初中數學知識點

1、相反數:只有符號不同樣的兩個數，我們說其中一種是另一種H勺相反數，也稱為這兩個數互

為相反數。0H勺相反數是0。用數學語言表述為：若a、b互為相反數，則a+b=O即。=-〃，

反之也成立。數aH勺相反數是一a。

2、倒數：若a、b(a、b均不為0)互為倒數，則ab=1即。反之也成立。a的倒數是

ba

0沒有倒數，1和-1時倒數是它們自身。

3、有理數和無理數統稱為實數。實數分為有理數和無理數，也可分為正實數、0、負實數。實

數與數軸上H勺點一一對應。

4、有理數分為正有理數、0、負有理數，它們均是有限小數或無限循環小數；也可分為整數

和分數，整數又分為正整數、0、負整數;分數又分為止分數、負分數。無理數分為正無

理數和負無理數，它們都是無限不循環小數°

5、元是無理數，烏是分數是小數是有理數，0是自然數。

7

6、絕對值的幾何定義:在數軸上，一種數所對應日勺點與原點的距離叫做該數歐I絕對值，數a

的絕對值記為“Ia|代數定義:一種正數的絕對值是它自身;一種負數日勺絕對值是它的相

反數；0的絕對值是0。于是，|a|=a<——>6/>0;|a|=-a<->aW0。

7、任何一種實數的絕對值都是非負數，即|a|20。

a(a>0)

a(a>0)a(ci>0)

0(4=0)或同=.或問

-a(a<0)-a(a<0)

-(aa<0)

8、若|x|=a(a20),則x=±a,即絕對值的原數H勺雙值性。

9、數軸上兩點A（4）、B（XK）之間H勺距離為|AB|二|乙-4I,其中點所示的數為”也。

坐標平面內兩點A（乙，打）、B（乙，）））時距離為：|AB|=1（。一4）2+（%->）2，中點

C的坐標為（區±%,點A到x軸的距離為|），八I,到y軸的距離為到原

22

點日勺距離為,假如乙二/且以力力，則直線AB平行于y軸；假如以二打且4W

/，則直線AB平行于x軸。

10、科學記數法:把一種數寫成土aX10"的形式（其中l〈a<10,n是整數）這種記數法叫做

科學記數法。記數的措施：（1）確定a;a是只有一位整數數位口勺數；（2）確定n；當原數

21時，n等于原數的整數位數減1；當原數VI時,n是負整數,它的絕對值等于原數中左

起第一種非零數字前零的個數（含整數位上的零）。

11、近似數：按某種靠近程度由四舍五入得到日勺數或大概估計數叫做近似數。一般地，一種

近似數四舍五入到哪一位，就說這個近似數精確到哪一位。一種數日勺近似數，常常要用科

學記數法來體現。

12、有效數字：一種近似數，從左邊第一種不是零的數字起，到精確到的位數止，所有日勺數字

都叫做這個數的有效數字。精確度日勺形式有兩種：（1）精確到哪一位數；（2）保留幾種有

效數字。近似數非零數之間日勺0和尾巴上的0都是有效數字。

13、實數大小口勺比較：在數軸上體現的兩個數,右邊總比左邊的大；正數不不大于零;負數不

不不大于零；正數不不大于一切負數；兩個負數，絕對值大口勺反而小。

14、實數加法法則：（1）同號兩數相加，取相似的符號，并把絕對值相加；（2）異號兩數相加,

絕對值相等時，和為0;絕對值不等時，取絕對值較大的數日勺符號，并用較大的絕對值減

去較小日勺絕對值。

15^加法互換律a+b=b+a;加法結合律(a+b)+c=a+(b+c)

16、減去一種數,等于加上這個數時相反數;即a—b=a+（—b）

17、減法運算H勺環節：（1）將減號變成加號，把減數的相反數變成加數；（2）按照加減運算H勺

環節進行運算。

18、兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。實數乘法與加法運算環節同樣，第一

步確定符號,第二步確定絕對值。零乘以任何數都得0。

19、乘法互換律ab二ba；乘法結合律（ab）c=a（be）；乘法分派律a（b+c）;ab+ac

20、兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除;0除以任何一種不等于0的數，都得0；

除以一種數等于乘以這個數日勺倒數,即a4-b=a-1（bWO）

b

21、乘方運算日勺性質：（1）正數的任何次幕都是正數；（2）負數日勺奇次幕是負數,負數日勺偶次

鼎是正數；（3）任何數H勺偶次基都是非負數；（4）-1的偶次幕是1,-1的奇次幕是-1；

（5）1日勺任何次第都是1,0的任何非零次幕都是0;（6）負整數指數零（7）零指數暮

22、列代數式及代數式的求值:用運算符號把數與體現數的字母連接而成的式子，叫做代數

式，單獨一種數或一種字母也是代數式；代數式分為有理式、無理式，有理式又分為整式、

分式，整式分為單項式、多項式。列代數式時，要注意問題的I語言論述所直接或間接體現

的運算次序。一般來說，先讀的先寫；要對的使用表明運算次序的括號；列代數式時，出

現乘法時,一般省略乘號，數與字母相乘，要將數寫在字母前面；帶分數要化成假分數,然后

再與字母相乘;數字與數字相乘仍用“X”號：出現除法運算時，一般按分數的寫法來寫。

代數式的求值是用代數值替代代數式里的字母，按照代數式指明的運算次序計算出成果。

列代數式時,假如代數式后跟單位，應當將具有加減運算時代數式用括號括起來。

23、同類頂：所含字母相似，并且相似字母的指數也相似的項叫做同類項，把同類項合并成一

項就叫做合并同類項。合并同類項的法則就是字母及字母日勺指數不變，系數相加。同類項

32、完全平方式：a?±2ab+b?,尤其注意交叉項的正負性和2倍。（a+b￥=（a-b）2+4ab

33、同底數累日勺除法法則：同底數累相除，底數不變，指數相減，即疝小球二/11（@/0,m、n

都是正整數,m>n）

34、零次暴、負整多次第日勺意義：a°=l（aW0）；ap=-^（aWO,p是正整數）

a1

35、單項式除以單項式：單項式相除，把系數、同底數累分別和除，作為商的因式，對于只

在被除式里具有日勺字母,則連同它日勺指數作為商的一種因式。

36、多項式除以單項式:一般地，多項式除以單項式，先把這個多項式口勺每一項除以這個單項

式，再把所得的商相加。

37、應當注意整式乘法與除法中的符號運算。

38、把一種多項式化成幾種整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式分解因式，多項式

的因式分解常用的措施有：提取公因式法、公式法。

39、分解因式H勺公式:平方差公式：ay?=（a+b）（a-b）;完全平方公式：a2±2aa+b2=（a

±b）2

40、分解因式口勺一般環節:提公因式;二項考慮平方差公式，三項口勺考慮完全平方公式或十字

相乘法；四項及以上考慮分組分解法。有時得用換元法（整體考慮）或者比較系數法。

41、幾種整式相乘，所有最高次項相乘得最高次項，最低次項相乘得最低次項。

42、分式：假如除式B中具有字母，那么稱捺為分式。當B=0時,分式無意義；當A=0且B

W0時,分式日勺值為0；當BNO時，分式故意義。

43、分式的基本性質：分式日勺分子與分母都乘以（或除以）1可一種小等于零的I整式，分式日勺值

丁市pAA,MA+M八..八、

不變，即1rl一=----=------（8=0,MwO）。

BBMB+M

44、分式的乘除法：兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積

時分母；兩個分式相除，把除式的分子與分母顛倒位置后現與被除式相乘。即

acacacadad

bdbd'bdbebe

45、約分：把一種分式的分子和分母的公因式約去,這種變形叫做分式的約分。

46、分子、分母和分式三個符號的同步變化兩個，其成果不變，分數線有時起著括號的作用，

即一zd=zd=_ji.=±

B-B-BB

47、分式附加減法：同分母的加減，分母不變，把分子相加加減；異分母H勺分式相加減，先

通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式H勺加減法法則進行計算。即

a,ba±ba,cad,bead±be

C-ccb~dbd~bdbd

48、分式的乘方：（&〃=《

Jb

49、混合運算：先乘方，再乘除，最終加減，有括號的先算括號里面H勺。

50、解分式方程的I一般環節:去分母,將分式方程化為整式方程；解這個整式方程;驗根，把

整式方程的根代入最簡公分母，若值不為3則是原方程日勺根,若值為0,則是原方程的增

根，舍去。

51、分式方程日勺應用：分式方程應用題與一元方程應用題類似，不同樣日勺是注意雙檢查：（1）

檢查所求的解是不是原方程口勺解；（2）檢查所求的解與否符合題意。注意已知增根，求待定

字母的取值。

52、分式方程有解日勺條件為：去分母后日勺整式方程有解；去分母后的整式方程日勺解不能都為

增根。

53、當成果中具有根式時，一定要化成最簡根式。

54、二次根式日勺有關概念：（1）平方根和算術平方根。一般地，假如一種正數x的平方等于

a,即x2=a,那么這個正數x就叫做a的算術平方根，記為G,我們規定0的算術平方根是

0,即血=0。假如一種數x的平方等于a,即x?=a,那么這個數x就叫做a時平方根（也

叫二次方根），記為土右。一種正數有兩個平方根；0只有一種平方根，它是0自身；負

數沒有平方根。求一種數a的平方根的運算，叫做開平方。（2）立方根。假如一種數x

的立方等于a,即x'a,那么這個數x就叫做aH勺立方根。正數的立方根是正數;0H勺立方

根是0;負數的立方根是負數。

55、一種正數正的平方根叫做它的算術平方根。

56、最簡二次根式：被開方數的因數都是整數，因式都是整式；被開方數中不含能開得盡方

的因數或因式。

57、二次根式口勺化簡:

“("一°);\[ab=\[a-\/h(a>0,b>0);=^-(a>0,b>0)

\[a^=同=?

-a(a<0)\by/b

>Ja_[a

58^二次根式口勺計算：(G)=a(a>0)；4a-4b=4cib

59、二次根式日勺加減法重要是把根式化成最簡二次根式后合并同類二次根式。幾種二次根式

化成最簡二次根式后，假如被開方數相似，這幾種二次根式就叫做同類二次根式。兩個具

有二次根式時代數式相乘，假如它們口勺積不再具有二次根式，稱這兩個二次根式互為有理

化因式。把分母中口勺根號化去，叫做分母有理化。

60、兩個式子比較大小的措施有：直接比較法、求差比較法、求商比較法、中間量傳遞；此

外尚有指數形式往往把底數或指數化為相似；二次根式尚有分母有理化或分子有理化；

61、方程（組）及解I的概念:具有未知數口勺等式叫做方程。在一種方程中，只具有一種未知數

X（元），并且未知數歐I指數是1（次），這樣日勺方程叫做一元一次方程，其原則形式為

依+〃=0（。工0）。使方程左右兩邊口勺值相等口勺未知數的值叫做方程的解。具有兩個未知數,

并且所含未知數日勺的項的I次數都是1時方程叫做二元一次方程。具有兩個未知數的兩個一

次方程所構成日勺一組方程,叫做二元一次方程組。只具有一種未知數的整式方程，并且未

知數最高次數是2的方程叫做一元二次方程,其一般形式為奴2+法+。=0（。。0）。

62、方程或方程組的解法：（1）等式的性質：等式的兩邊同步加上（或減去）同一種代數式（或

除以同一種不為0口勺數），所得成果仍是等式。（2）一元一次方程的解:一般要通過去分母、

去括號、移項、合并同類項、未知數的系數化為1,把一種一元一次方程“轉化”成x二a

的形式。（3）二元一次方程組日勺解法：解方程組的I基本思緒是“消元”一一把“二元”變

為“一元二重要措施有代入消元法和加減消元法。其中代入消元法常用環節是：要消哪

一種字母,就用含其他字母日勺代數式體現出這個字母，然后用體現這個字母的代數式替代

此外的方程中的這個字母即可。（4）一元二次方程的解法有配措施、公式法、分解因式法。

（5）一元二次方程ar?+bx+c=O（4。0）日勺鑒別式4=82-4aco當△=〃?-4ac>0時<--->

or?+bx+c=O（〃。0）有兩個不相等的實數根；當△=〃-44c=0時<--->ax2+bx+c=O

（a+（））有兩個相等的實數根；當A=〃-4ac<0時<~>ax2+bx+c=0（〃w0）沒有實數根。

A「

（6）若再、M是ad+歷:+c=0（a。0）的兩實數根，則有x+x=一一,不乂=—。（7）對于一

12a~a

元二次方程ar?+/zr+c=O（〃。0）,c=0<--->方程有一種根為0;a+Z?+c=O<--->方程有

一種根為1;a-b+c=O<-->方程有一種根為T；

63、有關方程如=仇（1）當a。0時,方程有唯一解x=2；（2）當@=0"工0時，方程無解；⑶

當a=0,b=0時,方程的I解為全體實數。

64、有關方程組,（1）當色工2時方程組有唯一解；已）當幺=4=幺時方程

a2x+b2y=c2a2b2a2b2c2

組無解；（3）當幺=3=2時方程組有無數組實數解。

%Ac2

65、用公式法解一元二次方程時，首先要將一元二次方程化為一般形式，找出a,b,c的值，即

先計算鑒別式枇，再用求根公式x二一""2一4=（/_4〃*0）;用配措施解一

2a

元二次方程時,先將方程二次項系數化為1,然后兩邊同步加上“一次項系數二分之一的平

方二尤其注意別遺漏一種根。注意換元法的使用。

66、一元二次方程H勺近似解的求法,實質是運用夾逼措施進行求解H勺。

67、列方程、方程組解應用題的一般環節是:審題；設未知數；列方程或方程組;解方程或方

程組；檢查并寫出答案。審題是基礎，找出等量關系建立方程（組）模型是關鍵。

68、利潤率=罌=售價對價；打a折,即降價為本來日勺/

進價進價10

69、降次的常用措施是:直接開方降次、分解因式降次，代入降次。

70、不等式的性質：（1）基本性質1:不等式日勺兩邊都加上（或減去）同一種整式，不等號日勺

方向不變；（2）基本性質2：不等式H勺兩邊都乘以（或除以）同一種正數，不等號的方向不

變；（3）基本性質3:不等式H勺兩邊都乘以（或除以）同一種負數，不等號的方向要變化。

71、不等式和不等式組的解法：（1）能使不等式成立日勺未知數日勺值，叫做不等式時解，求

不等式的解集日勺過程叫做解不等式；（2）一元一次不等式組中各個不等式歐|解集歐）公共部

分，叫做這個一元一次不等式組的解集。求不等式組H勺解集歐J過程,叫做解不等式組。記住

多畫畫數軸。

72、求一元一次不等式（組）的整數解的環節：（1）求出一元一次不等式（組）的解集；（2）找

出合適解集范圍口勺整數解、非負數解、正整數解或負整數解。

73、已知不等式組的）解集，確定不等式中的I字母日勺取值范圍，有如下四種措施：（1）逆用不

等式組解；（2）分類討論確定；（3）從反而求解確定；（4）借助數軸確定。

74、一次函數），=h+"2￥0）,當函數值y>0或y<0時，一次函數轉化成不等式，運用函數

圖象、確定函數值和自變量H勺取值范圍。

75、在平面內確定一種點的位置,一般需要兩個量,這兩個量可以是兩個數，也可以是一種角

度、一種數。平面內，確定物體位置的日勺措施重要有兩類：（1）定點的位置:①線線相交,

用交點日勺唯一性位置;②方位角+距離：以某一點為觀測點，用方位角、目日勺抵達這個點的距

離這兩個數據來確定目日勺的位置。（2）定區域的位置。

76、平面直角坐標系點的坐標特性：（1）平面直角坐標系有關概念；（2）點的坐標特性:x軸上

的點，縱坐標為零，y軸上日勺點,橫坐標為零。即體現為（a,0）、（0,b）o第一象限點（+,

+）,第二象限（-,+）,第三象限（-,-）,第四象限（+,-）；（3）對稱點日勺坐標：P（a,

b）有關x軸，y軸和原點日勺對稱點分別為（a,-b）,（-a,b）,（-a,-b）；P（a,b）有關y=x,

y=-x對稱的點口勺坐標為（（b,a）,（-b,-a）；P（a,b）有關y=y0,x=x。對稱的點口勺坐標

為（（a,2y0-b）,（2x0-a,b）；（4）象限角平分線上的J點的特性：第一、三象限角平分線

上的點口勺特性是（a,a）（直線解析式為y=x）；第二、四象限角平分線上的點的特性是（-a,a）

或（a,-a）o

77、圖形日勺變化:

變化前H勺點變化后日勺

坐標變化圖形變化

坐標（x,y）點坐標

(x,y

橫坐標不變，縱坐標加

+n)或圖形向上（或向下）平移了n

平移上（或減去）n（n>0）

(x,y-個單位長度

個單位長度

n)

縱坐標不變，橫坐標加(x+n,

圖形向右(或向左)平移了n

上(或減去)n(n>0)個y)或

個單位長度

單位長度(x-n,y)

橫坐標不變，縱坐標擴

(x,ny)圖形被縱向拉長為本來的n倍

大n(n>l)倍

伸長

縱坐標不變，橫坐標擴

(nx,y)圖形被橫向拉長為本來的n倍

大n(n>l)倍

橫坐標不變，縱坐標縮

(x,—)圖形被縱向縮短為本來的,

小n(n>l)倍nn

壓縮

縱坐標不變，橫坐標縮圖形被橫向縮短為本來的上

(-,y)

小n(n>1)倍nn

橫縱坐標同步擴大n

放大(nx,ny)圖形變為本來的n?倍

(n>l)倍

橫縱坐標同步縮小n圖形變為本來的上

縮小*工)

(n>l)倍nnn-

78、求與幾何圖形聯絡的特殊點的坐標，往往是向x軸或y軸引垂線，轉化為求線段日勺長，

再根據點所在日勺象限，醒上對應的符號。求坐標分兩種狀況：(1)求交點，如直線與直線

時交點；(2)求距離，再將距離換算成坐標，一般作x軸或y軸的垂線，再解直角三角形。

79、一般地，在某一種變化過程中，有兩個變量x和y,假如給定一種x值，對應奪就確定了

一種y值，那么我們稱y是x的函數，其中x是自變量，y是因變量。函數的體現法有三

種：解析法、圖象法、列表法。

80、把一種函數關系式的自變量x與對應的因變量y的值分別作為點的橫坐標和縱坐標，在

平面坐標系內描出它的對應點，所有這些點構成的圖形叫做該函數日勺圖象。即：若點P(x,y)

的坐標滿足函數關系式，則點P在函數圖象上；反之，若點P在函數圖象上，則P(x,y)口勺

坐標滿足函數關系式。描點法畫函數圖象的環節：列表、描點、連線。

81、要使函數關系式故意義：

函數關系式形式自變量取值范圍

整式函數全體實數

分式函數使分母不為零

偶次根式使被開方數非負

根式函數

奇次根式全體實數

零指數、負指數形式函數使底數不為零

82、正比例函數與一次函數的概念：（1）一次函數:形如），二丘（kWO,k,b是常數）日勺

函數叫做一次函數。（2）正比例函數：形如，k是常數）的函數叫做正比例函數。（3）正

比例函數與一次函數的關系：正比例函數是一次函數的特殊情形。

83、一次函數的圖象和性質：（1）圖象：一次函數的身象是過點（-2,0）,（D,b）的一

k

條直線，正比例函數日勺圖象是過點（0,0）,（l,k）的直線；|kI越大，（l,k）就越遠離x

軸，直線與x軸日勺夾角越大；|k|越小，（l,k）就離x軸越近，直線與x軸日勺夾角越小；（2）

性質：k>0時，y隨x增大而增大；kVO時,y隨x增大而減小；（3）圖象跨越的象限:①

k>0,b>0通過一、二、三象限；②kVO,b>0通過一、二、四象限;③k>O,b〈O通過一、

三、四象限；④k〈O,b〈O通過二、三、四象限。即k>0,一三；k<0,二四；b>0,一二；b<

0,三四。（4）直線《：）%=人+伉和小必=七+4日勺位置關系為：.吟也工伉<~>4114；

84、用割補法求面積,基本思想是全面積等于各部分面積之和，在割補時需要注意:盡量使分

割HI『、J三角形的邊有一條在坐標軸上，這樣體現面積較為以便。坐標平面內圖形面積算法:

把圖形分割或補為底邊在坐標軸或平行于坐標軸口勺直線上的三角形、梯形等。

85、求函數H勺解析式往往運用待定系數法，待定系數法的環節：（1）設出含待定系數H勺函數

解析式；（2）由已知條件得出有關待定系數的方程（組），解這個方程（組）；（3）把系數

代回解析式。

86、仔細體會一次函數與一元一次方程及一元一次不等式之間的）內在聯絡：（1）一元一次

方程kx+b=y。（y0是已知數）的解就是直線>=履+〃上，尸y°這點的橫坐標；（2）一元一

次不等式山Wkx+bS%是已知數，且yKy2）的解集就是直線>="+〃上滿足y.^y

Wy?那條線段所對應的自變量日勺取值范圍。（3）一元一次不等式kx+bWy。（或kx+b2y

o）（y。是己知數）的解集就是直線丁="+〃上滿足yWy。（或y2y0）那條線段所對應的自

變量的取值范圍。

87、反比例函數的定義及解析式求法：（1）定義：形如y=七（kWO,k是常數）的函數叫做反

x

比例函數，其自變量取值范圍是xWO；（2）解析式求法：應用待定系數法求k值，由于k=x

y,故只需要已知函數圖象上一點，即求出函數的解析式。

88、反比例函數的圖象和性質:（1）圖象:反比例函數口勺圖象是雙曲線，當k>0時,雙曲線

的兩個分支在第一、三象限；當kVO時，雙曲線的兩個分支在第二、四象限。（2）性質：

當k>0時，在每一象限內，y隨x的增大而減小；當kVO時，在每一象限內，y隨x的增大

而增大；圖象是有關原點對稱日勺中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，其對稱軸為y=x,y=

-x。

89、正、反比例函數圖象及性質對比:

k>0k<0

JJ

圖象_,4

y=kx(kWO)r

y伴隨x增大而增

性質y伴隨x增大而減小

大

J2)L

圖象河

y=-(kWO)

Xr

y伴隨x增大而減

性質y伴隨x增大而增大

小

90、（1）利潤最大、費用最低等一類問題，往往可通過建立函數模型進行處理；（2）運送等

問題可采用列表或畫圖的措施來分析其數據間的關系，這樣易于理清錯綜復雜的I數據，對

解題有極大的協助；（3）方案設計問題,往往先建立不等式,轉化為求不等式的整數解日勺問

題。

91、二次函數日勺定義和解析式求法：（1）形如y=d+/zt+c（a、b、c為常數，&W0）的函

數叫二次函數；（2）用待定系數法求二次函數解析式，其解析式有三種形式。一般式：

2

y-ax+hx+c,重要用于已知拋物線上任意二點日勺坐標；交點式：y-a（x-AJCX-x2）,其

中（陽，0）與（/，0）是拋物線與X軸的兩點交點的坐標，重要用于已知與X軸兩個交點日勺

2

坐標或兩點間的距離及對稱軸；頂點式：y=a（x-h）+k,其中（h,k）是拋物線口勺頂點

坐標，重要用于已知拋物線日勺頂點坐標或對稱軸或最大（小）值。

92、二次函數日勺圖象是一條拋物線，它具有如下性質：（1）拋物線），=。小+6+。的頂點坐標

是（__L,網二打），對稱軸是直線x=—2；當a、b同號時，對稱軸在y軸的左側；當a、

2a4。2a

b異號時，對稱軸在y軸日勺右側；當b=0時，對稱軸為y軸。（2）當a>0時，開口向上;

當a<0時，開口向下；|a|決定拋物線開口大小；|a|越大,拋物線開口越小；|a|越小，

拋物線開口越大。⑶當a>0,戶-2時，y有最小值處心1；當a<0,工=-2時，y

la4a2a

有最大值出土。（4）增減性：對于二次函數y=以2+&+c。①若a>0,當一旦

4。2a

時，y隨x口勺增大而減小;當無>-之時,y隨x的增大而增大;②若2<0,當/<-2時,

2a2a

y隨x的增大而增大；當無>-2時,y隨x的增大而減小。（5）拋物線與y軸交點為（0,

2a

c）,當c>0時,交點在y軸的正半軸;當eV0時，交點在y軸日勺負半軸；當c==0時，通過原

點。

93、對于拋物線,aH勺符號由開口方向確定,b由對稱軸確定,c由拋物線與y軸的交點確定,2a

±b由對稱軸確定，a-b+c由x=-l時y的符號確定,4a—2b+c由x=一2時y的值確定。

即拋物線通過（1,a+b+c）、（-1,a-b+c）、（-2,4a—2b+c）等點。求兩個函數圖象的交

點坐標，就是把兩個函數的解析式聯立成方程組，求出的解就是交點坐標。直線與拋物線

時交點有三種狀況：當方程組有兩解時，有兩個交點（△>（））；當有一種解時，即有一種交

點（△=（））；當沒有解時，即不存在交點（△（0）。

94、構造二次函數模型，求最大（小）值。

95、選擇題日勺解題措施：數形結合的觀測法、特殊值法、驗證法、排除法、直解法。

96>對于拋物線+"+c,與x軸交點A（$,0）>B（x2,0）則（1）IABI=|々-演I

='"-4竺對稱軸/士也

2

97、函數關系式。點坐標一線段長一幾何知識日勺應用。

98、在記錄中，我們把所要考察對象日勺全體叫做總體。總體中每一種考察對象叫做個體。當

總體中個體數目較多時，一般從總體中抽取一部分個體,這一部分個體叫做總體日勺一種樣

本。樣本中個體日勺數目叫做樣本容量。

99、平均數：（1）x=—（Xj+x2+??+xn）；（2）x=x+a,其中x；=耳一〃；（3）

n~

L+4+十4,其中力是數據七日勺權。總體中所有個體的平均數叫做總體平均

小人士"

數。樣本中所有個體的平均數叫做樣本平均數。

100、眾數、中位數與平均數從不同樣日勺角度描述了一組數據的集中趨勢。眾數：在一組數據

中，出現次數最大的數據叫做這組數據的眾數（眾數不唯一）。中位數:把一組數據按從小

到大的次序排列，處在最中間位置上的一種數據（或是最中間兩個數據的平均數）叫做這

組數據日勺中位數。

101、方差是反應一組數據波動大小的特性數，方差越大，這組數據的波動越大。

一-X）2+（X,-工產+…+5-x）2］叫做樣本為,無2,…，X"/'J方差,它可衡量樣本波動大

n

小（離散程度）；S=G叫做樣本的原則差，也是用來衡量樣本波動大小，樣本原則差與原

始數據日勺度量單位一致。另：52=1（V+V++V-/2X］，

n

1—2

222

5=-（X；+X2++婷_姓］

n

102、扇形記錄圖及應用：（1）扇形記錄圖是體現部分在總體中所占的比例，它不能直接得到詳

細日勺數量，是用圓代表總體，扇形代表部分。（2）圓心角定義：頂點在圓心的角叫圓心角,

圓心角的大小等于該部分比例乘以360°。（3）畫扇形記錄圖的環節:計算比例，圓心角，

畫上扇形，標上比例。（4）兩個扇形記錄圖中，在整體數量相等的狀況下，根據扇形的大小

也可判斷部分數量是多還是少。（5）在一種扇形記錄圖中，可以得到兩個部分之間的比例。

103、條形記錄圖能清晰地體現出每個項目的詳細數量，扇形記錄圖能清晰地體現出各個部分

點總體日勺比例。頻數：將一組數據按照統一的原則提成若干組，每個小組內的I數據的個數。

頻率：每個小組的頻數與數據總數日勺比值叫這一小組的頻率。頻率=甥。直方圖中小長

總數

方形的高與頻率成正比，因此其高日勺比即是各小組頻率之比，或各小組頻數之比。

104、求一種樣本的頻率分布狀況的環節：（1）計算最大值與最小值的差；（2）決定組距與組

數；（？）決定分點：（4）列頻率分布表；（5）繪制頻率分布直方圖、扇形記錄圖、折線

記錄圖。

105、某些性質和規律：

數據平均數方差原則差

XS2s

2

xy±a,x2±ay,xM±ax+aSs

22

kx^kx2,,kxnkxkSkS

22

kx、±a,kxy±akx+akSkS

106、一般地，我們把一組數據中其值過大（或過小）的數據看作異常值，有異常值的一組數

據其平均數會受到此數據的影響，這時用中位或眾數來描述一組數據的一般水平比較合適。

〔不確定事件發生的概率

’理論計算

不確定事件概率的計算

實驗估算

107、概率《

［概率的應用

不可能事件

確定事件

必然事件

108、在一定條件下，也許出現不同樣的成果，究竟出現哪一種成果，隨機遇而定，帶有偶爾性

的現象叫做隨機現象。在隨機試驗中，假如一件事情也許發生,也也許不發生，則稱它們為

隨機事件。在一定的條件下，必然會發生日勺事情叫做必然事件。在一定日勺條件下，一定不

會發生的事件叫做不也許事件。必然事件與不也許事件都是確定日勺,這些事件稱為確定事

件。

109、一種事件發生日勺也許也大小叫做該事件發生的概率，一種事件發生日勺概率取值范圍為

°、。〃二所篙黑黑篙數，求概率有樹狀序和列表法兩種列出所有也許成果的措

施。概率是可以在直線上體現出來的。

110、在豐富日勺圖形世界中，我們常見日勺幾何體分類為：棱柱體、圓柱體、圓錐體、棱錐體、

臺體與球體。

111、常見的立體圖形特性:球體是由曲面圍成口勺，圓錐「付底面是圓，側面是曲面;棱錐的底面

是多邊形，側面是三角形;圓柱的底面是圓,側面是曲面；棱柱的底面是多邊形,側面是正方

形或長方形。

112、點、線、面日勺關系:面面相交形成線，線線相交形成點，點動成線，線動成面，面動成體。

113、正方體n勺展開圖是六個正方形；棱柱啊展開圖是兩多邊形與一種長方形；圓錐的展開圖

是一種圓與一種扇形；圓柱口勺展開圖是兩個圓與一種長方形。

114、截面:用一種平面去截一種幾何體，截出日勺面叫做截面。截面日勺形狀：用一種平面去截

一種兒何體，截出的截面形狀一般有正方形、長方形、三角形、梯形與圓等。

115、我們從不同樣方向看同一種物體時，可看到不同樣的圖形，把從正面看到的圖形叫做主

視圖，從左邊看到的圖形叫做左視圖，從上面看到的圖形叫做俯視圖。畫在視圖時，主、俯

視圖規定長對正，主、左視圖要高平齊，左、俯視圖要寬相等。

116、物體在光線H勺照射下,會在地面或墻壁上留下它的影子，這就是投影現象。太陽光線可

以當作平行光線，像這樣的光線所形成的投影稱為平行投影；當投射線與投影面垂直時,

這樣形成的J投影叫做正投影。在平行投影中，物體是互相平行的J,影子也是互相平行的,

常把四邊形日勺問題轉化為直角三角形問題來解。

117、探照燈、手電筒、路燈和臺燈日勺光線可以當作是從一點發出的，像這樣的）光線所形成日勺

投影稱為中心投影。我們看物體,眼睛的位置稱為視點，由視點發出口勺線稱為視線,眼睛看

不到的地方稱為盲區。

118、直線上兩點間的部分叫做線段;在直線上某一點和這一點一旁口勺部分叫做射線；這一點

叫做端點。通過兩點有且只有一條直線，即兩點確定一條直線；兩點之間，線段最短;連結

兩點的線段日勺長度叫做兩點間的距離。應當注意用字母體現它們日勺措施。

119、三線之間的關系:

類型端點的個數延伸性延長線和反向延長線

直線0向兩端無限延伸無

射線1向端無限延伸有反向延長線

線段2無既有延長線，也有反向延長線。

120、直角:90。的角;平角：180°日勺角；周角：360。的角。設一

為a,若0。<a<90°,則a叫銳角；若90°<a<180°,則a叫鈍角；

⑵、1度二60分；1分=60秒；1周角二2平角二4直角。

122、如圖，N1和N5是同位角；N2和N8是內錯角；N2和N5是同旁內角；N4和N2

是對頂角；N5和N8是鄰補角。

123、1+2+3+

2

124、把一條線段分為兩條相等的線段的點，叫做線段的中點。

125、若a+8=90°,則a與B互余。若a+B=180°,則a與B互補。余角和補角是對

兩個角之間的數量關系而言日勺，與兩個角的位置沒有多大日勺關系，互為鄰補角的兩個角與

兩個角日勺位置有關。

126、從一種角的頂點引出H勺一條射線,把這個角提成兩個相等H勺角，這條射線叫做這個角的

平分線。角平分線上的點到角兩邊距離相等。到角兩邊距離相等的點在用的平分線上。

三角形三內角平分線的交點叫做三角形口勺內心。在求三角形內部所形成的角時應想到三

角形內心定理。

127、一種角日勺兩邊分別是另一種角日勺兩邊的反向延長線，這兩個角叫做對頂角。對頂角相等

是常用日勺性質。

128、兩直線相交所構成口勺四個角中有種角是直角時，我們就說這兩條直線互相垂直，其中

一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。通過一點有一條并且只有一條

直線垂直于已知直線；直線外一點與直線上各點連結日勺線段中，垂線段最短。從直線外

一點向已知直線作垂線，這一點和垂足之間日勺線段的I長度叫做點到直線的I距離。

129、過線段的中點且垂直于這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）。線段垂直

平分線上的點到線段兩端點口勺距離相等。和線段兩端點的距離相等的點在線段的垂直平

分線上。

130、在同一平面內不相交的兩條直線叫做平行線。同位角相等，兩直線平行；內錯角相等,

兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行；平行于同一直線日勺兩條直線平行;垂直于同一

直線的兩條直線平行。

131、兩直線平行，同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補;兩平行線間的距離到處相等；夾

在兩平行線間的平行線段相等;過直線外一點有且只有一條直線和這條直線平行。

不等邊三角形（任何兩邊都不相等）

132、三角形按邊分類:三角形只有兩邊相等的等腰三角形；三角形按角分類:

等腰二角形《

等邊三角形

直角三角形

三角形銳角三角形

斜三角形

鈍角三角形

133、三角形任意兩邊的和不不大于第三邊;三角形任意兩邊的差不不不大于第三邊。三角形

的內角和等于180度；三角形的一種外角等于與它不相鄰口勺兩個內角之和;三角形的一

種外角不不大于任何一種與它不相鄰的內角；在直角三角形中，兩個銳角互余；同（等）

角的余（補）角相等。一般來說，較大線段不不大于另兩線段之和時，就能構成三角形。

134、全等三角形日勺鑒定:SAS、ASA、AAS、SSS、HL。全等三角形日勺性質：對應角相等，對

應線段（邊，高,中線，角平分線）相等、周長相等、面積相等。

135、鑒定兩個三角形全等的基本思緒：（1）有兩個角對應相等時，找夾邊對應相等或任一對應

邊相等；（2）有兩邊對應相等時，找夾角對應相等或第三邊相等；（3）有一邊和一角對應

時,找等角的另一邊對應相等或另一角對應相等。

136、等腰三如形H勺性質：兩個底角相等;頂角平分線、底邊上日勺中線、底邊上的高互相重疊。

等腰三角形的鑒定:假如一種三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊相等。等邊

對等角；等角對等邊;大角對大邊；大邊對大角。

137、任何一種圖形日勺對稱軸都是直線。等腰三角形是軸對稱圖形，它的J對稱軸只有一條：底

邊上的高所在直線。等邊三角形日勺對稱軸有三條。等邊三角形歐I內心、外心、重心、垂

心重疊。

138、等邊三角形口勺性質：三邊都相等，三個角都相等，每一種角都等于60%等邊三角形

的鑒定:三條邊都相等的三角形是等邊三角形;三個角都相等H勺三角形是等邊三角形；有

一種角是60。口勺等腰三角形是等邊三角形。

139、三角形日勺重要線段:

交占

名稱定義八、、交點日勺性質

連接三角形的一種頂點和它對重重心到頂點的距離等于

中線

邊中點的1線段心它到對邊中點距離的2倍

三角形一種角的平分線和這個

角平內內心到三角形三邊的距

珀的對邊相交，這個角的頂點

分線心離相等

和交點之間的線段

三角形的1一種頂點到它對邊所垂

在直線的垂線段心

140、直角三角形的性質：兩銳角互余；30°角所對的直角邊等于斜邊日勺二分之一;斜邊上的中

線長等于斜邊的二分之一。直角三角形的鑒定：有一種角是直角的三角形是直角三角形;

有一邊H勺中線等于這邊日勺二分之一日勺三角形是直角三角形。

141、波及與三角形的I高有關日勺問題時，要注意分類討論，重要是分直角三角形、銳角三角形、

鈍角三角形。

142、勾股定理:直角三角形中，兩直角邊口勺平方和等于斜邊的平方。勾股定理口勺逆定理：若

一種三角形中有兩邊的平方和等于第三邊的平方,則這個三角形是直角三角形。

143、己知直角三角形的兩邊長，規定第三邊時，有兩種狀況:第三邊是斜邊或已知兩邊中較

大邊為斜邊。對于含特殊角日勺三角形，一般作高構造直角三

角形,然后運用勾股定理和三角形函數解答。/1\

BDC

144、射影定理，如圖：AQ2=B/>C。；AB?=BDBC；

AC2=CDBC

145、在平面內，將一種圖形沿某個方向移動一定H勺距離，這樣H勺圖形運動稱為平移。平移不

變化圖形的形狀和大小。通過平移，對應線段、雙應角分別相等；對應點所連的線段平

行且相等。確定一種圖形平移后的位置，除需懂得本來的位置外，關鍵條件是平移的方

向和平移的距離。

146、在平面內，將一種圖形繞一種定點沿某個方向轉動一種角度，這樣日勺圖形運動稱為旋轉,

這個定點叫做旋轉中心，轉動H勺角度叫做旋轉角。旋轉的性質：旋轉后的圖形與原圖形

日勺大小和形狀不變化；旋轉前后兩個圖形的對應點到旋轉中心的距離相等;對應點到旋

轉中心日勺連線所成的角彼此相等，都等于旋轉角。作簡樸的平面圖形繞定點旋轉一定角

度后的圖形