學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精2.3函數的應用（Ⅰ)1．直線型的函數模型我們學過的正比例函數、一次函數等都是直線型的，它們在每個區間的變化率都一樣．解題時常設為:常數函數型：y＝C(C∈R，C為常數），正比例型：y＝kx(k≠0），一次函數型:y＝kx＋b（k≠0）．當k＞0時后兩者都是增長型函數,k的值越大增速越快．如果一個問題中有兩個變量，且這兩個變量之間存在一次函數關系，則可以用一次函數模型來解決．【例1】據調查,某自行車存車處在某星期日的存車量為2000輛次,其中變速車存車費是每輛一次0。8元，普通車存車費是每輛一次0.5元．若普通車存車量為x輛次,存車費總收入為y元，則y關于x的函數關系式是（）A．y＝0。3x＋800（0≤x≤2000）B．y＝0.3x＋1600(0≤x≤2000）C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2000)D．y＝－0.3x＋1600（0≤x≤2000）解析：由題意可知總收入y(元）關于x(輛次)的函數關系式為y＝0。5x＋（2000－x)×0.8＝－0。3x＋1600，0≤x≤2000。答案：D2．二次函數模型的建立投物、射擊、噴泉、灌溉等相應物體運動的軌跡有某種規律，或者變量的變化具有二次函數關系時，可以通過直角坐標系由實際問題建立拋物線的數學模型,利用圖象的性質解答．【例2】某工廠的大門是一拋物線型水泥建筑物，大門的地面寬度為8m，兩側距地面3m高處各有一個壁燈，兩壁燈之間的水平距離為6m，如圖所示，則廠門的高為(水泥建筑物厚度忽略不計，精確到0.1m)（)A．6。9mB．7。0mC．7.1mD．6。8m解析:可建立坐標系，設出拋物線的解析式為y＝a(x2－16)(a＜0）．又點(3,3)在拋物線上，∴3＝a（9－16)．∴。∴．令x＝0，得.答案:A3．分段函數模型的建立有些實際問題，在事物的某個階段對應的變化規律不盡相同，此時我們可以選擇利用分段函數模型來刻畫它,由于分段函數在不同的區間中具有不同的解析式，因此分段函數在研究條件變化的實際問題中,或者在某一特定條件下的實際問題中具有廣泛的應用．【例3】已知A,B兩地相距150km。某人開汽車以每小時60km的速度從A地到達B地，在B地停留1h后再以每小時50km的速度返回A地．把汽車離開A地的距離x表示為時間t的函數表達式是（)A．x＝60tB．x＝60t＋50tC．D．解析:如圖，汽車離開A地的距離x（km）與時間t（h）之間的關系式是答案：D析規律對分段函數模型的理解在現實生活中有很多問題都是用分段函數表示的,分段函數每一段自變量變化所遵循的規律不同．在應用時,可先將其當做幾個問題,將各段的變化規律分別找出來,再將其合到一起．還要注意各段變量的范圍,特別是端點值．4．一次函數模型的應用在實際生活中，普遍存在著最優化問題——最佳投資，最小成本等，這些常常可歸結為函數的最值問題．對于與一次函數有關的最值問題通常借助于一次函數的單調性來處理．例如:某電腦公司在甲、乙兩地各有一個分公司,甲分公司現有電腦6臺,乙分公司有同一型號的電腦12臺．現A地某單位向該公司購買該型號的電腦10臺，B地某單位向該公司購買該型號的電腦8臺．已知甲地運往A，B兩地每臺電腦的運費分別是40元和30元，乙地運往A,B兩地每臺電腦的運費分別是80元和50元．（1）設甲地調運x臺至B地，該公司運往A和B兩地的總運費為y元，求y關于x的函數關系式;(2)若總運費不超過1000元，問能有幾種調運方案？解：(1)設甲地調運x臺到B地，則剩下(6－x)臺電腦調運到A地；乙地應調運(8－x)臺電腦至B地,運往A地10－（6－x）＝(x＋4)臺電腦（0≤x≤6，x∈N)，則總運費y＝30x＋40(6－x)＋50（8－x)＋80（x＋4)＝20x＋960，∴y＝20x＋960（x∈N，且0≤x≤6)．（2）若使y≤1000，即20x＋960≤1000，得x≤2.又0≤x≤6，x∈N,∴0≤x≤2，x∈N.∴x＝0，1,2，即能有3種調運方案．【例4－1】某市原來民用電價為0.52元/kW·h.換裝分時電表后，峰時段（早上八點到晚上九點）的電價為0.55元/kW·h，谷時段(晚上九點到次日早上八點)的電價為0。35元/kW·h.對于一個平均每月用電量為200kW·h的家庭,要使節省的電費不少于原來電費的10％，則這個家庭每月在峰時段的平均用電量至多為多少kW·h?分析：先求出原來用電的費用，再設出峰時段的用電量建立不等式求解．解：原來電費y1＝0.52×200＝104（元)．設峰時段用電量為xkW·h，電費為y，谷時段用電量為（200－x)kW·h.則y＝x×0。55＋(200－x）×0。35≤(1－10％)y1，即0。55x＋70－0。35x≤93.6，則0。2x≤23。6.所以x≤118,即這個家庭每月在峰時段的平均用電量至多為118kW·h.【例4－2】一家報刊推銷員從報社買進報紙的價格是每份0.20元，賣出的價格是每份0。30元，賣不完的還可以以每份0。08元的價格退回報社．在一個月（以30天計算)內有20天每天可賣出400份，其余10天每天只能賣出250份，但每天從報社買進報紙的份數都相同，問應該從報社買多少份才能使每月所獲得的利潤最大？并計算每月最多能賺多少錢？分析：本題所給條件較多，數量關系比較復雜,可以列表分析．設每天從報社買進x份（250≤x≤400，x∈N＋)．數量/份價格/元金額/元買進30x0.206x賣出20x＋10×2500.306x＋750退回10(x－250)0.080.8x－200解:設每天從報社買進x份時，每月獲利潤為y元，則y＝［（6x＋750）＋(0.8x－200）］－6x＝0。8x＋550(250≤x≤400,x∈N＋)．∵y在x∈［250，400］上是一次函數，∴當x＝400時,y取得最大值870，即每天從報社買進400份時，每月獲得的利潤最大，最大利潤為870元．5．二次函數模型的應用在實際生活中，有很多最優化問題可以通過建立二次函數模型，并借助于二次函數的圖象和性質加以解決，其解題的關鍵是列出二次函數解析式,轉化為求二次函數的最值問題．例如：某桶裝水經營部每天的房租、人員工資等固定成本為200元，每桶水的進價是5元．銷售單價與日均銷售量的關系如下表所示：銷售單價/元6789101112日均銷售量/桶480440400360320280240請根據以上數據作出分析，這個經營部怎樣定價才能獲得最大利潤？根據題表，銷售單價每增加1元，日均銷售量就減少40桶．設在進價基礎上增加x元后，日均銷售利潤為y元,而在此情況下的日均銷售量就為：480－40（x－1)＝520－40x（桶)．由于x＞0，且520－40x＞0,即0＜x＜13，于是可得y＝(520－40x)·x－200＝－40x2＋520x－200＝－40（x－6。5)2＋1490(0＜x＜13)．易知，當x＝6。5時，y有最大值．所以，只需將銷售單價定為11。5元，就可獲得最大的利潤,最大利潤為1490元．【例5】某軍工企業生產一種精密電子儀器的固定成本為20000元,每生產一臺儀器需增加投入100元，已知總收益滿足函數：其中x是儀器的月產量．（1）將利潤表示為月產量的函數．(2）當月產量為何值時，公司所獲利潤最大?最大利潤是多少元？(總收益＝總成本＋利潤）分析：（1)由于總收益＝總成本＋利潤，則利潤＝總收益－總成本，總收益是R(x)，總成本＝固定成本＋可變成本＝20000＋100x，因此利潤＝R(x)－(20000＋100x）；(2)由于R(x)是分段函數,則利潤關于月產量也是分段函數，求出各“段”上的最大值，在最大值中取最大的一個值就是最大利潤．解:(1)設月產量為x臺，則總成本為20000＋100x，從而利潤（2)當0≤x≤400時,f（x)＝－（x－300)2＋25000，所以當x＝300時，有最大值25000;當x＞