8．3頻率與概率考點一、頻率與概率的關系頻率：頻數與總次數的比值稱為頻率.概率：表示一件事情發生可能性大小的數值；頻率與試驗的次數有關系，而概率與試驗次數無關，是一個理論值，當試驗的次數越來越多時，頻率會越來越接近概率。考點二、用頻率估計概率當實驗次數足夠多時，可以用頻率代替概率，由部分去估計總體。題型一：頻率與概率的關系1．投擲一枚質地均勻的硬幣m次，正面向上n次，下列表達正確的是（

）A．的值一定是B．的值一定不是C．m越大，的值越接近D．隨著m的增加，的值會在附近擺動，呈現出一定的穩定性2．拋擲一枚質地均勻的硬幣，“反面朝上”的概率為0.5，那么拋擲一枚質地均勻的硬幣100次，下列理解正確的是（

）A．可能有50次反面朝上 B．每兩次必有1次反面朝上C．必有50次反面朝上 D．不可能有100次反面朝上3．下列說法錯誤的是（

）A．隨著試驗次數的增多，某一事件發生的頻率就會不斷增大B．一個事件在試驗中出現的次數越多，頻數就越大C．試驗的總次數一定時，頻率與頻數成正比D．頻數與頻率都能反映一個事件出現的頻繁程度4．下列說法錯誤的是（）A．概率很小的事件不可能發生 B．通過大量重復試驗，可以用頻率估計概率C．必然事件發生的概率是 D．投一枚圖釘，“釘尖朝上”的概率不能用列舉法求5．關于隨機事件發生的頻率與概率，下列說法正確的是（

）A．事件發生的頻率就是它發生的概率B．在次試驗中，事件發生了次，則比值稱為事件發生的頻率C．事件發生的頻率與它發生的概率無關D．隨著試驗次數大量增加，事件發生的頻率會在附近擺動題型二：用頻率估計概率1．從一定高度拋一個瓶蓋1000次，落地后蓋面朝下的有550次，則下列說法錯誤的是（

）A．蓋面朝下的頻數為550 B．該試驗總次數是1000C．蓋面朝下的頻率為0.55 D．蓋面朝下的概率為0.52．在一暗箱里放有個除顏色外其他完全相同的球，其中只有5個紅球，每次攪勻后，任意摸出1個球記下顏色再放回，通過大量重復摸球試驗后發現，摸到紅球的頻率穩定在，則大約是（

）A．10 B．15 C．25 D．303．一個不透明的箱子里共裝有m個球，其中紅球5個，這些球除顏色不同外其余都相同．每次攪拌均勻后，任意摸出一個球記下顏色后再放回，大量重復試驗發現，摸到紅球的頻率穩定在0.2附近，則可以估算出m的值為（

）A．1 B．5 C．20 D．254．一個密閉不透明的盒子里有若干個白球，在不許將球倒出來數的情況下，為了估計白球數，則剛向其中放入了4個黑球，攪勻后從中隨意摸出一個球記下顏色，再把它放回盒中，不斷重復這一過程，若摸球100次，其中20次摸到黑球，則盒中大約有白球（

）A．12個 B．16個 C．20個 D．24個5．木箱里裝有除顏色不同外其他均相同的4張紅色卡片和若干張藍色卡片，隨機從木箱里摸出1張卡片記下顏色后再放回，經過多次的重復試驗，發現摸到藍色卡片的頻率穩定在0.75，則估計木箱中藍色卡片有（

）A．20張 B．12張 C．8張 D．4張一、選擇題1．校籃球隊員小亮訓練定點投籃以提高命中率，下表是小亮一次訓練時的進球情況，其中說法正確的是（

）投籃數（次）50100150200…進球數（次）4081118160…A．小亮每投10個球，一定有8個球進 B．小亮投球前8個進，第9、10個一定不進C．小亮比賽中的投球命中率一定為80% D．小亮比賽中投球命中率可能為100%2．拋擲一枚質地均勻的硬幣，“反面朝上”的概率為0.5，那么拋擲一枚質地均勻的硬幣100次，下列理解正確的是（

）A．可能有50次反面朝上 B．每兩次必有1次反面朝上C．必有50次反面朝上 D．不可能有100次反面朝上3．在拋擲硬幣的試驗中，下列結論正確的是（

）A．經過大量重復的拋擲硬幣試驗，可發現“正面向上”的頻率越來越穩定B．拋擲10000次硬幣與拋擲12000次硬幣“正面向上”的頻率相同C．拋擲50000次硬幣，可得“正面向上”的頻率為0.5D．若拋擲2000次硬幣“正面向上”的頻率是0.518，則“正面向下”的頻率也為0.5184．歡歡將自己的核酸檢測二維碼打印在面積為的正方形紙上，如圖所示，為了估計圖中黑色部分的面積，他在紙內隨機擲點，經過大量重復試驗，發現點落入黑色部分的頻率穩定在左右，據此可以估計黑色部分的面積約為（

）A． B． C． D．5．某種幼樹移植成活的概率為0.9，下列說法正確的是（

）A．移植10棵幼樹，結果一定是“9棵幼樹成活”B．移植100棵幼樹，結果一定是“90棵幼樹成活”C．移植10n棵幼樹，恰好有“棵幼樹不成活”D．移植n棵幼樹，當n越來越大時，幼樹成活的頻率會越來越穩定于0.9二、填空題6．一個不透明紙袋中裝有黑白兩種顏色的小球100個，為了估計兩種顏色的球各有多少個，現將紙袋中的球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，多次重復上述過程后，發現摸到黑球的頻率穩定在0.65，據此可以估計黑球的個數約是____________．7．為了估計魚塘中魚的數量，養魚者先從魚塘中捕獲50條魚，在每一條魚身上做好標記后把這些魚放歸魚塘，再從魚塘中打撈魚，通過多次實驗后發現捕撈的魚中有作記號的頻率穩定在5%左右，則魚塘中估計有魚________條．8．在一個平面上畫一組間距為的平行線，將一根長度為的針任意投擲在這個平面上，針可能與某一直線相交，也可能與任意直線都不相交．根據記錄在下表中的投針試驗數據如下：實驗次數相交頻數相交頻率請你根據表格數據，估計針與直線相交的概率為_______.(結果保留一位小數）9．要考察某運動員罰籃命中率，下表是在多次測試中的統計數據：罰球總數110182300100024003000罰進個數8014021674518002253罰籃命中率0.7270.7690.7200.7450.7500.751估計該運動員罰籃命中的概率是___________．（結果精確到0.01）10．同學們設計了一個用計算機模擬隨機重復拋擲瓶蓋的實驗，記錄蓋面朝上的次數，并計算蓋面朝上的頻率，下表是依次累計的實驗結果．拋擲次數500100015002000300040005000蓋面朝上次數2755588071054158721242650蓋面朝上頻率0.5500.5580.5380.5270.5290.5310.530下面有兩個推斷：①隨著實驗次數的增加，“蓋面朝上”的頻率總在0.530附近，顯示出一定的穩定性，可以估計“蓋面朝上”的概率是0.530；②若再次用計算機模擬此實驗，則當投擲次數為1000時，“蓋面朝上”的頻率不一定是0.558；其中合理的推斷的序號是：________．1．如圖是用計算機模擬拋擲一枚啤酒瓶蓋試驗的結果，下面有四個推斷，其中最合理的（）A．當投擲次數是時，計算機記錄“凸面向上”的頻率是，所以“凸面向上”的概率是B．若再次用計算機模擬此實驗，則當投擲次數為時，“凸面向上”的頻率一定是C．隨著試驗次數的增加，“凸面向上”的頻率總在附近擺動，顯示出一定的穩定性，可以估計“凸面向上”的概率是D．當投擲次數是次以上時，“凸面向上”的頻率一定是．2．甲、乙兩名同學在一次用頻率去估計概率的實驗中，統計了某一結果出現的頻率繪出的統計圖如圖所示，則符合這一結果的實驗可能是（）A．拋一枚硬幣，連續兩次出現正面的概率B．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機出的是“剪刀”C．任意寫一個正整數，它能被5整除的概率D．擲一枚正六面體的骰子，出現1點的概率二、填空題3．某農場引進一批新稻種，在播種前做了五次發芽實驗，每次任取800粒稻種進行實驗．實驗的結果如表所示：實驗的稻種數n∕粒800800800800800發芽的稻種數m∕粒763757761760758發芽的頻率0.9540.9460.9510.9500.948在與實驗條件相同的情況下，估計種一粒這樣的稻種發芽的概率為_____（精確到0.01）；如果該農場播種了此稻種2萬粒，那么能發芽的大約有_____萬粒．4．社團課上，同學們進行了“摸球游戲”在一個不透明的盒子里裝有幾十個除顏色不同外其余均相同的黑、白兩種球，將盒子里面的球攪勻后從中隨機摸一個球記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復上述過程整理數據后，制作了“摸出黑球的頻率”與“摸球的總次數”的關系圖如圖所示，經分析可以估計盒子里黑球與白球的個數比為__________．三、解答題5．某水果公司新進一批柑橘，銷售人員首先從所有的柑橘中隨機抽取若干柑橘，進行“柑橘損壞率”統計，并把獲得的數據記錄在下表中．柑橘總質量n/kg…300350400450500損壞柑橘質量m/kg…30.9335.3240.3645.0251.05柑橘損壞的頻率（精確到0.001）…0.1030.101a0.100b(1)填空：a≈，b≈；(2)柑橘完好的概率約為（精確到0.1）；(3)柑橘的總重量為10000kg，成本價是1.8元/kg，公司希望這些柑橘能夠獲得利潤5400元，那么在出售柑橘（去掉損壞的柑橘）時，每千克大約定價為多少元比較合適？題型探究詳解題型一詳解1．D【分析】根據頻率與概率的關系以及隨機事件的定義判斷即可【詳解】投擲一枚質地均勻的硬幣正面向上的概率是，而投擲一枚質地均勻的硬幣正面向上是隨機事件，是它的頻率，隨著m的增加，的值會在附近擺動，呈現出一定的穩定性；故選：D【點睛】本題考查對隨機事件的理解以及頻率與概率的聯系與區別．解題的關鍵是理解隨機事件是都有可能發生的時間．2．A【分析】概率是頻率（多個）的波動穩定值，是對事件發生可能性大小的量的表現，據此逐項判斷即可．【詳解】解：拋擲一枚質地均勻的硬幣，“反面朝上”的概率為0.5，那么拋擲一枚質地均勻的硬幣100次，可能有50次反面朝上，故選：A．【點睛】本題主要考查了概率的意義和應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：概率是頻率（多個）的波動穩定值，是對事件發生可能性大小的量的表現．3．A【分析】直接利用頻數與頻率的定義分析得出答案．【詳解】A、隨著試驗次數的增多，某一事件發生的頻率不會改變，故原說法錯誤，符合題意；B、一個事件A試驗中出現的次數越多，頻數就越大，正確，不合題意；C、試驗的總次數一定時，頻率與頻數成正比，正確，不合題意；D、頻數與頻率都能反映一個事件出現的頻繁程度，正確，不合題意；故選：A．【點睛】本題主要考查了頻數與頻率，正確掌握相關定義是解題關鍵．4．A【分析】根據隨機事件的定義判斷即可；【詳解】概率很小的事件有可能發生，故A錯誤；通過大量重復試驗，可以用頻率估計概率，故B正確；必然事件發生的概率是，故C正確；投一枚圖釘，“釘尖朝上”的概率不能用列舉法求，故D正確；故答案選A．【點睛】本題主要考查了隨機事件和概率的意義，準確分析判斷是解題的關鍵．5．D【分析】根據概率的定義，以及概率與頻率的關系，分別進行判斷，即可得到答案．【詳解】解：事件發生的頻率不一定是它發生的概率；故A錯誤；在次試驗中，事件發生了次，則比值稱為事件發生的頻率；故B錯誤；事件發生的頻率與它發生的概率是有關系的，故C錯誤；隨著試驗次數大量增加，事件發生的頻率會在附近擺動；故D正確；故選：D．【點睛】此題主要考查了概率的意義，正確掌握頻率與概率的關系是解題關鍵．題型二詳解:1．D【分析】根據頻數、頻率及用頻率估計概率解答即可．【詳解】解：A、蓋面朝下的頻數是550，此選項正確；B、該試驗總次數是1000，此選項正確；C、蓋面朝下的頻率是，此選項正確；D、1000次試驗的蓋面朝下的頻率為0.55，則蓋面朝下概率約為0.55，此選項錯誤；故選：D．【點睛】本題考查了利用頻率估計概率的知識，解答此題關鍵是用頻率估計概率得到的是近似值，隨實驗次數的增多，值越來越精確．2．C【分析】在同樣條件下，大量反復試驗時，隨機事件發生的頻率逐漸穩定在概率附近，可以從比例關系入手，列出方程求解．【詳解】解：由題意可得：，解得：．故選：C．【點睛】本題考查利用頻率估計概率，大量重復實驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．理解和掌握利用頻率估計概率是解題的關鍵．3．D【分析】用紅球的數量除以紅球的頻率即可．【詳解】解：（個），所以可以估算出m的值為25，故選：D．【點睛】本題主要考查利用頻率估計概率，大量重復實驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．4．B【分析】可根據“黑球數量÷黑白球總數=黑球所占比例”來列等量關系式，其中“黑白球總數=黑球個數+白球個數”，“黑球所占比例=隨機摸到的黑球次數÷總共摸球的次數”．【詳解】設盒子里有白球個，解得：．經檢驗得是方程的解．答：盒中大約有白球16個．故選；B．【點睛】此題主要考查了利用頻率估計概率，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系列出方程，再求解．5．B【分析】根據概率的求法，找準兩點，一是全部情況的總數，二是符合條件的情況數目，求解即可；【詳解】設木箱中藍色卡片x個，根據題意可得，，解得：，經檢驗，時原方程的解，則估計木箱中藍色卡片有12張；故選：B．【點睛】本題主要考查了用頻率估計概率，準確計算是解題的關鍵．隨堂演練詳解1．D【分析】根據概率的知識點判斷即可；【詳解】小亮每投10個球，不一定有8個球進，故錯誤；小亮投球前8個進，第9、10個不一定不進，故錯誤；小亮比賽中的投球命中率可能為80%，故錯誤；小亮比賽中投球命中率可能為100%，故正確；故答案選D．【點睛】本題主要考查了概率的相關知識點，準確判斷是解題的關鍵．2．A【分析】概率是頻率（多個）的波動穩定值，是對事件發生可能性大小的量的表現，據此逐項判斷即可．【詳解】解：拋擲一枚質地均勻的硬幣，“反面朝上”的概率為0.5，那么拋擲一枚質地均勻的硬幣100次，可能有50次反面朝上，故選：A．【點睛】本題主要考查了概率的意義和應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：概率是頻率（多個）的波動穩定值，是對事件發生可能性大小的量的表現．3．A【分析】根據頻率的概念與計算公式逐項判斷即可得．【詳解】A、經過大量重復的拋擲硬幣試驗，可發現“正面向上”的頻率越來越穩定，此項正確；B、拋擲10000次硬幣與拋擲12000次硬幣“正面向上”的頻率可能不同，此項錯誤；C、拋擲50000次硬幣，可得“正面向上”的頻率約為，此項錯誤；D、若拋擲2000次硬幣“正面向上”的頻率是，則“正面向下”的頻率為，此項錯誤；故選：A．【點睛】本題考查了頻率的概念與計算公式，掌握理解頻率的概念是解題關鍵．4．D【分析】用總面積乘以落入黑色部分的頻率穩定值即可．【詳解】解：經過大量重復試驗，發現點落入黑色部分的頻率穩定在0.6左右，據此可以估計黑色部分的面積為，故選：D．【點睛】本題主要考查利用頻率估計概率，大量重復實驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．5．D【分析】根據用頻率估計概率的意義即可確定正確的選項．【詳解】解：用頻率估計概率，可以發現，某種幼樹在一定條件下移植成活的概率為0.9，是在大量重復實驗中得到的概率的近似值，故A、B、C錯誤，D正確，故選：D．【點睛】此題主要考查了利用頻率估計概率，大量反復試驗下頻率穩定值即概率．用到的知識點為：頻率=所求情況數與總情況數之比．6．65個【分析】結合題意，根據用樣本評估總體的性質分析，即可得到答案．【詳解】根據題意，黑球的個數約個．故答案為：65個．【點睛】本題考查了概率的知識；解題的關鍵是熟練掌握用頻率估計概率，從而完成求解．7．1000【詳解】魚塘中有魚x條，利用頻率估計概率得到，然后解方程即可．【解答】解：設魚塘中有魚x條，根據題意得，解得，經檢驗為原方程的解，所以估計魚塘中有魚1000條．故答案為：1000．【點睛】本題考查利用頻率估計概率，熟記大量反復試驗下頻率穩定值即為概率是解題的關鍵．8．【分析】根據頻率估計概率即可解答．【詳解】解：∵根據記錄在下表中的投針試驗數據穩定在附近，∴估計針與直線相交的概率為；故答案為：．【點睛】本題主要考查了根據數據描述求頻率，用頻率估計概率，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解．9．0.75【分析】用大量重復試驗中頻率逐漸穩定到的常數來表示概率即可；【詳解】解：觀察發現隨著罰球次數的增多，罰籃命中率逐漸穩定到0.750附近，所以估計這次他能罰中的概率是0.750，約為0.75．故答案為：0.75．【點睛】本題考查了利用頻率估計概率的知識，大量重復試驗中，頻率穩定到的常數可以估計概率，難度不大．10．①②【分析】此題結合頻率與概率相關知識解題即可找出答案．【詳解】推斷正確，符合頻率估計概率的思路，推斷正確，該事件是隨機事件，所以再次實驗頻率自然也不一定與前一次相同，故答案為：①②【點睛】此題考查利用頻率估計概率的相關知識，難度一般．高分突破詳解1．C【分析】根據圖形和各個小題的說法可以判斷是否正確，從而可以解答本題．【詳解】解：A、當投擲次數是時，計算機記錄“凸面向上”的頻率是，所以“凸面向上”的頻率是，概率不一定是，故A選項不符合題意；B、若再次用計算機模擬此實驗，則當投擲次數為時，“凸面向上”的頻率不一定是，故B選項不符合題意；C、隨著試驗次數的增加，“凸面向上”的頻率總在附近擺動，顯示出一定的穩定性，可以估計“凸面向上”的概率是，故C選項符合題意；D、當投擲次數是次以上時，“凸面向上”的頻率不一定是，故D選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查了利用頻率估計概率，解答本題的關鍵是明確概率的定義，利用數形結合的思想解答．2．B【分析】根據統計圖可得，實驗結果在0.33附近波動，故概率，計算四個選項的概率即可得出答案．【詳解】A.拋一枚硬幣兩次，出現得結果有（正，正），（正，反），（反，正）和（反，反）四種，所以連續兩次出現正面的概率，故A排除；B.在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機出的是“剪刀”的概率為，故B正確；C.任意寫一個正整數，它能被5整除的概率為，故C排除；D.擲一枚正六面體的骰子，出現1點的概率為，故D排除．故選：B【點睛】本題考