PAGE第一章推理與證明[A組基礎鞏固]1．用數學歸納法證明1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)<n(n∈N＋，n>1)時，第一步應驗證不等式()A．1＋eq\f(1,2)<2B．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)<2C．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)<3D．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)<3解析：∵n∈N＋，n>1，∴n取第一個正整數為2，左端分母最大的項為eq\f(1,22－1)＝eq\f(1,3).答案：B2．證明eq\f(n＋2,2)<1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n)<n＋1(n>1)，當n＝2時，中間式等于()A．1 B．1＋eq\f(1,2)C．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3) D．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)解析：中間式中的eq\f(1,2n)表示中間式的最終一項，前面的保留，所以n＝1時，中間式為1＋eq\f(1,2)，n＝2時，中間式為1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4).答案：D3．假如1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝eq\f(1,4)n(n＋1)(n＋a)(n＋b)對一切正整數n都成立，則a，b的值應當等于()A．a＝1，b＝3 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝2 D．a＝2，b＝3解析：當n＝1時，原式可化為ab＋a＋b＝11；①當n＝2時，原式可化為ab＋2(a＋b)＝16.②由①②可得a＋b＝5，ab＝6，驗證可知只有選項D適合．答案：D4．用數學歸納法證明不等式eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,n＋n)＞eq\f(13,24)的過程中，由n＝k到n＝k＋1時，不等式左邊的改變狀況為()A．增加eq\f(1,2k＋1)B．增加eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋1)C．增加eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋1)，削減eq\f(1,k＋1)D．增加eq\f(1,2k＋1)，削減eq\f(1,k＋1)解析：當n＝k時，不等式的左邊＝eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,k＋k)，當n＝k＋1時，不等式的左邊＝eq\f(1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3)＋…＋eq\f(1,k＋1＋k＋1)，又eq\f(1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3)＋…＋eq\f(1,k＋1＋k＋1)－(eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,k＋k))＝eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋1)－eq\f(1,k＋1)，所以由n＝k到n＝k＋1時，不等式的左邊增加eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋1)，削減eq\f(1,k＋1).答案：C5．用數學歸納法證明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)的過程如下：①當n＝1時，左邊＝1，右邊＝21－1＝1，等式成立．②假設當n＝k時，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，則當n＝k＋1時，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝eq\f(1－2k＋1,1－2)＝2k＋1－1，所以，當n＝k＋1時等式成立．由此可知，對任何n∈N＋，等式都成立．上述證明的錯誤是________．解析：當n＝k＋1時正確的解法是1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k＝2k＋1－1，即肯定用上其次步中的假設．答案：沒有用上歸納假設進行遞推6．n為正奇數，求證：xn＋yn能被x＋y整除，當其次步假設n＝k(k∈N＋)命題為真時，則需證n＝________時命題也為真．解析：n為正奇數，現在n＝k，說明k為正奇數，下一個正奇數應為k＋2.答案：k＋27．對于不等式eq\r(n2＋4n)<n＋2(n∈N＋)，某學生的證明過程如下：(1)當n＝1時，eq\r(12＋4)<1＋2，不等式成立．(2)假設n＝k(k∈N＋)時，不等式成立，即eq\r(k2＋4k)<k＋2，則n＝k＋1時，eq\r(k＋12＋4k＋1)＝eq\r(k2＋6k＋5)<eq\r(k2＋6k＋5＋4)＝eq\r(k＋32)＝(k＋1)＋2.∴當n＝k＋1時，不等式成立．上述證法第________步錯誤．解析：第(2)步中證明n＝k＋1時不等式成立時，未用歸納假設．答案：(2)8．用數學歸納法證明：2＋4＋6＋…＋2(n＋1)＝(n＋1)(n＋2)(n∈N＋)．證明：(1)當n＝1時，左邊＝2＋4＝6，右邊＝2×3＝6，等式成立．(2)假設當n＝k時等式成立，即2＋4＋6＋…＋2(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，則當n＝k＋1時，左邊＝2＋4＋6＋…＋2(k＋1)＋2(k＋2)＝(k＋1)(k＋2)＋2(k＋2)＝(k＋2)(k＋3)＝[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]．這就是說，當n＝k＋1時等式也成立．由(1)(2)可知，對于隨意的n∈N＋，等式都成立．9．用數學歸納法證明：(n2－12)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝eq\f(1,4)n2(n2－1)(n∈N＋)．證明：(1)當n＝1時，左邊＝0，右邊＝0，等式成立．(2)假設當n＝k(k≥1，k∈N＋)時，等式成立，即(k2－12)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＝eq\f(1,4)k2(k2－1)成立．則當n＝k＋1時，[(k＋1)2－12]＋2[(k＋1)2－22]＋…＋k[(k＋1)2－k2]＋(k＋1)[(k＋1)2－(k＋1)2]＝[(k2－12)＋(2k＋1)]＋2[(k2－22)＋(2k＋1)]＋…＋k[(k2－k2)＋(2k＋1)]＝[(k2－12)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)]＋(2k＋1)·(1＋2＋…＋k)＝eq\f(1,4)k2(k2－1)＋(2k＋1)·eq\f(1,2)k(k＋1)＝eq\f(1,4)(k＋1)2[(k＋1)2－1]．所以當n＝k＋1時，等式也成立．由(1)(2)可知等式對一切n∈N＋都成立．[B組實力提升]1．使不等式2n>n2＋1對隨意n≥k的自然數n都成立的最小k值為()A．2 B．3C．4 D．5解析：25＝32,52＋1＝26，對n≥5的全部自然數n,2n>n2＋1都成立．答案：D2．設f(x)是定義在正整數集上的函數，且f(x)滿意“當f(k)≥k2成立時總可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么下列命題總成立的是()A．若f(3)≥9成立，則當k≥1，均有f(k)≥k2成立B．若f(5)≥25成立，則當k≤5時，均有f(k)≥k2成立C．若f(7)＜49成立，則當k≥8時，均有f(k)＜k2成立D．若f(4)＝25成立，則當k≥4時，均有f(k)≥k2成立解析：對于A，f(3)≥9，加上題設可推出當k≥3時，均有f(k)≥k2成立，故A錯誤．對于B，要求逆推到比5小的正整數，與題設不符，故B錯誤．對于C，沒有奠基部分，故C錯誤．對于D，f(4)＝25≥42，由題設的遞推關系，可知結論成立，故選D.答案：D3．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n·3n－1＝3n(na－b)＋c對一切n∈N＋成立，那么a＝________，b＝________，c＝________.解析：把n＝1,2,3代入1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n·3n－1＝3n(na－b)＋c，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝3a－b＋c，,1＋2×3＝322a－b＋c，,1＋2×3＋3×32＝333a－b＋c.))整理并解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝\f(1,4)，,c＝\f(1,4).))答案：eq\f(1,2)eq\f(1,4)eq\f(1,4)4．用數學歸納法證明：當n∈N＋，1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍數時，當n＝1時，原式為__________________．從n＝k到n＝k＋1時需增加的項是__________________．解析：當n＝1時，1＋2＋22＋…＋25×1－1＝1＋2＋22＋23＋24；1＋2＋22＋…＋25(k＋1)－1－(1＋2＋22＋…＋25k－1)＝25k＋25k＋1＋…＋25k＋4.答案：1＋2＋22＋23＋2425k＋25k＋1＋…＋25k＋45．用數學歸納法證明3n>n2(n∈N＋)．證明：(1)當n＝1時，左邊＝3，右邊＝1,3>1，不等式成立．當n＝2時，左邊＝9，右邊＝4,9>4，不等式成立．(2)假設當n＝k(k≥2)時，不等式成立，即3k>k2，則n＝k＋1時，左邊＝3k＋1＝3·3k>3·k2，右邊＝(k＋1)2＝k2＋2k＋1，∵3k2－(k2＋2k＋1)＝2k2－2k－1＝2(k－0.5)2－1.5，當k≥2，k∈N時，上式恒為正值．則左邊>右邊，即3k＋1>(k＋1)2，所以當n＝k＋1時，不等式也成立．由(1)(2)可知，對任何正整數n，總有3n>n2成立．6．已知正項數列{bn}的前n項和Bn＝eq\f(1,4)(bn＋1)2.(1)求出b1，b2，b3，b4的值；(2)猜想{bn}的通項公式并用數學歸納法證明．解析：(1)由已知Bn＝eq\f(1,4)(bn＋1)2，數列{bn}為正項數列，得B1＝b1＝eq\f(1,4)(b1＋1)2?b1＝1＝2×1－1，B2＝b1＋b2＝eq\f(1,4)(b2＋1)2，即1＋b2＝eq\f(1,4)(b2＋1)2?b2＝3＝2×2－1，B3＝b1＋b2＋b3＝1＋3＋b3＝eq\f(1,4)(b3＋1)2?b3＝5＝2×3－1，B4＝b1＋b2＋b3＋b4＝1＋3＋5＋b4＝eq\f(1,4)(b4＋1)2?b4＝7＝2×4－1.(2)由此猜想出：bn＝2n－1(n≥1)為數列的通項公式，用數學歸納