2024－2025學年度第一學期期中考試九年級數學試題一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.）1.下列是關于x的一元二次方程的是（）A. B. C. D.2.已知⊙O的半徑為1，點P在⊙O外，則OP的長（）A.大于1 B.小于1 C.大于2 D.小于23.下列方程中，有兩個相等實數根的是（）A. B. C. D.4.小明在處理一組數據“12，12，28，15，■”時，不小心將其中一個數據污染了，只記得該數據在20~30之間，則“■”在范圍內無論為何值都不影響這組數據的（）A.平均數 B.中位數 C.眾數 D.方差5.如圖，已知點A，B，C，D都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，下列說法錯誤的是（）A. B.∠AOC＝∠BOD C.AC＝2CD D.OC⊥BD6.如圖，在⊙O中，AB為直徑，點C為圓上一點，將劣弧沿弦AC翻折交AB于點D，連接CD.若點D與圓心O不重合，∠BAC＝26°，則∠DCA的度數為（）A.36° B.38 C.40° D.42°7.如圖，在一張Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，⊙O是它的內切圓.小明用剪刀沿著⊙O的切線DE剪下一塊三角形ADE，則△ADE的周長為（）A.4 B.5 C.6 D.88.如圖，已知PA，PB是⊙O的兩條切線，A，B為切點，線段OP交⊙O于點M.給出下列四種說法：①PA＝PB；②OP⊥AB：③四邊形OAPB有外接圓；④M是△ABP的內心，其中所有正確說法的個數是（）A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.）9.一組數據為1，－1，3，2，則這組數據的極差是________.10.寫出一個兩根分別為1和2的一元二次方程：________________.11.公司對應聘者進行創新、綜合知識、語言測試，三項成績分別為72分、50分、88分.若這三個分數依次按1：2：1的比例確定綜合成績，則該應聘者的得分為________分.12.如圖，⊙O是△ABC的內切圓，與AB，BC，CA的切點分別為D，E，F，若∠BDE＋∠CFE＝110°，則∠A的度數是________.13.如圖，在⊙O中，直徑EF⊥CD，垂足為M，EM＝6，MF＝2，則CD的長度為________.14.是一元二次方程的一個根，，則的值是________.15.若，則的最大值為________.16.對于兩個不相等的實數a，b，規定表示a，b中較大的數，例如.則方程的解為________.17.如圖，正方形ABCD的邊長為8，M是AB的中點，P是BC邊上的動點，連接PM，點P為圓心，PM長為半徑作⊙P.當⊙P與正方形ABCD的邊相切時，BP的長為________.18.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AC為直徑，若，BC＝3，點P從B點出發，在△ABC內運動且始終保持∠CBP＝∠BAP，當C，P兩點距離最小時，動點P的運動路徑長為________.三、解答題（本大題共9小題，共96分，請在答題卡指定區域內作答）19.（10分）解方程：（1）； （2）.20.（10分）某校為了普及環保知識，從七、八兩個年級中各選出10名學生參加環保知識競賽（滿分100分），并對成績進行整理分析，得到如下統計圖表信息：平均數眾數中位數七年級參賽學生成績85.5m87八年級參賽學生成績85.585n根據以上信息，回答下列問題：（1）填空：m＝________，n＝________；（2）七、八年級參賽學生成績的方差分別記為，，則________（填“＞”“＜”或“＝”）；（3）若要從七、八年級選一個年級代表學校參加比賽，應該選哪個年級？說明理由.21.（10分）已知關于x的一元二次方程（m為常數）.（1）求證：不論m為何值，該方程總有實數根；（2）若方程的一個根是另一個根的兩倍，求方程的兩個根.22.（10分）如圖，四邊形ABCD內接于一圓，CE是邊BC的延長線，（1）求證∠DAB＝∠DCE；（2）若∠DAB＝60°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度數.23.（10分）某種商品原價為100元，經過連續兩次降價，發現第二次降價后的價格比第一次降價后的價格少16元.若兩次降價的百分率相同且不超過50%，求降價的百分率.24.（10分）用直尺和圓規作一條直線或圓弧平分已知扇形的面積.①②（1）如圖①，已知扇形OAB，，過點O作一條直線，使扇形的面積被這條直線平分；（2）如圖②，已知扇形OAB，作一條以點O為圓心的圓弧，使扇形的面積被這條圓弧平分.（要求：保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）25.（10分）定義：設，是方程的兩個實數根，若滿足，則稱此類方程為“和諧方程”.例如，方程是“和諧方程”.（1）下列方程是“和諧方程”的是________.①；②；③.（2）若方程是“和諧方程”，求m的值.（3）若方程為“和諧方程”，直接寫出b，c滿足的數量關系.26.（12分）（1）已知AB，CD是⊙O的兩條弦，且AB⊥CD.①②③（Ⅰ）如圖①，AE是⊙O的直徑.求證；（Ⅱ）如圖②，連接BC.請用無刻度的直尺作出⊙O的一條弦AE，使AE＝BC.（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）如圖③，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，AC⊥BD.若⊙O的半徑為6，AB＋CD＝16，且AB＞CD，則AB的長度為________.27.（14分）【問題提出】當你進入博物館的展覽廳時，你知道站在何處觀賞最理想？【數學眼光】如圖①，設墻壁上的展品最高處點A距離地面a米，最低處點B距離地面b米，觀賞者的眼睛點C距離地面m米，當過A，B，C三點的圓與過點C的水平線相切于點C時，視角∠ACB最大，站在此處觀賞最理想.①②③【數學思維】小明同學想這是為什么呢？如圖②，他在過點C的水平線HC上任取異于點C的點，連接AC交⊙O于點D，連接BD，……（1）按照小明的思路完成證明過程；【問題解決】（2）如圖③，若墻壁上的展品最高處的點A距地面3米，最低處的點