2020-2024年五年高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題13數列（真題10個考點精準練+精選模擬練）5年考情考題示例考點分析2024年秋考12、18題2024年春考7、12題數列的應用、等比數列的性質；數列與函數的綜合等差數列的性質及求和公式；數列、不等式的應用2023秋考3、21題2023春考16題等比數列的前n項和公式；數列與函數的綜合應用等差數列和等比數列的性質2022秋考10、21題2022春考16、18題等差數列的n項和公式、通項公式；數列中的遞推公式、推理問題、數列的通項公式等知識數列的應用、等比數列性質的應用；等差數列與等比數列的前n項和、數列極限的求法、數列的函數特性及應用。2021年秋考8、12題2021年春考1、9、21題等比數列通項公式和無窮遞縮等比數列的求和公式；數列概念的理解和應用、遞推公式的應用等差數列的通項公式；無窮等比數列的概念及性質、極限的運算；數列的綜合應用、等比數列的判定及求解。2020年秋考2、8、21題2020年春考13題數列極限的求法；等差數列的前n項和與通項公式；數列的綜合應用、不等式以及不等關系、二次函數以及函數的相關性質綜合應用。數列極限的求法一．等差數列的通項公式（共1小題）1．（2021?上海）已知等差數列的首項為3，公差為2，則．二．等差數列的前n項和（共3小題）2．（2024?上海）數列，，，的取值范圍為．3．（2022?上海）已知等差數列的公差不為零，為其前項和，若，則，2，，中不同的數值有個．4．（2020?上海）已知數列是公差不為零的等差數列，且，則．三．等比數列的性質（共1小題）5．（2021?上海）在無窮等比數列中，，則的取值范圍是．四．等比數列的前n項和（共1小題）6．（2023?上海）已知首項為3，公比為2的等比數列，設等比數列的前項和為，則．五．數列的應用（共5小題）7．（2022?上海）已知等比數列的前項和為，前項積為，則下列選項判斷正確的是A．若，則數列是遞增數列 B．若，則數列是遞增數列 C．若數列是遞增數列，則 D．若數列是遞增數列，則8．（2024?上海），，，，任意，，，，滿足，求有序數列，，，有對．9．（2024?上海）無窮等比數列滿足首項，，記，，，，若對任意正整數，集合是閉區間，則的取值范圍是．10．（2021?上海）已知數列滿足，對任意，和中存在一項使其為另一項與的等差中項．（1）已知，，，求的所有可能取值；（2）已知，、、為正數，求證：、、成等比數列，并求出公比；（3）已知數列中恰有3項為0，即，，且，，求的最大值．11．（2020?上海）已知數列為有限數列，滿足，則稱滿足性質．（1）判斷數列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性質，請說明理由；（2）若，公比為的等比數列，項數為10，具有性質，求的取值范圍；（3）若是1，2，3，，的一個排列，符合，2，，，、都具有性質，求所有滿足條件的數列．六．數列的求和（共1小題）12．（2021?上海）已知為無窮等比數列，，的各項和為9，，則數列的各項和為．七．數列遞推式（共2小題）13．（2021?上海）已知，2，，對任意的，或中有且僅有一個成立，，，則的最小值為．14．（2022?上海）數列對任意且，均存在正整數，，滿足，，．（1）求可能值；（2）命題：若，，，成等差數列，則，證明為真，同時寫出逆命題，并判斷命題是真是假，說明理由；（3）若，成立，求數列的通項公式．八．數列與函數的綜合（共2小題）15．（2024?上海）已知．（1）若過，求的解集；（2）存在使得、、成等差數列，求的取值范圍．16．（2023?上海）已知，在該函數圖像上取一點，過點，作函數的切線，該切線與軸的交點記作，若，則過點，作函數的切線，該切線與軸的交點記作，以此類推，，，直至停止，由這些項構成數列．（1）設屬于數列，證明：；（2）試比較與的大小關系；（3）若正整數，是否存在使得、、、、依次成等差數列？若存在，求出的所有取值；若不存在，請說明理由．九．數列的極限（共3小題）17．（2020?上海）計算：A．3 B． C． D．518．（2020?上海）計算：．19．（2022?上海）已知在數列中，，其前項和為．（1）若是等比數列，，求；（2）若是等差數列，，求其公差的取值范圍．一十．等差數列與等比數列的綜合（共2小題）20．（2023?上海）已知無窮數列的各項均為實數，為其前項和，若對任意正整數都有，則下列各項中可能成立的是A．，，，，，為等差數列，，，，，，為等比數列 B．，，，，，為等比數列，，，，，，為等差數列 C．，，，，為等差數列，，，，，為等比數列 D．，，，，為等比數列，，，，，為等差數列21．（2020?上海）已知各項均為正數的數列，其前項和為，．（1）若數列為等差數列，，求數列的通項公式；（2）若數列為等比數列，，求滿足時的最小值．一．選擇題（共14小題）1．（2024?松江區校級模擬）用數學歸納法證明不等式的過程中，由遞推到時不等式左邊A．增加了 B．增加了 C．增加了，但減少了 D．增加了，但減少了2．（2024?長寧區二模）設數列的前項和為，若存在非零常數，使得對任意正整數，都有，則稱數列具有性質①存在等差數列具有性質；②不存在等比數列具有性質；對于以上兩個命題，下列判斷正確的是A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假3．（2024?青浦區二模）設為是首項為，公比為的等比數列的前項和，且，則A． B． C． D．4．（2024?浦東新區校級四模）已知數列不是常數列，前項和為，且．若對任意正整數，存在正整數，使得，則稱是“可控數列”．現給出兩個命題：①存在等差數列是“可控數列”；②存在等比數列是“可控數列”．則下列判斷正確的是A．①與②均為真命題 B．①與②均為假命題 C．①為真命題，②為假命題 D．①為假命題，②為真命題5．（2024?黃浦區二模）設數列的前項和為，若對任意的，都是數列中的項，則稱數列為“數列”．對于命題：①存在“數列”，使得數列為公比不為1的等比數列；②對于任意的實數，都存在實數，使得以為首項、為公差的等差數列為“數列”．下列判斷正確的是A．①和②均為真命題 B．①和②均為假命題 C．①是真命題，②是假命題 D．①是假命題，②是真命題6．（2024?普陀區校級三模）設為無窮數列．若存在正整數，使得對任意正整數，均成立，則稱為“低調數列”．有以下兩個命題：①，是低調數列當且僅當；②若存在，使得，，，，為低調數列，則．那么A．①是真命題，②是假命題 B．①是假命題，②是真命題 C．①、②都是真命題 D．①、②都是假命題7．（2024?寶山區二模）數列中，是其前項的和，若對任意正整數，總存在正整數，使得，則稱數列為“某數列”．現有如下兩個命題：①等比數列為“某數列”；②對任意的等差數列，總存在兩個“某數列”和，使得．則下列選項中正確的是A．①為真命題，②為真命題 B．①為真命題，②為假命題 C．①為假命題，②為真命題 D．①為假命題，②為假命題8．（2024?普陀區模擬）設是數列的前項和，若數列滿足：對任意的，存在大于1的整數，使得成立，則稱數列是“數列”．現給出如下兩個結論：①存在等差數列是“數列”；②任意等比數列都不是“數列”．則A．①成立②成立 B．①成立②不成立 C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立9．（2024?浦東新區校級模擬）已知數列滿足，．給出下列四個結論：①數列每一項都滿足；②數列的前項和；③數列每一項都滿足成立；④數列每一項都滿足．其中，所有正確結論的序號是A．①④ B．②④ C．①③④ D．①②④10．（2024?浦東新區二模）設，，，記，2，，，令有窮數列為零點的個數，2，，，則有以下兩個結論：①存在，使得為常數列；②存在，使得為公差不為零的等差數列．那么A．①正確，②錯誤 B．①錯誤，②正確 C．①②都正確 D．①②都錯誤11．（2024?奉賢區三模）若數列的前項和為，關于正整數的方程記為，命題：對于任意的，存在等差數列使得有解；命題：對于任意的，存在等比數列使得有解；則下列說法中正確的是A．命題為真命題，命題為假命題 B．命題為假命題，命題為真命題 C．命題為假命題，命題為假命題 D．命題為真命題，命題為真命題12．（2024?松江區校級模擬）數列的前項和為，若數列與函數滿足：①的定義域為；②數列與函數均單調增；③存在正整數，使成立，則稱數列與函數具有“單調偶遇關系”．給出下列兩個命題：①與數列具有“單調偶遇關系”的函數有有限個；②與數列具有“單調偶遇關系”的函數有無數個．A．①②都是真命題 B．①是真命題，②是假命題 C．①是假命題，②是真命題 D．①②都是假命題13．（2024?黃浦區校級三模）已知數列是1為首項，2為公差的等差數列，是1位首項，2為公比的等比數列，設，，，則當時，的最大值為A．9 B．10 C．11 D．2414．（2024?浦東新區校級四模）已知數列滿足為正整數），，設集合．有以下兩個猜想：①不論取何值，總有；②若，且數列中恰好存在連續的7項構成等比數列，則的可能取值有6個．其中A．①正確，②正確 B．①正確，②錯誤 C．①錯誤，②正確 D．①錯誤，②錯誤二．填空題（共35小題）15．（2024?閔行區校級三模）設某直角三角形的三個內角的余弦值成等差數列，則最小內角的正切值為．16．（2024?普陀區模擬）設等比數列的公比為，則“，，成等差數列”的一個充分非必要條件是．17．（2024?黃浦區校級三模）數列滿足為正整數），且與的等差中項是5，則首項．18．（2024?松江區校級模擬）已知等差數列的前項和為，若，，則．19．（2024?虹口區模擬）已知數列的前項和，則．20．（2024?浦東新區二模）已知等差數列滿足，，則．21．（2024?松江區二模）已知等差數列的公差為2，前項和為，若，則使得成立的的最大值為．22．（2024?普陀區校級模擬）已知為等比數列，公比，，且，，成等差數列，則通項公式．23．（2024?浦東新區校級模擬）已知為無窮等比數列，，，則的公比為．24．（2024?楊浦區二模）各項為正的等比數列滿足：，，則通項公式為．25．（2024?閔行區校級三模）設是等比數列的前項和，若，，則．26．（2024?金山區二模）設公比為2的等比數列的前項和為，若，則．27．（2024?楊浦區校級三模）無窮等比數列滿足：，，則的各項和為．28．（2024?浦東新區校級模擬）已知首項為2的等比數列的公比為，則．29．（2024?奉賢區三模）若數列滿足對任意整數有成立，則在該數列中小于100的項一共有項．30．（2024?寶山區校級四模）數列的最小項的值為．31．（2024?虹口區二模）已知等比數列是嚴格減數列，其前項和為，，若，，成等差數列，則．32．（2024?浦東新區校級四模）記為等比數列的前項和．若，則的公比為．33．（2024?閔行區校級三模）數列滿足，若，，則數列的前20項的和為．34．（2024?嘉定區校級模擬）已知數列是等比數列，且．設，數列的前項和為，則．35．（2024?黃浦區校級模擬）若項數為的數列，滿足：，2，3，，，我們稱其為項的“對稱數列”．例如：數列1，2，2，1為4項的“對稱數列”；數列1，2，3，2，1為5項的“對稱數列”．設數列為項的“對稱數列”，其中，，，是公差為的等差數列，數列的最小項等于，記數列的前項和為，若，則的值為．36．（2024?寶山區二模）在數列中，，且，則．37．（2024?閔行區校級模擬）已知有窮數列的首項為1，末項為12，且任意相鄰兩項之間滿足，，則符合上述要求的不同數列的個數為．38．（2024?長寧區校級三模）已知數列的通項公式為，數列滿足，則．39．（2024?黃浦區二模）已知數列是給定的等差數列，其前項和為，若，且當與時，，，取得最大值，則的值為．40．（2024?浦東新區校級模擬）已知無窮數列的前項和為，不等式對任意不等于2的正整數恒成立，且，那么這樣的數列有個．41．（2024?嘉定區校級模擬）已知數列滿足，，則此數列的通項．42．（2024?徐匯區校級模擬）已知數列，是公差相等的等差數列，且，若為正整數，設，則數列的通項公式為．43．（2024?閔行區校級三模）已知數列滿足，點在雙曲線上，則．44．（2024?寶山區二模）某區域的地形大致如圖1，某部門負責該區域的安全警戒，在哨位的正上方安裝探照燈對警戒區域進行探查掃描．假設1：警戒區域為空曠的扇環形平地；假設2：視探照燈為點，且距離地面20米；假設3：探照燈照射在地面上的光斑是橢圓．當探照燈以某一俯角從側掃描到側時，記為一次掃描，此過程中照射在地面上的光斑形成一個扇環，2，3，．由此，通過調整的俯角，逐次掃描形成扇環、、．第一次掃描時，光斑的長軸為，米，此時在探照燈處測得點的俯角為（如圖．記，經測量知米，且是公差約為0.1米的等差數列，則至少需要經過次掃描，才能將整個警戒區域掃描完畢．45．（2024?普陀區模擬）設，，是正整數，是數列的前項和，，，若，且，，記，則．46．（2024?浦東新區校級模擬）已知數列滿足：對任意，都有，，設數列的前項和為，若，則的最大值為．47．（2024?長寧區校級三模）已知數列共有5項，且滿足：①，；②；③，、2、3、4．則滿足條件的數列共有個．48．（2024?楊浦區校級三模）設關于的方程的從小到大的第個非負解為，2，3，，若數列是無窮等差數列，且在區間中的項恰好比在區間，中的項少2項，則的取值集合為．49．（2024?普陀區校級三模）等差數列滿足，則的最大值為．三．解答題（共11小題）50．（2024?閔行區校級三模）如圖，已知正方體頂點處有一質點，點每次會隨機地沿一條棱向相鄰的某個頂點移動，且向每個頂點移動的概率相同，從一個頂點沿一條棱移動到相鄰頂點稱為移動一次，若質點的初始位置位于點處，記點移動次后仍在底面上的概率為．（1）求；（2）證明：數列是等比數列；若，求的最大值．51．（2024?閔行區校級模擬）某集團投資一工廠，第一年年初投入資金5000萬元作為初始資金，工廠每年的生產經營能使資金在年初的基礎上增長．每年年底，工廠向集團上繳萬元，并將剩余資金全部作為下一年的初始資金，設第年的初始資金為萬元．（1）判斷是否為等比數列？并說明理由；（2）若工廠某年的資金不足以上繳集團的費用，則工廠在這一年轉型升級．設，則該工廠在第幾年轉型升級？52．（2024?青浦區二模）若無窮數列滿足：存在正整數，使得對一切正整數成立，則稱是周期為的周期數列．（1）若（其中正整數為常數，，，判斷數列是否為周期數列，并說明理由；（2）若，判斷數列是否為周期數列，并說明理由；（3）設是無窮數列，已知．求證：“存在，使得是周期數列”的充要條件是“是周期數列”．53．（2024?嘉定區校級模擬）已知，集合，，其中，，，．（1）求中最小的元素；（2）設，，且，求的值；（3）記，，若集合中的元素個數為，求．54．（2024?寶山區校級四模）已知，數列的前項和為，點，均在函數的圖像上．（1）求數列的通項公式；（2）若，令，求數列的前2024項和．55．（2024?徐匯區模擬）已知各項均不為0的數列滿足是正整數），，定義函數，是自然對數的底數．（1）求證：數列是等差數列，并求數列的通項公式；（2）記函數，其中；證明：對任意，；數列滿足，設為數列的前項和．數列的極限的嚴格定義為：若存在一個常數，使得對任意給定的正實數（不論它多么小），總存在正整數滿足：當時，恒有成立，則稱為數列的極限．試根據以上定義求出數列的極限．56．（2024?閔行區二模）已知定義在上的函數的表達式為，其所有的零點按從小到大的順序組成數列．（1）求函數在區間上的值域；（2）求證：函數在區間，，上有且僅有一個零點；（3）求證：．57．（2024?普陀區校級三模）對給定的在定義域內連續且存在導函數的函數，若對在定義域內的給定常數，存在數列滿足在的定義域內且，且