABD【解析】選項A：由題，如下圖，P為中點，取的中點O，連接，則，所以或其補角即為異面直線與所成的角，易得，所以，A正確；選項B：由條件，可知P點的軌跡為線段，因為，故P到平面的距離為定值，且三角形面積為定值，故三棱錐體積為定值．故選項B正確．選項C：由可知點P在線段上（E、F分別為、中點），因為平面，所以平面即為平面，點P即為平面與直線交點，此交點在延長線上，故選項C錯誤．選項D：由可知點P的軌跡為線段．建系如圖，得，設，則，所以，令，當，即時，，此時直線和所成角是；當，即時，則，令，，所以當，即時，取最大值為，直線和所成角的最小值為，故選項D正確．故選：ABD.13．（2022·福建漳州·三模）已知正方體ABCD—的棱長為4，M在棱上，且1，則直線BM與平面所成角的正弦值為___________．【答案】【解析】如圖所示，以為原點，方向為軸，建立空間直角坐標系，所以有，，，，，，則，，，設平面的法向量，則由，令，得，設直線BM與平面所成角為，則，故答案為：.14．（2022·北京西城·一模）如圖，在棱長為的正方體中，點為棱的中點，點為底面內一點，給出下列三個論斷：①；②；③.以其中的一個論斷作為條件，另一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題：___________.【答案】若，則；若，則.【解析】如圖,建立空間直角坐標系則設,則而所以以其中的一個論斷作為條件,另一個論斷作為結論,可以寫出兩個正確的命題:若,則若,則答案任填其中一個即可故答案為:若,則(若,則)15．（2022·重慶八中模擬）如圖所示，是棱長為的正方體，、分別是下底面的棱、的中點，是上底面的棱上的一點，，過、、的平面交上底面于，在上，則異面直線與所成角的余弦值為___________．【答案】【解析】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、，因為平面平面，平面平面，平面平面，所以，，設點，，，因為，所以，，即點，，，所以，.因此，異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：.16．（2022·浙江·湖州市菱湖中學模擬）已知正