計數原理第1講分類加法計數原理與分步乘法計數原理【考點分析】考點一：分類加法計數原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝種不同的方法．考點二：分步乘法計數原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝種不同的方法．考點三：兩個計數原理的區別和聯系分類加法計數原理分步乘法計數原理聯系回答的都是關于完成一件事情的不同方法的種數的問題區別一針對的是“分類”問題針對的是“分布”問題區別二各種方法相互“獨立”各個步驟中的方法互相“依存”區別三任何一種方法都可以做完這件事只有各個步驟都完成才算做完這件事考點四：分類加法計數原理的推廣完成一件事有n類不同的方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，……，在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝種不同的方法．考點五：分步乘法計數原理的推廣完成一件事需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝種不同的方法．【題型目錄】題型一：分類加法計數原理題型二:分步乘法計數原理題型三:兩個原理的綜合應用【典型例題】題型一：分類加法計數原理【例1】現有5幅不同的油畫，2幅不同的國畫，7幅不同的水彩畫，從這些畫中選一幅布置房間，則不同的選法共有（

）A．7種 B．9種 C．14種 D．70種【例2】我們把各位數字之和為6的四位數稱為“六合數”（如2130是“六合數”），則其中首位為2的“六合數”共有（

）．A．18個 B．15個 C．12個 D．9個【例3】某校高二年級舉行健康杯籃球賽，共20個班級，其中1、3、4班組成聯盟隊，2、5、6班組成聯盟隊，一共有16支籃球隊伍，先分成4個小組進行循環賽，決出8強（每隊與本組其他隊賽一場），即每個組取前兩名（按獲勝場次排名，如果獲勝場次相同的就按凈勝分排名）；然后晉級的8支隊伍按照確定的程序進行淘汰賽，淘汰賽第一輪先決出4強，晉級的4支隊伍要決出冠亞軍和第三、四名，同時后面的4支隊伍要決出第五至八名，則總共要進行籃球賽的場次為（

）A．32 B．34 C．36 D．38【例4】若、，，，且，則平面上的點共有（

）．A．21個 B．20個 C．28個 D．30個【例5】某日，甲、乙、丙三個單位被系統隨機預約到A，B，C三家醫院接種疫苗且每個單位只能被隨機預約到一家醫院，每家醫院每日至多接待兩個單位．已知A醫院接種的是只需要打一針的腺病毒載體疫苗，B醫院接種的是需要打兩針的滅活疫苗，C醫院接種的是需要打三針的重組蛋白疫苗，則甲單位不接種需要打三針的重組蛋白疫苗的預約方案種數為（

）A．27 B．24 C．18 D．16【例6】如圖，將鋼琴上的12個鍵依次記為設．若且，則稱為原位大三和弦；若且，則稱為原位小三和弦．用這12個鍵可以構成的原位大三和弦與原位小三和弦的個數之和為__________．【題型專練】1．為了方便廣大市民接種新冠疫苗，提高新冠疫苗接種率，某區衛健委在城區設立了11個接種點，在鄉鎮設立了19個接種點．某市民為了在同一接種點順利完成新冠疫苗接種，則不同接種點的選法共有（

）A．11種 B．19種 C．30種 D．209種2．從甲地出發前往乙地，一天中有4趟汽車、3趟火車和1趟航班可供選擇．某人某天要從甲地出發，去乙地旅游，則所有不同走法的種數是（

）A．16 B．15 C．12 D．83．某高中為高一學生提供四門課外選修課：數學史?物理模型化思維?英語經典閱讀?《紅樓夢》人物角色分析.要求每個學生選且只能選一門課程.若甲只選英語經典閱讀，乙只選數學史或物理模型化思維，學生丙?丁任意選，這四名學生選擇后，恰好選了其中三門課程，則他們選課方式的可能情況有___________種.4．書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書.從書架上任取1本書，不同的取法有__________種.5.從數字1，2，3，4中取出3個數字（允許重復），組成三位數，各位數字之和等于6，則這樣的三位數的個數為（

）A．7 B．9 C．10 D．136．已知集合，，從A中取一個數作為十位數字，從B中取一個數作為個位數字，能組成______個不同的兩位數，能組成______個十位數字小于個位數字的兩位數．應用分類加法計數原理的關鍵：用分類加法計數原理計數，關鍵在于根據問題的特點確定一個適合它的分類標準在這個分類標準下，完成這件事的任何一種方法只屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的．題型二:分步乘法計數原理【例1】僅有甲、乙、丙三人參加四項比賽，所有比賽均無并列名次，則不同的奪冠情況共有（

）種.A． B． C． D．【例2】洛書，古稱龜書，是陰陽五行術數之源，在古代傳說中有神龜出于洛水，其甲殼上有此圖象，如圖，結構是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數，四隅黑點為陰數（圖中白圈為陽數，黑點為陰數）.現利用陰數和陽數構成一個四位數，規則如下：（從左往右數）第一位數是陽數，第二位數是陰數，第三位數和第四位數一陰一陽和為7，則這樣的四位數的個數有（

）A．120 B．90 C．48 D．12【例3】某學校舉行校慶文藝晚會，已知節目單中共有七個節目，為了活躍現場氣氛，主辦方特地邀請了三位老校友演唱經典歌曲，并要將這三個不同節目添入節目單，而不改變原來的節目順序，則不同的安排方式有________種．【例4】如圖所示，用3種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C中，要求相鄰的矩形不能使用同一種顏色，則不同的涂法數為________.【例5】乘積式展開后的項數是___________.【例6】從0，1，2，3這四個數中選三個不同的數作為函數的系數，可組成不同的一次函數共有____________個，不同的二次函數共有____________個．（用數字作答）【例7】正整數2160的不同正因數的個數為（

）．A．20 B．28 C．40 D．50【題型專練】1．五名高中生報考三所高等院校，每人報且只報一所，不同的報名方法有______種．2．（1）將4封信投入3個信箱中，共有_______種不同的投法；（2）某外語組有9人，每人至少會英語和日語中的一門，其中7人會英語，3人會日語，從中選出會英語和日語的各一人，有_________種不同的選法．3.如圖所示，用不同的五種顏色分別為A，B，C，D，E五部分著色，相鄰部分不能用同一種顏色，但同一種顏色可以反復使用，也可不使用，則復合這些要求的不同著色的方法共有（

）ABCDEA．500種 B．520種 C．540種 D．560種4．為了豐富學生的課余生活，某學校開設了籃球、書法、美術、吉他、舞蹈、擊劍共六門活動課程，甲、乙、丙3名同學從中各自任選一門活動課程參加，則這3名學生所選活動課程不全相同的選法有（

）A．120種 B．150種 C．210種 D．216種5．某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分，如圖所示．現要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，則不同的栽種方法有（

）．A．80種 B．120種 C．160種 D．240種6．核糖核酸RNA是存在于生物細胞以及部分病毒、類病毒中的遺傳信息載體．參與形成RNA的堿基有4種，分別用A，C，G，U表示．在一個RNA分子中，各種堿基能夠以任意次序出現，假設某一RNA分子由100個堿基組成，則不同的RNA分子的種數為（

）A． B． C． D．7．用0，1，2，3，4，5，6七個數共可以組成______個沒有重復數字的三位數.8．電視臺連續播放6個廣告，其中含4個不同的商業廣告和2個不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則共有種不同的播放方式___________.（結果用數值表示）9．從，0，1，2這四個數中選三個不同的數作為函數的系數，可組成不同的二次函數共有____________個，其中不同的偶函數共有____________個．（用數字作答）題型三:兩個原理的綜合應用【例1】用4種不同顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，不同的涂色方法共有（

）A．24種 B．36種 C．48種 D．72種【例2】某學校為落實“雙減政策，在每天放學后開設拓展課程供學生自愿選擇，開學第一周的安排如下表.小明同學要在這一周內選擇編程、書法、足球三門課，不同的選課方案共有（

）周一周二周三周四周五演講、繪畫、舞蹈、足球編程、繪畫、舞蹈、足球編程、書法、舞蹈、足球書法、演講、舞蹈、足球書法、演講、舞蹈、足球注：每位同學每天最多選一門課，每門課一周內最多選一次.A．15種 B．10種 C．8種 D．5種【例3】回文聯是我國對聯中的一種，它是用回文形式寫成的對聯，既可順讀，也可倒讀，不僅意思不變，而且頗具趣味．相傳，清代北京城里有一家飯館叫“天然居”，曾有一副有名的回文聯：“客上天然居，居然天上客；人過大佛寺，寺佛大過人．”在數學中也有這樣一類順讀與倒讀都是同一個數的正整數，被稱為“回文數”，如22，575，1661等．那么用數字1，2，3，4，5可以組成4位“回文數”的個數為（

）A．25 B．20 C．30 D．36【例4】用0，1，2，3，4這5個數字，可以組成多少個滿足下列條件的沒有重復數字五位數？(1)偶數：(2)左起第二?四位是奇數的偶數；(3)比21034大的偶數.【題型專練】1．某學校舉行秋季運動會，酷愛運動的小明同學準備在某七個比賽項目中，選擇參加其中四個項目的比賽.根據賽程安排，在這七個比賽項目中，100米賽跑與200米賽跑不能同時參加，且跳高與跳遠也不能同時參加.則不同的報名方法數為___________.（用數字作答）2．由0、1、2、3、4、5這6個數字可以組成______個沒有重復數字的三位偶數.3．（1）用1、2、3、4、5可以組成多少個四位數？（2）用0，1，2，3