18.2.3正方形-【人教版期末真題精選】廣西2022-2023八

年級數(shù)學(xué)下學(xué)期期末復(fù)習(xí)專練

一、單選題

1.（2022春?廣西賀州?八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知E是正方形ABCD對角線AC上一

點，且?=則NOBE的度數(shù)是（）

C.22.5°D.30°

2.（2022春?廣西南寧?八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知四邊形ABC。是平行四邊形，下列

結(jié)論中不正確的是（）

A.當(dāng)AB=BC時，它是菱形B.當(dāng)AC1BO時，它是菱形

C.當(dāng)ZA3C=90。時，它是矩形D.當(dāng)AC=B。時，它是正方形

3.（2022春?廣西桂林?八年級統(tǒng)考期末）順次連接菱形四邊中點得到的四邊形是（）

A.平行四邊形B.菱形C.矩形D.正方形

4.（2022春.廣西桂林.八年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCO的邊長為4,將正方形折

疊，使頂點。落在BC邊上的點E處，折痕為GH,若BE:EC=3:1,則線段C4的長

是（）

15

A.3B.C.1D.2

8

5.（2022秋?廣西百色?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形A8CD中，AB=3,點E,F分

別在邊AB,CO上，NEFD=60°.若將四邊形E8CF沿EF折疊，點8恰好落在AO邊

上點8'處，則5E的長度為（）

A.1B.aC.73D.2

6.（2022春?廣西賀州?八年級統(tǒng)考期末）如圖，將正方形OABC放在平面直角坐標(biāo)系中,

O是原點，點A的坐標(biāo)為（1,G）,則點C的坐標(biāo)為（）

A.（―G，1）B.（—1,V5）c.（6，1）D.（―G，—I）

7.（2022春?廣西百色?八年級統(tǒng)考期末）矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是（）

A.對角互補B.對角線互相垂直

C.對角線互相平分D.四邊相等

8.（2022春?廣西河池?八年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形A8CZ）的周長為24,P為對角線

AC上的一個動點，E是8的中點，則PE+PD的最小值為（）

試卷第2頁，共8頁

A.35/5B.3亞C.6D.5

9.（2022春?廣西南寧?八年級統(tǒng)考期末）下列說法正確的是（）

A.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

B.對角線相等的平行四邊形是菱形

C.三個角都是直角的四邊形是矩形

D.一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形

10.（2022春?廣西來賓?八年級統(tǒng)考期末）如圖，AA8C中，AB=AC,點。、E分別是

邊AB、AC的中點，點G、F在BC邊上，四邊形OEFG是正方形.若QE=2cm,則AC

的長為（）

A.3>/3cmB.4cmC.26cmD.25/5cm

二、填空題

11.（2022秋?廣西賀州?八年級統(tǒng)考期末）如圖，將正方形OABC放在平面直角坐標(biāo)系

中，。是原點，A的坐標(biāo)為（1,6），則點C的坐標(biāo)為.

12.（2022春?廣西賀州?八年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD的對角線AC.BD交于

點O,E在2C上，F(xiàn)為。E的中點，△CE尸的周長為18,且CE=5,則OF=.

D

13.（2022春?廣西桂林?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在邊長為4的正方形A8CD中，E是

48邊上的一點，且4E=3,點Q為對角線AC上的動點，則48EQ周長的最小值為一

14.（2022春?廣西崇左?八年級統(tǒng)考期末）如圖，E是邊長為6的正方形的邊A8

上一點，且AE=2,P為對角線5。上的一個動點，則VME周長的最小值是.

15.（2022春?廣西賀州?八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知正方形ABC。的邊長為6,E、F

分別是AB、BC邊上的點，且NEC（尸=45。，將4DAE繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到△DCM

若AE=2,則FM的長為—.

16.（2022春?廣西貴港?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在邊長為2的正方形A8CD中，動點F,

E分別以相同的速度從力，C兩點同時出發(fā)向C和8運動（任何一個點到達(dá)即停止），

連接AE,BF交于點、P,過點尸作PM〃C。交8c于M點，PN〃BC交CD于N點、,連

接MN,在運動過程中則下列結(jié)論：①絲△5CF；②AE=BF；@AE±BF；④線

段MN的最小值為逐-1.其中正確的結(jié)論有一.（填寫正確的序號）

試卷第4頁，共8頁

17.（2022春?廣西來賓?八年級統(tǒng)考期末）如圖，菱形A8C。中，ZB=60°,AB=g,

則以4c為邊長的正方形ACEF的面積為.

18.（2022春?廣西桂林.八年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD的邊長為8,在各邊上

順次截取AE=BF=CG=DH=5,則四邊形EFGH的面積是

三、解答題

19.（2022春?廣西桂林?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCQ中，NBAO的平分線交

BC于點、E,于點/，OG_LAE于點G,DG與EF交于點O.

（1）求證：四邊形ABEF是正方形；

（2）AD=AE,求證：AB=AG；

（3）在（2）的條件下，已知A3=l,求。。的長.

20.（2022春?廣西南寧?八年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形A8CQ是平行四邊形，AE//BD,

AE與CB的延長線交于點E,OE交AB于尸.

EBC

⑴求證：BC=BE；

(2)連接CF,ZADF=ZBCFAD=2AF,求證：四邊形ABC。是正方形.

21.(2022春?廣西來賓?八年級統(tǒng)考期末)已知：如圖，在矩形ABC。中，M、N分別是

邊A。、BC的中點，E、F分別是線段8例、CM的中點.

(1)求證：ZkABM且△￡)"；

(2)當(dāng)A8：A。的值為多少時，四邊形MENF是正方形？請說明理由.

22.(2022春?廣西南寧?八年級校考期末)如圖，正方形ABCD邊長為4,點E在邊AB

上(點E與點A、8不重合)，過點A作AF_LDE,垂足為G,AF與邊BC相交于點F.

(1)求證：△AOF也△￡)(7￡；

13

(2)若ZkOEF的面積為了，求AF的長；

⑶在(2)的條件下，取￡>E,AF的中點M,N,連接MN,求MN的長.

23.(2022春?廣西貴港?八年級統(tǒng)考期末)已知：如圖，邊長為4的菱形A8CD的對角線

AC與8。相交于點0,若NC4￡>=/D3C.

試卷第6頁，共8頁

(1)求證：四邊形4BCD是正方形.

(2)E是0B上一點，BE=l,且OHLCE,垂足為“，。”與0C相交于點F,求線段

OF的長.

24.(2022春?廣西百色?八年級統(tǒng)考期末)如圖，在正方形ABC。中，AE.BF相交于點

DEC

25.(2022春?廣西貴港?八年級統(tǒng)考期末)如圖，在矩形A8CO中，點E,F分別在8C,

4-----------B

(1)求證：四邊形ABC。是正方形；

(2)若AF=3&，BE=\,求四邊形ABC。的面積.

26.(2022春?廣西南寧?八年級統(tǒng)考期末)如圖，正方形A3CO的邊長為6.E,尸分別是

射線AB,AD上的點(不與點A重合)，且￡C_Lb,M為所的中點.P為線段上

圖1

(1)求證：BE=DF；

(2)如圖1：當(dāng)P/W_LEF時，求AE的長；

(3)如圖2：在(2)的條件下，。是4尸的中點，連接MQ,求尸的面積.

試卷第8頁，共8頁

參考答案:

I.c

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)求出NBAC=NA8D=45。，再利用三角形內(nèi)角和定理和等腰三

角形的性質(zhì)求出ZABE=61.5°即可求出"BE的度數(shù).

【詳解】解：；四邊形ABCD是正方形，

NBAC=ZABD=45°,

?/AB=AE,

I8()o-N8AE

NABE=ZAEB==67.5°

2

ZDBE=NABE-ZABD=22.5°,

故選C.

【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，正確求出

ZABE=67.5。是解題的關(guān)鍵.

2.D

【分析】根據(jù)菱形的判定，矩形的判定進(jìn)行逐一判斷即可.

【詳解】解：A、?.?四邊形A3CD是平行四邊形，AB^BC,

四邊形ABC。是菱形，說法正確，不符合題意;

B、；四邊形A8CZ）是平行四邊形，AC1BD,

二四邊形ABC。是菱形，說法正確，不符合題意;

C、；四邊形A3CD是平行四邊形，ZABC=90°,

四邊形ABCO是矩形，說法正確，不符合題意;

D、：四邊形48co是平行四邊形，AC=BD,

四邊形ABC。是矩形，說法錯誤，符合題意；

故選D.

【點睛】本題主要考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟知菱形和矩形的判定

條件是解題的關(guān)鍵.

3.C

【分析】畫出圖形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到ACJ.BD,根據(jù)三角形中位線定理、矩形的判定定

理證明結(jié)論.

【詳解】解：?..四邊形ABCQ是菱形,

答案第1頁，共21頁

HD

：.ACLBD,

,：E,F,G,”是菱形各邊的中點，

J.EFUBD,FG//AC,

：.EFLFG,

同理：FGLHG,GHLEH,HE1EF,

，四邊形EFG”是矩形.

故選：C.

【點睛】本題考查的是中點四邊形，掌握菱形的性質(zhì)定理、矩形的判定定理以及三角形的中

位線定理是解題的關(guān)鍵.

4.B

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得￡＞，=￡"，設(shè)C〃=x,則DH=EH=4-x,根據(jù)

BE:EC=3:1,可得CE=1,在RrAECH中,根據(jù)勾股定理，列出方程，解出即可得出C4

的長.

【詳解】解：設(shè)CH=x,則O〃=E〃=4-x,

VBE:EC=3:\,BC=4,

：.CE=LBC=1,

4

在RlAECH中,

,:EC2+CH2=EH2,

/.1+x2=（4-x）2,

解得：X=~,

o

即CH=".

8

故選：B

【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)以及翻折變換，折疊問題其實質(zhì)是軸對稱變換.解題時,

答案第2頁，共21頁

常常設(shè)要求的線段長為X,然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含X的代數(shù)式表示其他線段的長

度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切危\用勾股定理列出方程求出答案.

5.D

【分析】由CQ〃AB得到NEFO=NFEB=60。，由折疊得到NFEB=NFEB'=60。，進(jìn)而得到

ZAEB'=60°,然后在RJAE3'中由30。所對直角邊等于斜邊一半即可求解.

【詳解】解：???四邊形ABCO是正方形，

：.CD//AB,

：.NEFD=NFEB=60。,

由折疊前后對應(yīng)角相等可知：ZFEB=ZFEB'=60°,

：.ZAEH=180°-NFEB-NFEB'=60°,

：.ZAB,E=30°,

設(shè)AE=x,貝IJ5E=B'E=2X,

：.AB=AE+BE^x=?>,

.?.41,

BE-2x^2,

故選：D.

【點睛】本題借助正方形考查了折疊問題，30。角所對直角邊等于斜邊的一半等知識點，折

疊問題的性質(zhì)包括折疊前后對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，折疊產(chǎn)生角平分線，由此即可解題.

6.A

【詳解】解：如圖：過點A作ADLx軸于D,過點C作CELx軸于E,

ZOAD+ZAOD=ZCOE+ZAOD,

二NOAD=/COE,

；OC=OA,ZODA=ZOEC=90°,

.,.△OAD^AOCE全等，

??.OE=AD=5CE=OD=1,

點C的坐標(biāo)為(41)，

故選A.

7.C

答案第3頁，共21頁

【分析】A中菱形對角不互補，則錯誤，B中矩形對角線不互相垂直，則錯誤，C中平行四

邊形的對角線互相平分，以上三個圖形都是平行四邊形，正確，D三個圖形中，矩形四邊不

相等，錯誤.

【詳解】解：A.菱形對角不互補，故本選項錯誤；

B.矩形對角線不互相垂直，故本選項錯誤；

C.平行四邊形的對角線互相平分，以上三個圖形都是平行四邊形，故本選項正確；

D.三個圖形中，矩形四邊不相等，故本選項錯誤.

故選C.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，主要從對角線著手考查的，正方形是平行四邊形得最典

型的圖形.

8.A

【分析】由于點B與。關(guān)于AC對稱，所以連接BE,與AC的交點即為P點.此時PE+P0=BE

最小，而8E是直角△C8E的斜邊，利用勾股定理即可得出結(jié)果；

【詳解】解：如圖，連接8E,設(shè)8E與AC交于點尸，

?.?四邊形ABC。是正方形，

.?.點B與。關(guān)于AC對稱，

：.P'D=P'B,

：.P'D+P'E=P'B+P'E=BE最小.

即P在AC與BE的交點上時，尸D+PE最小，即為2E的長度.

?.?正方形ABCD的周長為24

二直角△CBE中，ZBCE=90°,BC=6,CE=^CD=3,

BE=\ld+W=35

故選A.

答案第4頁，共21頁

【點睛】本題題考查了軸對稱中的最短路線問題，要靈活運用正方形的性質(zhì)、對稱性是解決

此類問題的重要方法，找出尸點位置是解題的關(guān)鍵

9.C

【分析】根據(jù)平行四邊形和特殊的平行四邊形的判定方法依次進(jìn)行判定即可.

【詳解】解：A.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形不是平行四邊形，選項錯誤；

B.對角線相等的平行四邊形是矩形，選項錯誤；

C.三個角都是直角的四邊形是矩形，選項正確；

D.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，選項錯誤.

故選：C.

【點睛】本題考查了平行四邊形、菱形、矩形、正方形的判定，熟練掌握各個判定方法是解

題的關(guān)鍵.

10.D

【詳解】解：：點。、E分別是邊A3、AC的中點，

：.DE=^BC,

*.*DE=2cmf

/.BC=4cm,

?：AB=ACt四邊形OE/G是正方形.

：.ZB=ZCfDG=EF=2,ZDGF=ZEFG=90°9

：.NDGB=/EFC=9U。,

:?△BDGQACEF,

；.BG=CF=T,

:.EC^+f=5

.*.AC=25/5cm.

故選：D.

11.卜6,1)

【分析】如圖作軸于F,CE_Lx軸于E,先證明ACOE絲△OA尸，推出CE=OF,OE

—AF,由此即可解決問題.

【詳解】解：如圖作AFLx軸于F,CELx軸于E.

答案第5頁，共21頁

???四邊形ABCO是正方形，

：.OA=OC,ZAOC=90°,

,：ZCOE+ZAOF^90°,N4。尸+NOAF=90°,

：.ZCOE=ZOAF,

在ACOE和△OAF中，

ZCEO=ZAFO

<ZCOE=ZOAF,

OC=OA

：.^\COE^/\OAF,

：.CE=OF,OE^AF,

VA(1,6)，

：.CE=OF=\,OE=AF=舊,

二點C坐標(biāo)卜8,1),

故答案為：(-73,1).

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

12.-

2

【分析】取DC的中點//,連接FH，根據(jù)正方形對角線交點是對角線的中點及尸為OE的

中點可得OH是△D8C的中位線，F(xiàn)H是，OEC的中位線，在根據(jù)正方形的性質(zhì)得

NDCB=90°,可得△E>BC和,.DEC為直角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊的中線性質(zhì)利用

△CEF的周長為18可求出再利用勾股定理即可求得CD,則利用中位線的性質(zhì)即可求

解.

【詳解】解：取。C的中點〃，連接

答案第6頁，共21頁

D

正方形ABC。的對角線AC.80交于點0,且尸為OE的中點，

.?.OH是△O8C的中位線，是:.DEC的中位線，

又四邊形A3CD是正方形，

:.BC=DC,ZDCB=90°,

■■■/\DBC和.DEC為直角三角形，

.-.CF=EF=-DE,

2

又ACE尸的周長為18,且CE=5,

“?18-513l,,5

EF=CF=----=——,FH=—CE=一,

2222

:.DE=2EF=\3f

.\CD=^DE2-CE2=V132-52=12>

.?.BC=CD=\2,

,,.OH=LBC=6,

2

57

:.OF=OH-FH=6——=-,

22

故答案為：7.

【點睛】本題考查了三角形中位線性質(zhì)、直角三角形斜邊的中線性質(zhì)、勾股定理、正方形的

性質(zhì)，解題的關(guān)鍵熟練掌握中位線性質(zhì)及直角三角形斜邊的中線性質(zhì).

13.6

【分析】連接80,DE,根據(jù)正方形的性質(zhì)可知點8與點。關(guān)于直線AC對稱，故。E的長

即為8Q+QE的最小值，進(jìn)而可得出結(jié)論.

【詳解】解：連接80,DE,

答案第7頁，共21頁

?.?四邊形ABC。是正方形，

，點B與點D關(guān)于直線AC對稱，

的長即為BQ+QE的最小值,

???DE=BQ+QE=y/Alf+AE2=742+32=5，

△BEQ周長的最小值=￡>￡+BE=5+1=6.

故答案為：6.

【點睛】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，解題的關(guān)鍵是熟知軸對稱的性質(zhì).

14.2713+2/2+2713

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可知，A點與C點關(guān)于8。對稱，連接CE交8。與P，點，此時

AP+PE最小，則VAPE的周長最小.

【詳解】如圖，連接CE交5。與P，點，

根據(jù)正方形的性質(zhì)可知，A點與C點關(guān)于8力對稱，此時AP+PE=CE最小,

正方形的邊長為6,AE=2,

BC=6,BE=4

在RfCBE中，C￡：2=BE2+8C2=42+62=52

CE=2岳

VAPE周長=A￡+A尸+PE=AE+C￡=2+2V15.

故答案為2如+2

答案第8頁，共21頁

【點睛】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握正方形的性質(zhì)，判斷出A點與C點關(guān)于80

對稱是解題的關(guān)鍵.

15.5

【分析】由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可證明△EDF絲△”￡＞「，從而EF=FM；?FM=EF=x,則可得BF=8-x,

由勾股定理建立方程即可求得x.

【詳解】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：DE=DM,CM=AE=2,NADE=NCDM,ZEDM=90°

??,四邊形是正方形

AZADC=ZB=90°,AB=BC=6

：.ZADE+ZFDC=AADC-ZEDF=45°

；.NFDC+NCDM=45°

即NMOF=45"

NEDF=NMDF

在4比)尸和4MQF中

DE=DM

"NEDF=NMDF

DF=DF

：.AEDF%/XMDF(SAS')

：.EF=FM

設(shè)EF=FM=x

貝ljFC=EW-CM=x_2

BF=BC-FC=6-(x-2)=8-x

'：BE=AB-AE=6-2=4

在心AEB尸中，由勾股定理得：(8-X)2+42=X2

解得：x=5

故答案為：5

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，運用了方

程思想，關(guān)鍵是證明三角形全等.

16.①②③④

【分析】由正方形的性質(zhì)及尸，E以相同的速度運動，利用SAS證明AABE絲△8CF,得到

AE=BF,NBAE=NCBF,再根據(jù)/C8F+/ABP=90°,可得/BAE+NABP=90°,進(jìn)而得至lj

答案第9頁，共21頁

AELBF,根據(jù)點尸在運動中保持N”B=90。，可得點P的路徑是一段以AB為直徑的弧，設(shè)

AB的中點為H,連接C"交弧于點P,此時CP的長度最小，根據(jù)勾股定理，求出CH的長

度，再求出P”的長度，即可求出線段CP的最小值，根據(jù)矩形對角線相等即可得到

【詳解】解：???動點F,E分別以相同的速度從Q,C兩點同時出發(fā)向C和B運動，

：.DF=CE,

?.?四邊形ABC。是正方形，

:.AB=BC=CD=2,NABC=NBC￡>=90。，

:.CF=BE,

.,.△ABE絲△BCF(&4S),故①正確；

：.AE=BF,NBAE=NCBF,故②正確；

ZCBF+ZABP=90°,

：.ZBAE+ZABP=90°,

：.ZAPB=90°,BPAEVBF,故③正確；

?.,點尸在運動中始終保持/APB=90。，

.??點P的路徑是一段以AB為直徑的弧，如圖，

設(shè)AB的中點為H,連接CH交弧于點P,此時CP的長度最小,

在RdBCH中，CHEBC'BH。=&,

；PH=；AB=1,

:.CP=CH-PHf-\,

"：PM//CD,PN//BC,

四邊形PMCN是平行四邊形，

■:ZBCD=90°,

，四邊形PMCN是矩形,

答案第10頁，共21頁

:.MN=CPf-l,即線段MN的最小值逐-1,故④正確.

故答案為：①②③④.

【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形、勾股定理等，解題的關(guān)鍵是證明

△ABE與4BCF.

17.2

【分析】由題意可知AABC是等邊三角形，可得AC=AB,進(jìn)而可求正方形ACEF的面積.

【詳解】解：；四邊形ABCO是菱形，/8=60。，

：.AB=BC,

.??△ABC是等邊三角形

AB=6

??AC=AB=>/?.

二正方形ACEF的邊長為應(yīng)，面積為2

故答案為：2.

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵在

于求出AC的長.

18.34

【分析】由正方形的性質(zhì)得出NA=/B=/C=ND=90。，AB=BC=CD=DA,證出

AH=BE=CF=DG,由SAS證明△AEH絲△BFEgZ^CGF絲ADHG,得出EH=FE=GF=GH,

ZAEH=ZBFE,證出四邊形EFGH是菱形，再證出NHEF=90。，即可得出四邊形EFGH是

正方形，由勾股定理得EH,即可得出正方形EFGH的面積.

【詳解】???四邊形ABCD是正方形，

AZA=ZB=ZC=ZD=90°,AB=BC=CD=DA,

：AE=BF=CG=DH,

，AH=BE=CF=DG.

在4AEH、ABFE、ACGF和仆DHG中，

'AE=BF=CG=DH

，ZA=ZB=NC=ZD

AH=BE=CF=DG

.,.△AEH^ABFE^ACGF^ADHG(SAS),

；.EH=FE=GF=GH,/AEH=/BFE,

答案第II頁，共21頁

...四邊形EFGH是菱形，

VZBEF+ZBFE=90°,

二/BEF+NAEH=90°,

ZHEF=90°,

???四邊形EFGH是正方形，

：AB=BC=CD=DA=8,AE=BF=CG=DH=5,

EH=FE=GF=GH==宿

所以正方形EFGH的面積后

【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理：熟練

掌握正方形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵.

19.(1)見解析；(2)見解析；(3)2-41

【分析】(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)證得EF=EB,根據(jù)正方形的判定即可證得結(jié)論；

(2)根據(jù)三角形全等的判定證得AG。絲△ABE,由全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(3)首先證得△OFO也△EG。得到FO=GO,FD=EG,根據(jù)勾股定理證得。0=夜。尸

=V20G,根據(jù)線段的和差求解即可.

【詳解】(1)證明：；四邊形ABCO為矩形，

AZBAF^ZABE=90°,

'：EF±AD,

二四邊形ABE尸是矩形，

平分NBA。，

：.EF=EB,

...四邊形ABEF是正方形；

(2)平分/8W,

:.NDAG=NBAE,

ZDAG=ZBAE

在△AGO和△A8E中，-ZAGD=ZABE,

AD=AE

???△AG。絲△ABE(A4S),

：.AB=AG；

(3)???四邊形A8EF是正方形,

答案第12頁，共21頁

：.AB=AF=\f

,/△NGDWXABE,

/.DG=AB=AF=AG=1,

9

\AD=AEf

：.AD-AF=AE-AGf

即DF=EG,

/FOD=NGOE

在△。/O和△EGO中，NDFO=NEGO=90°,

DF=EG

，△力/。絲△EG。（AAS）,

:?FO=GO,FD=EG

9

：ZDAE=ZAEF=45°fZAFE=ZAGD=90°f

:.DF=FO=OG=EGf

/.DO=V2OF=5/2OG,

：.DG=DO+OG=y/2OG+OG=1,

1廠

‘°G=K=6"

：.OD=-1）=2-五.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分

線的性質(zhì).熟記各個性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

20.⑴見解析

(2)見解析

【分析】⑴根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得：AD//BC,AD=BC,又由平行四邊形的判定得:

四邊形AE8。是平行四邊形，又由平行四邊形的對邊相等可得結(jié)論；

答案第13頁，共21頁

（2）根據(jù)（1）：四邊形是平行四邊形，對角線互相平分可得：AF=BF=^AB,

EF=FD,從而證明AD=AB,即鄰邊相等，證明EF=FC=FD,得NFDC=NFCD,從

而48=90。，根據(jù)有一個角是直角，鄰邊相等的平行四邊形是正方形可得結(jié)論.

【詳解】（1）證明：四邊形ABC。是平行四邊形，

:.AD//BC,AD=BC,

AE//BD,

四邊形AE8D是平行四邊形，

:.AD=EB,

/.BC=BE；

（2）證明：由（1）知：四邊形AE8D是平行四邊形，

/.AF=BF=^AB,EF=FD,

AD=2AF,

：.AB=AD>

ADIIEC,

:.ZADF=NBCF,

;"EC=ZBCF,

:.EF=FC=FD,

NFDC=/FCD,

ZADF+zroc=ZFCD+NBCF,

即ZADC=N8C。，

AD//BC,

/.NADC+N3c0=180。，

:.ZBCD=90Q,

???四邊形ABC。是正方形.

【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、正方形的判定、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線

的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是正確利用平行四邊形的性質(zhì)求解.

21.（1）見解析；（2）當(dāng)AB：AD=\：2時，四邊形MEN尸是正方形，理由見解析

【分析】（1）求出ZA=ZD=90°,AM=DM,根據(jù)全等三角形的判定定理推出即可;

（2）求出NEMF=90。，根據(jù)正方形的判定推出即可.

答案第14頁，共21頁

【詳解】(1)證明：?.?四邊形A3CZ)是矩形，

：.AB=DC,ZA=ZD=90°,

?.?何為中點，

：.AM=DM,

在△A8W和△DCM,

'AM=DM

，ZA=ZZ),

AB=CD

：.(SAS)：

(2)解：當(dāng)AB：AD=\；2時，四邊形MEN尸是正方形，

理由：當(dāng)四邊形MENF是正方形時，則NEMF=90。，

叢ABMQlXDCM,

：.NAMB=NDMC=45。,

為等腰直角三角形，

：.AM=DM=AB,

：.AD=2AB,

即當(dāng)AB：AD=\：2il寸，四邊形MENF是正方形.

【點睛】本題考查了正方形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟

練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

22.⑴見解析

(2)人尸=5或如

(3)MN的長度為正或典

22

【分析】(1)先證得ZAEZANAFB,很容易證明AABF與AD4E全等，由此得出

又由互余可得出/D4F=NC￡>E,進(jìn)而可得結(jié)論；

(2)根據(jù)三角形的面積求得AE,再根據(jù)勾股定理求得OE,根據(jù)(1)中AF=OE即刻得出

結(jié)論；

(3)連接AM并延長交CD于點P,連接PF,可證明ZiOPM四所以PM=AM,DP=AE^3

或1,又MN是AAPF的中位線，求出PF的長即可.

答案第15頁，共21頁

【詳解】（1）證明：U：AFLDE,N3=90。,

ANAED=NAFB,

在“8/與△DAE中，

/AED=NAFB

<ZDAE=ZB,

AD=AB

：./\ABF^/\DAE(AAS),

：.AF=DE,

,/ZADE+ZCDE=ZADE+ZDAG=90°,

J/CDE=NDAF,

在△AOE和△￡>(7￡中，

AD=DC

<ZDAF=NCDE,

AF=DE

：./\ADF^/\DCE(SAS)；

(2)解：V/\ABF^/\DAEf

：.AE=BF=xf

：.BE=CF=4-xf

?,*/\DEF的面積=S正方形一S.DE一S怔BF—SADCF

=4x4-—x4*x-—(4-x)?戈」x4?(4-x)

222

12

=S-2x+—x,

2

；?y=-x2-2v+8=—,

)22

解得，再=3,x2=l,

???AE=3或AE=1,

：.AF=DE=5或后；

(3)解：如圖，連接AM并延長交CO于點P,連接P凡

答案第16頁，共21頁

DPC

一

AEB

?點M是。E的中點，

:.DM=ME,

\'AB//CD,

:.NPDM=4AEM,NDPM=NEAM,

：.ADPM冬/\EAM(AAS),

，PM=AM,DP=AE=3或1,

當(dāng)AE=3時，BF=EP=3,

:.CF=CP=1,

:.PF=Q,

:.MN=LpF=J^-；

22

當(dāng)AE=1時，BF=EP=l,

：.CF=CP=3,

:.PF=3g,

.,1,3-72

??MN=-PDFC=-----；

22

綜上，MN的長度為也或Q.

22

【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，本題的關(guān)

鍵是知道兩線段之間的垂直關(guān)系.

23.(1)證明見解析

(2)272-1

【分析】(1)由菱形的性質(zhì)得出AO〃BC,NBAD=2NDAC,ZABC=2ZDBC,得出

ZBAD+ZABC=\SO0,從而證明Nfi4D=NABC,可求出449=90。，再由正方形的判定

即可得證；

答案第17頁，共21頁

(2)由正方形的性質(zhì)得出ACJ_8￡>,AC=BD=4&C0=；AC=2&,

DO=-BD=2y[2,得出NCO3=/OOC=90。，CO=DO,從而得出NECO=NEDH,

2

然后證明△ECga￡DO(AS4),最后利用全等三角形的性質(zhì)即可求出線段OF的長.

【詳解】(1)證明：???四邊形A8CQ是菱形，

/.AD//BC,ABAD=2ADAC,ZABC=2ZDBC,

：.NSW+ZABC=180°,

,?NCAD=NDBC,

：.ZBAD=ZABC,

：.2ZBAD=180°,

：./BAD=90°,

...四邊形ABC。是正方形.

(2)解：；四邊形ABC。是正方形，AB=BC=4,

：.ACYBD,AC=BD=xjAB2+BC2=4y/2-

AOB=CO=-AC=2y/2,DO=-BD=2yf2,

22

:.NCOB=NDOC=9Q。,CO=DO,

VDHICE,垂足為”，

:.ZDHE=90°,ZEDH+ZDEH=90°,

,/NECO+NDEH=90°,

ZECO=ZEDH,

在二ECO和△/W中，

Z.COE=NDOF

<CO=DO,

2EC0=4FD0

/^ECO^^FDO(ASA),

：.OE=OF.

,:BE=l,

OF=OE=OB-BE=2y[2-\