第二講復數的概念與運算真題展示2022新高考一卷第一題若，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】利用復數的除法可求，從而可求.【詳解】由題設有，故，故，故選：D知識要點整理1．數系的擴充與復數的相關概念(1)復數的引入為了解決+1=0這樣的方程在實數系中無解的問題，我們引入一個新數i，規定：①=1，即i是方程+1=0的根；②實數可以和數i進行加法和乘法運算，且加法和乘法的運算律仍然成立.在此規定下，實數a與i相加，結果記作a+i；實數b與i相乘，結果記作bi；實數a與bi相加，結果記作a+bi.注意到所有實數以及i都可以寫成a+bi(a,b∈R)的形式，從而這些數都在擴充后的新數集中.(2)復數的概念我們把形如a+bi(a,b∈R)的數叫做復數，其中i叫做虛數單位.全體復數構成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做復數集.這樣，方程+1=0在復數集C中就有解x=i了.(3)復數的表示復數通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊說明時，復數z=a+bi都有a,b∈R，其中的a與b分別叫做復數z的實部與虛部.(4)復數的分類對于復數a+bi，當且僅當b=0時，它是實數；當且僅當a=b=0時，它是實數0；當b≠0時，它叫做虛數；當a=0且b≠0時，它叫做純虛數.顯然，實數集R是復數集C的真子集，即RC.復數z=a+bi可以分類如下：復數，復數集、實數集、虛數集、純虛數集之間的關系，可用圖表示.2．復數相等在復數集C={a+bi|a,b∈R}中任取兩個數a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我們規定：a+bi與c+di相等當且僅當a=c且b=d，即當且僅當兩個復數的實部與實部相等、虛部與虛部相等時，兩個復數才相等.3．復數的幾何意義(1)復平面根據復數相等的定義，可得復數z=a+bi有序實數對(a,b)，而有序實數對(a,b)平面直角坐標系中的點，所以復數集與平面直角坐標系中的點集之間可以建立一一對應關系.如圖所示，點Z的橫坐標是a，縱坐標是b，復數z=a+bi可用點Z(a,b)表示，這個建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸.(2)復數的幾何意義——與點對應由上可知，每一個復數，有復平面內唯一的一個點和它對應；反過來，復平面內的每一個點，有唯一的一個復數和它對應.復數集C中的數和復平面內的點是一一對應的，即復數z=a+bi復平面內的點Z(a,b)，這是復數的一種幾何意義.(3)復數的幾何意義——與向量對應在平面直角坐標系中，每一個平面向量都可以用一個有序實數對來表示，而有序實數對與復數是一一對應的.這樣就可以用平面向量來表示復數.如圖所示，設復平面內的點Z表示復數z=a+bi，連接OZ，顯然向量由點Z唯一確定；反過來，點Z(相對于原點來說)也可以由向量唯一確定.因此，復數集C中的數與復平面內以原點為起點的向量是一一對應的(實數0與零向量對應)，即復數z=a+bi平面向量，這是復數的另一種幾何意義.4．復數的模向量的模r叫做復數z=a+bi的模或絕對值，記作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一個實數a，它的模等于|a|(就是a的絕對值).由模的定義可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R).5．共軛復數(1)定義一般地，當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這這兩個復數叫做互為共軛復數.虛部不等于0的兩個共軛復數也復數z的共軛復數用表示，即若z=a+bi，則=abi.特別地，實數a的共軛復數仍是a本身.(2)幾何意義互為共軛復數的兩個復數在復平面內所對應的點關于實軸對稱(如圖).特別地，實數和它的共軛復數在復平面內所對應的點重合，且在實軸上.(3)性質①=z.②實數的共軛復數是它本身，即z=z∈R，利用這個性質可證明一個復數為實數.6．復數的模的幾何意義(1)復數z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是復數z=a+bi在復平面內對應的點Z(a,b)到坐標原點的距離，這是復數的模的幾何意義.(2)復數z在復平面內對應的點為Z，r表示一個大于0的常數，則滿足條件|z|=r的點Z組成的集合是以原點為圓心，r為半徑的圓，|z|<r表示圓的內部，|z|>r表示圓的外部.三年真題一、單選題1．已知（為虛數單位），則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用復數相等的條件可求.【詳解】，而為實數，故，故選：B.2．若復數z滿足，則（

）A．1 B．5 C．7 D．25【答案】B【分析】利用復數四則運算，先求出，再計算復數的模．【詳解】由題意有，故．故選：B．3．設，其中為實數，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據復數代數形式的運算法則以及復數相等的概念即可解出．【詳解】因為R，，所以，解得：．故選：A.4．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由共軛復數的概念及復數的運算即可得解.【詳解】故選：C5．（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用復數的乘法可求.【詳解】，故選：D.6．若．則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據復數代數形式的運算法則，共軛復數的概念以及復數模的計算公式即可求出．【詳解】因為，所以，所以．故選：D.7．已知，且，其中a，b為實數，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先算出,再代入計算,實部與虛部都為零解方程組即可【詳解】由,結合復數相等的充要條件為實部、虛部對應相等，得,即故選:8．復數在復平面內對應的點所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】利用復數的除法可化簡，從而可求對應的點的位置.【詳解】，所以該復數對應的點為，該點在第一象限，故選：A.9．在復平面內，復數滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意利用復數的運算法則整理計算即可求得最終結果.【詳解】由題意可得：.故選：D.10．設，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意結合復數的運算法則即可求得z的值.【詳解】由題意可得：.故選：C.11．已知，，(i為虛數單位)，則（

）A． B．1 C． D．3【答案】C【分析】首先計算左側的結果，然后結合復數相等的充分必要條件即可求得實數的值.【詳解】，利用復數相等的充分必要條件可得：.故選：C.12．設，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設，利用共軛復數的定義以及復數的加減法可得出關于、的等式，解出這兩個未知數的值，即可得出復數.【詳解】設，則，則，所以，，解得，因此，.故選：C.13．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知得，根據復數除法運算法則，即可求解.【詳解】，.故選：B.14．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用復數的乘法和共軛復數的定義可求得結果.【詳解】因為，故，故故選：C.二、填空題15．已知是虛數單位，化簡的結果為_______．【答案】##【分析】根據復數代數形式的運算法則即可解出．【詳解】．故答案為：．16．是虛數單位，復數_____________．【答案】【分析】利用復數的除法化簡可得結果.【詳解】.故答案為：.三年模擬一、單選題1．（2022·四川·廣安二中模擬預測（文））已知復數滿足，且，則（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】設，利用復數的四則運算列方程求解即可.【詳解】設，則，所以，，解得，即，所以，故選：D2．（2022·四川·石室中學模擬預測（文））已知i是虛數單位，復數，則復數的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據復數運算法則即可得到答案.【詳解】因為,所以復數的虛部為.故選：B.3．（2023·廣西·南寧二中一模（文））若，則z的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由復數的運算法則與復數虛部的概念求解即可【詳解】因為，所以虛部為，故選：B.4．（2022·貴州·貴陽六中一模（理））已知復數的共軛復數為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據復數的除法運算算出，然后可得答案.【詳解】因為，所以，所以，故選：C5．（2022·四川南充·一模（理））若復數滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用復數的除法化簡復數，利用復數的模長公式可求得結果.【詳解】由已知可得，因此，.故選：C.6．（2022·全國·模擬預測）復數在復平面內對應的點所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】先利用復數的乘法和除法法則求出，從而得到其在復平面內對應的點的坐標及所在象限.【詳解】，其在復平面內對應的點為，位于第二象限.故選：B.7．（2022·四川成都·一模（理））如圖，在復平面內，復數對應的向量分別是，則（

）A．1 B． C．3 D．5【答案】B【分析】根據向量的坐標寫出復數，再求加法及模.【詳解】由題意可得：，則，故.故選：B.8．（2022·河南·馬店第一高級中學模擬預測（理））設復數，是z的共軛復數，則（

）A．3 B．1 C．3 D．5【答案】D【分析】先利用復數的除法化簡，進而得到共軛復數，再利用復數的乘法運算求解.【詳解】解：∵，∴，．故選：D．9．（2022·陜西·漢陰縣第二高級中學一模（文））設i為虛數單位，復數滿足，則（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】利用復數運算法則計算得到，從而求出模長.【詳解】由，得，故所以.故選：B.10．（2022·陜西·漢陰縣第二高級中學一模（理））設i為虛數單位，復數z滿足，則（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】先利用復數的運算法則化簡得復數的標準形式，再利用復數模的計算公式即可得出結果.【詳解】由，得，則，,所以，故.故選：B.11．（2021·河南三門峽·一模（理））復數z滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設則，然后代入原式得，然后根據復數相等列方程，解方程即可得到.【詳解】設，則，因為，所以，即，所以，解得，則.故選：B.二、填空題12．（2022·上海寶山·一模）設復數（其中i為虛數單位），則______.【答案】【分析】化簡，根據復數模的運算即可求得結果.【詳解】因為，所以.故答案為：.13．（2022·上海普陀·一模）若（其中i表示虛數單位），則______．【答案】1【分析】計算，即可得到虛部.【詳解】因為，根據復數的概念可知，虛部為1.故答案為：1.14．（2022·上海長寧·一模）復數滿足（其中i為虛數單位），則復數z在復平面上所對應的點到原點O的距離為___________【答案】##【分析】由已知，根據條件，先對已知進行化簡，得到，然后直接求解復數z在復平面上所對應的點Z到原點O的距離即可.【詳解】由已知，，所以，所以復數z在復平面上所對應的點Z為