PAGE課后素養落實(三十五)二項式定理的推導(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．(x＋2)8的綻開式中x6的系數是()A．28B．56C．112D．224C[該二項綻開式的通項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)x8－r2r＝2rCeq\o\al(r,8)x8－r，令r＝2，得T3＝22Ceq\o\al(2,8)x6＝112x6，所以x6的系數是112．]2．若(1＋eq\r(2))5＝a＋beq\r(2)(a，b為有理數)，則a＋b等于()A．45B．55C．70D．80C[由二項式定理，得(1＋eq\r(2))5＝1＋Ceq\o\al(1,5)·eq\r(2)＋Ceq\o\al(2,5)·(eq\r(2))2＋Ceq\o\al(3,5)·(eq\r(2))3＋Ceq\o\al(4,5)·(eq\r(2))4＋Ceq\o\al(5,5)·(eq\r(2))5＝1＋5eq\r(2)＋20＋20eq\r(2)＋20＋4eq\r(2)＝41＋29eq\r(2)．所以a＝41，b＝29，a＋b＝70．故選C．]3．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,x)))eq\s\up12(5)的二項綻開式中，x的系數為()A．10B．－10C．40D．－40D[∵Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(2x2)5－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))eq\s\up12(r)＝(－1)rCeq\o\al(r,5)25－rx10－3r，令10－3r＝1即r＝3，此時x的系數為(－1)3Ceq\o\al(3,5)22＝－40．]4．設k＝1，2，3，4，5，則(x＋2)5的綻開式中xk的系數不行能是()A．10B．40C．50D．80C[x1的系數為Ceq\o\al(4,5)·24＝80，x2的系數為Ceq\o\al(3,5)·23＝80，x3的系數為Ceq\o\al(2,5)·22＝40，x4的系數為Ceq\o\al(1,5)·21＝10，x5的系數為Ceq\o\al(0,5)·20＝1，所以系數不行能為50．]5．(eq\r(x)＋eq\r(3,x))12的綻開式中，含x的正整數次冪的項共有()A．4項B．3項C．2項D．1項B[設第(r＋1)項含x的正整數次冪，則Tr＋1＝Ceq\o\al(r,12)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xeq\s\up12(\f(1,2))))eq\s\up12(12－r)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xeq\s\up12(\f(1,3))))eq\s\up12(r)＝Ceq\o\al(r,12)·xeq\s\up10(6－eq\f(1,6)r)，其中0≤r≤12．要使6－eq\f(1,6)r為正整數，必需使r為6的倍數．所以r＝0，6，12，即第1項、第7項，第13項為符合條件的項．]二、填空題6．(a＋x)4的綻開式中x3的系數等于8，則實數a＝________．2[∵Tr＋1＝Ceq\o\al(r,4)a4－rxr且x3的系數等于8，∴r＝3，即Ceq\o\al(3,4)a4－3＝8，∴a＝2．]7．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x)))eq\s\up12(6)的綻開式中x3的系數為________．(用數字作答)20[設第r＋1項為含x3的項，則Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)x2(6－r)x－r＝Ceq\o\al(r,6)x12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，∴x3的系數為Ceq\o\al(3,6)＝20．]8．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,2)x－\f(1,\r(2))))eq\s\up12(20)的綻開式中，系數是有理數的項共有________項．4[Tr＋1＝Ceq\o\al(r,20)(eq\r(3,2)x)20－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(2))))eq\s\up12(r)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))eq\s\up12(r)·(eq\r(3,2))20－r·Ceq\o\al(r,20)·x20－r．∵系數為有理數，∴(eq\r(2))r與2eq\s\up12(eq\f(20－r,3))均為有理數．∴r能被2整除，且20－r能被3整除．∴r為偶數，20－r是3的倍數，0≤r≤20，∴r＝2，8，14，20．∴共有4項系數為有理數．]三、解答題9．求(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)20的綻開式中x3的系數．[解]所求x3的系數為：Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,20)＝(Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,4))＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,20)＝(Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(3,5))＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(3,20)＝…＝Ceq\o\al(4,20)＋Ceq\o\al(3,20)＝Ceq\o\al(4,21)．所以綻開式中x3的系數是Ceq\o\al(4,21)＝5985．10．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(x)－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(6)的綻開式中，求：(1)第3項的二項式系數及系數；(2)含x2的項．[解](1)第3項的二項式系數為Ceq\o\al(2,6)＝15，又因為T3＝Ceq\o\al(2,6)(2eq\r(x))4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(2)＝24·Ceq\o\al(2,6)x，所以第3項的系數為24Ceq\o\al(2,6)＝240．(2)Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)(2eq\r(x))6－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(k)＝(－1)k26－kCeq\o\al(k,6)x3－k，令3－k＝2，得k＝1．所以含x2的項為第2項，且T2＝－192x2．11．二項式(1＋eq\r(x))6的綻開式中有理項系數之和為()A．64B．32C．24D．16B[二項式(1＋eq\r(x))6的綻開式的通項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)xeq\s\up9(eq\f(r,2))，令eq\f(r,2)為整數，可得r＝0，2，4，6，故綻開式中有理項系數之和為Ceq\o\al(0,6)＋Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(6,6)＝32，故選B．]12．已知(1＋ax)(1＋x)5的綻開式中x2的系數為5，則a＝()A．－4B．－3C．－2D．－1D[綻開式中含x2的系數為Ceq\o\al(2,5)＋aCeq\o\al(1,5)＝5，解得a＝－1，故選D．]13．(多選題)中國南北朝時期的著作《孫子算經》中，對同余除法有較深的探討．設a，b，m(m＞0)為整數，若a和b被m除得的余數相同，則稱a和b對模m同余，記為a＝b(modm)．若a＝Ceq\o\al(0,20)＋Ceq\o\al(1,20)·2＋Ceq\o\al(2,20)·22＋…＋Ceq\o\al(20,20)·220，a＝b(mod10)，則b的值可以是()A．2011B．2012C．2020D．2021AD[∵a＝(1＋2)20＝320＝910＝(10－1)10＝Ceq\o\al(0,10)1010－Ceq\o\al(1,10)109＋…－Ceq\o\al(9,10)10＋1，∴被10除得的余數為1，而2011與2021被10除得的余數是1，故選AD．]14．(一題兩空)在二項式(eq\r(2)＋x)9的綻開式中，常數項是________，系數為有理數的項的個數是________．16eq\r(2)5[由二項綻開式的通項公式可知Tr＋1＝Ceq\o\al(r,9)·(eq\r(2))9－r·xr，r∈N，0≤r≤9，當r＝0時，第1項為常數項，所以常數項為T1＝Ceq\o\al(0,9)·(eq\r(2))9·x0＝(eq\r(2))9＝16eq\r(2)．當項的系