PAGE課后限時集訓(六十九)離散型隨機變量的均值與方差、正態分布建議用時：40分鐘一、選擇題1．同時拋擲2枚質地勻稱的硬幣4次，設2枚硬幣均正面對上的次數為X，則X的數學期望是()A．1 B．2C．eq\f(3,2) D．eq\f(5,2)A[∵一次同時拋擲2枚質地勻稱的硬幣，恰好出現2枚正面對上的概率為eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，∴X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,4)))，∴EX＝4×eq\f(1,4)＝1.故選A.]2．在某項測試中，測量結果ξ聽從正態分布N(1，σ2)(σ>0)，若P(0<ξ<1)＝0.4，則P(0<ξ<2)＝()A．0.4 B．0.8C．0.6 D．0.2B[由正態分布的圖像和性質得P(0<ξ<2)＝2P(0<ξ<1)＝2×0.4＝0.8.故選B.]3．已知隨機變量ξ的分布列為ξ－1012Pxeq\f(1,3)eq\f(1,6)y若Eξ＝eq\f(1,3)，則Dξ＝()A．1 B．eq\f(11,9)C．eq\f(2,3) D．2B[∵Eξ＝eq\f(1,3)，∴由隨機變量ξ的分布列知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,3)＋\f(1,6)＋y＝1，,－x＋\f(1,6)＋2y＝\f(1,3)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,18)，,y＝\f(2,9)，))則Dξ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(1,3)))2×eq\f(5,18)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,3)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))2×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,3)))2×eq\f(2,9)＝eq\f(11,9).]4．已知5件產品中有2件次品，現逐一檢測，直至能確定全部次品為止，記檢測的次數為ξ，則Eξ＝()A．3 B．eq\f(7,2)C．eq\f(18,5) D．4B[ξ的可能取值為2,3,4，P(ξ＝2)＝eq\f(A\o\al(2,2),A\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(A\o\al(3,3)＋C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)A\o\al(2,2),A\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝4)＝eq\f(A\o\al(3,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)＋A\o\al(3,3)C\o\al(2,3)C\o\al(1,2),A\o\al(4,5))＝eq\f(3,5)，則Eξ＝2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(3,10)＋4×eq\f(3,5)＝eq\f(7,2)，故選B.]5．(2024·全國卷Ⅲ)在一組樣本數據中，1,2,3,4出現的頻率分別為p1，p2，p3，p4，且eq\o(∑,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))pi＝1，則下面四種情形中，對應樣本的標準差最大的一組是()A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2B[對于A，當p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4時，隨機變量X1的分布列為X11234P0.10.40.40.1EX1＝1×0.1＋2×0.4＋3×0.4＋4×0.1＝2.5，DX1＝(1－2.5)2×0.1＋(2－2.5)2×0.4＋(3－2.5)2×0.4＋(4－2.5)2×0.1＝1.52×0.1＋0.52×0.4＋0.52×0.4＋1.52×0.1＝0.65，所以eq\r(DX1)＝eq\r(0.65).對于B，當p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1時，隨機變量X2的分布列為X21234P0.40.10.10.4EX2＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.1＋4×0.4＝2.5，DX2＝(1－2.5)2×0.4＋(2－2.5)2×0.1＋(3－2.5)2×0.1＋(4－2.5)2×0.4＝1.52×0.4＋0.52×0.1＋0.52×0.1＋1.52×0.4＝1.85，所以eq\r(DX2)＝eq\r(1.85).對于C，當p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3時，隨機變量X3的分布列為X31234P0.20.30.30.2EX3＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.3＋4×0.2＝2.5，DX3＝(1－2.5)2×0.2＋(2－2.5)2×0.3＋(3－2.5)2×0.3＋(4－2.5)2×0.2＝1.52×0.2＋0.52×0.3＋0.52×0.3＋1.52×0.2＝1.05，所以eq\r(DX3)＝eq\r(1.05).對于D，當p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2時，隨機變量X4的分布列為X41234P0.30.20.20.3EX4＝1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.3＝2.5，DX4＝(1－2.5)2×0.3＋(2－2.5)2×0.2＋(3－2.5)2×0.2＋(4－2.5)2×0.3＝1.52×0.3＋0.52×0.2＋0.52×0.2＋1.52×0.3＝1.45，所以eq\r(DX4)＝eq\r(1.45).所以B中的標準差最大．]二、填空題6．設X為隨機變量，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(1,3)))，若隨機變量X的均值EX＝2，則P(X＝2)等于________．eq\f(80,243)[由X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(1,3)))，EX＝2，得np＝eq\f(1,3)n＝2，∴n＝6，則P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))4＝eq\f(80,243).]7．某超市經營的某種包裝優質東北大米的質量X(單位：kg)聽從正態分布N(25,0.22)，隨意選取一袋這種大米，質量在24.8～25.4kg的概率為________．(附：若Z～N(μ，σ2)，則P(|Z－μ|＜σ)＝0.6827，P(|Z－μ|＜2σ)＝0.9545，P(|Z－μ|＜3σ)＝0.9973)0.8186[∵X～N(25,0.22)，∴μ＝25，σ＝0.2.∴P(24.8≤X≤25.4)＝P(μ－σ≤X≤μ＋2σ)＝eq\f(1,2)×(0.6827＋0.9545)＝0.8186.]8．2024年高考前其次次適應性訓練結束后，某校對全市的英語成果進行統計，發覺英語成果的頻率分布直方圖形態與正態分布N(95,82)的密度曲線特別擬合．據此估計：在全市隨機抽取的4名高三同學中，恰有2名同學的英語成果超過95分的概率是________．eq\f(3,8)[由題意可知每名學生的英語成果ξ～N(95,82)，∴P(ξ＞95)＝eq\f(1,2)，故所求概率P＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq\f(3,8).]三、解答題9．大豆是我國主要的農作物之一，因此，大豆在農業發展中占有重要的地位，隨著農業技術的不斷發展，為了使大豆得到更好的種植，就要進行超級種培育探討．某種植基地培育的“超級豆”種子進行種植測試：選擇一塊養分均衡的可種植4株的試驗田地，每株放入三粒“超級豆”種子，且至少要有一粒種子發芽這株豆苗就能有效成活，每株豆成活苗可以收成大豆2.205kg.已知每粒豆苗種子成活的概率為eq\f(1,2)(假設種子之間及外部條件一樣，發芽相互沒有影響)．(1)求恰好有3株成活的概率；(2)記成活的豆苗株數為ξ，收成為η(kg)，求隨機變量ξ分布列及η的數學期望Eη.[解](1)設每株豆子成活的概率為P0，則P0＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))3＝eq\f(7,8).所以4株中恰好有3株成活的概率P＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,8)))1＝eq\f(343,1024).(2)記成活的豆苗株數為ξ，收成為η＝2.205ξ，則ξ的可能取值為0,1,2,3,4，且ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(7,8)))，所以ξ的分布列如下表：ξ01234PCeq\o\al(0,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－,\f(7,8)))4Ceq\o\al(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))1·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,8)))3Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,8)))2Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,8)))1Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))4∴Eξ＝4×eq\f(7,8)＝3.5，Eη＝E(2.205ξ)＝2.205·Eξ＝7.7175(kg)．10．(2024·合肥第一次教學檢測)“大湖名城，創新高地”的合肥，歷史文化積淀深厚，民俗和人文景觀豐富，科教資源眾多，自然風光秀美，成為中小學生“研學游”的志向之地．為了將來更好地推動“研學游”項目，某旅游學校一位實習生，在某旅行社實習期間，把“研學游”分為科技體驗游、民俗人文游、自然風光游三種類型，并在前幾年該旅行社接待的全省高一學生“研學游”學校中，隨機抽取了100所學校，統計如下：研學游類型科技體驗游民俗人文游自然風光游學校數404020該實習生在明年省內有意向組織高一“研學游”的學校中，隨機抽取了3所學校，并以統計的頻率代替學校選擇研學游類型的概率(假設每所學校在選擇研學游類型時僅選擇其中一類，且不受其他學校選擇結果的影響)．(1)若這3所學校選擇的研學游類型是“科技體驗游”和“自然風光游”，求這兩種類型都有學校選擇的概率；(2)設這3所學校中選擇“科技體驗游”學校數為隨機變量X，求X的分布列與數學期望．[解](1)依題意，學校選擇“科技體驗游”的概率為eq\f(2,5)，選擇“自然風光游”的概率為eq\f(1,5)，若這3所學校選擇研學游類型為“科技體驗游”和“自然風光游”，則這兩種類型都有學校選擇的概率為P＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))＋Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))＝eq\f(18,125).(2)X的可能取值為0,1,2,3.則P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))3＝eq\f(27,125)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2＝eq\f(54,125)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))＝eq\f(36,125)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))3＝eq\f(8,125)，∴X的分布列為X0123Peq\f(27,125)eq\f(54,125)eq\f(36,125)eq\f(8,125)∴EX＝0×eq\f(27,125)＋1×eq\f(54,125)＋2×eq\f(36,125)＋3×eq\f(8,125)＝eq\f(6,5).1．已知隨機變量ξ的分布列如下：ξ012Pabc其中a，b，c成等差數列，則函數f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一個零點的概率為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(5,6)B[由題意知a，b，c∈[0,1]，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,a＋b＋c＝1，))解得b＝eq\f(1,3)，又函數f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一個零點，故對于方程x2＋2x＋ξ＝0，Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，所以P(ξ＝1)＝eq\f(1,3).]2．體育課的排球發球項目考試的規則是：每名學生最多可發球3次，一旦發球勝利，則停止發球，否則始終發到3次為止．設某學生每次發球勝利的概率為p(0＜p＜1)，發球次數為X，若X的數學期望EX＞1.75，則p的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,12))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,12)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C[由已知條件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，則EX＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3＞1.75，解得p＞eq\f(5,2)或p＜eq\f(1,2).由p∈(0,1)，可得p∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).]3．在一次隨機試驗中，事務A發生的概率為p，事務A發生的次數為ξ，則數學期望Eξ＝________，方差Dξ的最大值為________．peq\f(1,4)[記事務A發生的次數ξ可能的值為0,1.ξ01P1－pp數學期望Eξ＝0×(1－p)＋1×p＝p，方差Dξ＝(0－p)2×(1－p)＋(1－p)2×p＝p(1－p)≤eq\f(1,4).故數學期望Eξ＝p，方差Dξ的最大值為eq\f(1,4).]4．(2024·廣州市調研檢測)某城市A公司外賣配送員底薪是每月1800元/人，設每月每人配送的單數為X，若X∈[1,300]，配送員每單提成3元；若X∈(300,600]，配送員每單提成4元；若X∈(600，＋∞)，配送員每單提成4.5元．B公司外賣配送員底薪是每月2100元/人，設每月每人配送的單數為Y，若Y∈[1,400]，配送員每單提成3元；若Y∈(400，＋∞)，配送員每單提成4元．小王安排在A公司和B公司之間選擇一份外賣配送員工作，他隨機調查了A公司外賣配送員甲和B公司外賣配送員乙在9月份(30天)的送餐量數據，如下表：表1：A公司外賣配送員甲送餐量統計日送餐量x/單131416171820天數2612622表2：B公司外賣配送員乙送餐量統計日送餐量y/單111314151618天數4512351(1)設A公司外賣配送員月工資為f(X)(單位：元/人)，B公司外賣配送員月工資為g(Y)(單位：元/人)，當X＝Y且X，Y∈(300,600]時，比較f(X)與g(Y)的大小．(2)若將甲、乙9月份的日送餐量的頻率視為對應公司日送餐量的概率．(ⅰ)分別計算外賣配送員甲和乙每日送餐量的數學期望；(ⅱ)請利用你所學的學問為小王作出選擇，并說明理由．[解](1)因為X＝Y且X，Y∈(300,600]，所以g(X)＝g(Y)，當X∈(300,400]時，f(X)－g(X)＝(1800＋4X)－(2100＋3X)＝X－300＞0.當X∈(400,600]時，f(X)－g(X)＝(1800＋4X)－(2100＋4X)＝－300＜0.故當X∈(300,400]時，f(X)＞g(X)，當X∈(400,600]時，f(X)＜g(X)．(2)(ⅰ)甲的日送餐量x的分布列為：x131416171820Peq\f(1,15)eq\f(1,5)eq\f(2,5)eq\f(1,5)eq\f(1,15)eq\f(1,15)則Ex＝13×eq\f(1,15)＋14×eq\f(1,5)＋16×eq\f(2,5)＋17×eq\f(1,5)＋18×eq\f(1,15)＋20×eq\f(1,15)＝16.乙的日送餐量y的分布列為：y111314151618Peq\f(2,15)eq\f(1,6)eq\f(2,5)eq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,30)則Ey＝11×eq\f(2,15)＋13×eq\f(1,6)＋14×eq\f(2,5)＋15×eq\f(1,10)＋16×eq\f(1,6)＋18×eq\f(1,30)＝14.(ⅱ)EX＝30Ex＝480∈(300,600]，EY＝30Ey＝420∈(400，＋∞)．估計A公司外賣配送員月薪平均為1800＋4EX＝3720(元)．估計B公司外賣配送員月薪平均為2100＋4EY＝3780(元)．因為3780＞3720，所以小王應選擇做B公司外賣配送員．武漢有“九省通衢”之稱，也稱為“江城”，是國家歷史文化名城．其中聞名的景點有黃鶴樓、戶部巷、東湖風景區等等．(1)為了解“五一”勞動節當日江城某旅游景點游客年齡的分布狀況，從年齡在22歲到52歲的游客中隨機抽取了1000人，制成了如下的頻率分布直方圖：現從年齡在[42,52]內的游客中，采納分層抽樣的方法抽取10人，再從抽取的10人中隨機抽取4人，記這4人中年齡在[47,52]內的人數為ξ，求P(ξ＝3)．(2)為了給游客供應更舒適的旅游體驗，某旅游景點游船中心安排在2024年勞動節當日投入至少1艘至多3艘A型游船供游客乘坐觀光．由2010年到2024年這10年間的數據資料顯示每年勞動節當日客流量X(單位：萬人)都大于1.將每年勞動節當日客流量分成3個區間整理得下表：勞動節當日客流量X1＜X＜33≤X≤5X＞5頻數244以這10年的數據資料記錄的3個區間客流量的頻率作為每年客流量在該區間段發生的概率，且每年勞動節當日客流量相互獨立．該游船中心希望投入的A型游船盡可能被充分利用，但每年勞動節當日A型游船最多運用量(單位：艘)要受當日客流量X(單位：萬人)的影響，其關系如下表：勞動節當日客流量X1＜