高三10月數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由對數函數的性質求出集合B，再集合交集的概念求解可得答案.【詳解】由題意得，又因為，所以，所以，故選：C.2.將函數圖象先向左平移個單位，再將所得圖象上所有點的縱坐標保持不變，橫坐標變為原來的，得到函數的圖象，則（）A. B.1 C. D.－1【答案】A【解析】【分析】根據題意，先求出y=gx的表達式，再求的值.【詳解】函數的圖象先向左平移個單位得到，將圖象上所有點的縱坐標保持不變，橫坐標變為原來的，得到函數，所以，故選：A.3.已知函數，則對任意實數x，有（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】計算后與比較可得．【詳解】，則，即，故選：A．4.“”是“函數的值域為”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】若函數的值域為，則函數與軸有交點，列出不等式求解出的范圍，結合充分條件與必要條件的性質即可得解．【詳解】若函數的值域為，則函數與軸有交點，所以，則或，“”是或的既不充分也不必要條件，故選：D．5.已知，都是銳角，，，求（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用同角三角函數之間的關系可求得，，再利用兩角差的余弦公式可得結果.【詳解】由，以及，都是銳角可得，；所以.故選：A6.沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細沙全部在上部容器中，細沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時間稱為該沙漏的一個沙時.如圖，某沙漏由上下兩個圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為，細沙全部在上部，其高度為圓錐高度的（細管長度忽略不計）.假設該沙漏每秒鐘漏下的沙，則該沙漏的一個沙時大約是（）A.1895秒 B.1896秒 C.1985秒 D.2528秒【答案】C【解析】【分析】由圓錐的體積公式計算細沙體積和沙堆體積，根據細沙體積不變即可求解．【詳解】沙漏中的細沙對應的圓錐底面半徑為，高為，所以細沙體積為所以該沙漏的一個沙時為秒，故選：C7.在三個地區暴發了流感，這三個地區分別有的人患了流感．假設這三個地區的人口數的比為，現從這三個地區中任意選取一人，則這個人患流感的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】考慮患流感的這個人可能來至于哪個地區，結合互斥事件的概率計算可得答案.【詳解】由題意得，從這三個地區中任意選取一人，則這個人可能來至于三個地區中患流感的人當中，故這個人患流感概率為，故選：D8.已知，若，，，則a，b，c的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先證明此函數為偶函數，再利用其導函數得到其單調性，利用其是偶函數得到，，通過指數函數單調性得，再根據冪函數性質證明出，同取對數得到，則有，再利用單調性即可得到大小關系.【詳解】因為，定義域關于原點對稱，，所以為上的偶函數，當時,，設，則，，，所以即在上單調遞減,所以,所以在上單調遞減,又因為為偶函數,所以在上單調遞增，又因為,,又因為,因為,，所以,所以，即,所以,所以,即.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：本題首先證明函數的奇偶性與單調性，對于其單調性的求解需要二次求導，其次就是利用函數的奇偶性對進行一定的變形得，,然后就是比較的大小關系，需要結合指數函數的單調性以及冪函數的單調性進行合理放縮，對于這種較為接近的數字比較大小問題，通常需要利用函數的單調性以及尋找合適的中間量放縮.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.一組數據：x1，x2，…，x10是公差為－2的等差數列，去掉首末兩項x1，x10后得到一組新數據，則（）A.兩組數據的極差相同 B.兩組數據的中位數相同C.兩組數據的平均數相同 D.兩組數據的標準差相同【答案】BC【解析】【分析】根據平均數的概念結合等差數列的性質判斷C，由中位數的概念可判斷B，由方差及等差數列的通項公式計算即可判斷D，根據極差及等差數列的通項公式可判斷A．【詳解】對于C，原數據的平均數為，去掉，后平均數為，則C正確；對于B，原數據的中位數為，去掉，后的中位數仍為，即中位數沒變，則B正確；對于A，原數據的極差為，去掉，后的極差為，即極差變小，則A錯誤；對于D，設公差為d，則原數據的方差為，去掉，后的方差為，即方差變小．標準差也變小，則D錯誤.故選：BC10.已知函數，下列說法正確的是（）A.的最小正周期為B.點為圖象的一個對稱中心C.若在上有兩個實數根，則D.若的導函數為，則函數的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】對于A，直接由周期公式即可判斷；對于B，直接代入檢驗即可；對于C，畫出圖形，通過數形結合即可判斷；對于D，求得后結合輔助角公式即可得解.【詳解】由題意可得，故A正確；，所以不是圖象的一個對稱中心，故B錯誤；令，由得，根據題意可轉化為直線與曲線，有兩個交點，數形結合可得，故C正確；設f′x為則，其中，當且僅當，即當且僅當時等號成立，故D正確，故選：ACD．11.在正方體中，，點P滿足，其中，則下列結論正確的是（）A.當平面時，不可能垂直B.若與平面所成角為，則點P的軌跡長度為C.當時，正方體經過點、P、C的截面面積的取值范圍為[，]D.當時，的最小值為【答案】BD【解析】【分析】對A，作出如圖空間直角坐標系，由向量法結合向量垂直判斷即可；對B，由幾何關系得出與平面所成線面角，可得，則點P的軌跡是以為圓心，以1為半徑的個圓；對C，由得點P在上，利用幾何關系可得的面積最值在端點及中點位置；對D，將平面與平面沿展成平面圖形，線段即為的最小值，利用余弦定理即可求.【詳解】對A，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，所以，，則，，設平面的一個法向量為，所以，令，則，即平面的一個法向量為，若平面，則，即，由，則，即P為中點時，有平面，且，A錯；對B，因為平面，連接，則即為與平面所成角，若與平面所成角為，則，所以，即點P的軌跡是以為圓心，以1為半徑的個圓，于是點P的軌跡長度為，B對；對C，因為，所以點P一定在上，又因為當或1時，的面積取最大值，此時截面面積為，設的中點為H，由圖形的變化可得當點P在DH和運動時，所得截面對稱相同，于是當時，的面積取最小值，此時截面面積為，C錯；對D，如圖，將平面與平面沿展成平面圖形，線段即為的最小值，利用余弦定理可知，所以，D對.故選：BD【點睛】（1）容易建系的幾何體一般可通過建系快速解決長度、角度等問題.本題A中，通過線面平行得線與該面的法向量垂直，即可得參數間的關系，即可進一步討論線線垂直的問題；（2）B中軌跡問題，關鍵結合正方體的線面垂直性質得出線面角，即可得出所求軌跡為圓弧；（3）C中截面問題，關鍵結合正方體的對稱性，轉化為三角形面積的和，再進一步轉換成討論高的范圍問題；（4）D中求不同表面線段和問題，一般展開成平面討論.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設是一個隨機試驗中的兩個事件，若，則______．【答案】【解析】【分析】運用條件概率和并事件的概率公式即可解決.【詳解】，將代入可以求得，，將，代入，求得故答案為：.13.高斯是德國著名的數學家，是近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數”為：設，用表示不超過的最大整數，則稱為高斯函數.例如：，若函數，則函數的值域為___________.【答案】【解析】【分析】分離常數，求出函數的值域，再根據高斯函數的定義即可得出答案.【詳解】解：，則，即，當時，；當時，；當時，；當時，，綜上，函數的值域為.故答案為：.14.已知函數，若，，且，則的最小值是______【答案】8【解析】【分析】由函數奇偶性的定義可知為奇函數，根據單調性可知，然后結合基本不等式即可求解.【詳解】函數的定義域為，且，所以為奇函數，又，所以函數單調遞增，又，所以，所以，即，所以，當且僅當，即，，等號成立，所以的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共60分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.設三角形的內角、、的對邊分別為、、且．（1）求角的大小；（2）若，邊上的高為，求三角形的周長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用內角和為化簡，利用二倍角公式化簡，再利用輔助角公式化簡即可求得；（2）由面積公式和余弦定理，聯立方程組求解三角形即可.【小問1詳解】因為，，為內角，所以，因為，所以可化為：，即，即，因為，解得：，即．【小問2詳解】由三角形面積公式得，代入得：，所以，由余弦定理得：，解得：或舍去，即，所以的周長為.16.如圖，一個質點在隨機外力作用下，從原點O處出發，每次等可能地向左或者向右移動一個單位.（1）求質點移動5次后移動到1的位置的概率；（2）設移動5次中向右移動的次數為X，求X的分布列和期望.【答案】（1）（2）分布列見解析；【解析】【分析】（1）根據題意，質點向左或向右移動的概率均為，且是等可能的，要使得質點移動5次后移動到1的位置，只需質點向右移動3次，向左移動2次，結合獨立重復試驗的概率計算公式，即可求解；（2）根據題意，得到隨機變量可能取值為，結合獨立重復試驗的概率公式，求得相應的概率，列出分布列，結合期望的公式，即可求解.【小問1詳解】由題意，從原點O處出發，每次等可能地向左或者向右移動一個單位，可得質點向左或向右移動的概率均為，且是等可能的，要使得質點移動5次后移動到1的位置，則質點向右移動3次，向左移動2次，所以概率為.【小問2詳解】由題意知，質點向左或向右移動的概率均為，且是等可能的，移動5次中向右移動的次數為，可得隨機變量可能取值為，可得，，，，，，所以變量的分布列為012345則期望為.17.設函數.（1）求函數的最小正周期；（2）求函數在上的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題意結合三角恒等變換可得，再由三角函數最小正周期公式即可得解；（2）由三角恒等變換可得，再由三角函數的圖象與性質即可得解.【詳解】（1）由輔助角公式得，則，所以該函數的最小正周期;（2）由題意，，由可得，所以當即時，函數取最大值.18.如圖，直角梯形中，，，，，等腰直角三角形中，，且平面平面，平面與平面交于.（1）求證：；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由已知利用線面平行的判定定理得平面，進而由線面平行的性質定理即可證明結論；（2）取中點，連接，，，由等邊三角形的性質得，又由面面垂直的性質定理可得平面，可得三線兩兩垂直，建立以為原點的空間直角坐標系，利用向量方法可得答案.【小問1詳解】因為，平面，平面，所以平面，又因為平面與平面交于，平面，所以；【小問2詳解】取中點，連接，，，因為，，所以是等邊三角形，由三線合一得：，又因為是等腰直角三角形，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，故三線兩兩垂直，如圖以為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，則，因為且由（1）知，所以四邊形為平行四邊形，可得，所以，設平面的一個法向量為，則，取，則，又平面的一個法向量可取，所以，設二面角的大小為，由題意為銳角，所以，所以二面角的余弦值為.19.已知函數.（1）若不等式在上恒成立，求實數a的取值范圍；（2）證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導，結合導函數特征，分與兩種情況，結合，得到實數a的取值范圍；（2）在第一問的基礎上，取，得到在上恒成立，令，則，從而，再用裂項相消法求和，不等式