第二十四章正弦定理和余弦定理思維導(dǎo)圖知識要點(diǎn)知識要點(diǎn)1．正弦定理和余弦定理在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.

正弦定理余弦定理內(nèi)容(R為△ABC外接圓半徑)a2＝b2＋c2－2bccosAb2＝a2＋c2－2accosBc2＝a2＋b2－2abcosC常見變形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝

，sinB＝

，sinC＝

；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC

解決的問題(1)已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角

(1)已知三邊，求三個(gè)角；(2)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角

2.三角形中的常見結(jié)論(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)在三角形中大邊對大角，大角對大邊：∠A>∠B?a>b?sinA>sinB.(3)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．(4)△ABC的面積公式：①S＝a·h(h表示a邊上的高)；②S＝absinC＝acsinB＝bcsinA.典例解析典例解析【例1】辨析感悟：對正弦、余弦定理的理解及應(yīng)用．(1)在△ABC中，sinA＞sinB的充分不必要條件是∠A＞∠B.()(2)在△ABC中，若sinAsinB＜cosAcosB，則此三角形是鈍角三角形．()(3)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，則此三角形是銳角三角形．【變式訓(xùn)練1】在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，判定△ABC的形狀．【例2】在△ABC中，∠A＝60°，求a＝，b＝，求∠B.【變式訓(xùn)練2】在△ABC中，若，則△ABC是三角形．【例3】在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，求cosA.【變式訓(xùn)練3】在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊邊長分別是a，b，c若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，則∠A等于()A．30°B．60°C．120°D．150°【例4】在△ABC中，已知a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.(1)求角A的大小；(2)若sinB＋sinC＝，試判斷△ABC的形狀．【變式訓(xùn)練4】在△ABC中，已知a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，且a＝c＋bcosC.(1)求角B的大小；(2)若S△ABC＝，b＝，求a＋c的值．【例5】△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.求角B.【變式訓(xùn)練5】在△ABC中，若＝，則∠B的值為()A．30°B．45°C．60°D．90°高考鏈接高考鏈接1．在△ABC中，a∶b∶c＝2∶3∶4，則sinA∶sinB∶sinC＝.2．(四川省2015年對口升學(xué)考試試題)已知△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a＝5，c＝，∠A＝.求：(1)sinC的值；(2)5sin2C＋sin.3.(四川省2017年對口升學(xué)考試試題)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a＝c·sinA.(1)求sinC的值；(2)若a＝5，b＝3，求c的長．4．(四川省2019年對口升學(xué)考試試題)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＝2，tanC＝－2，△ABC的面積為2.求：(1)邊b的長；(2)cosB的值．同步精練同步精練選擇題1．在△ABC中，若∠B＝120°，AB＝5，BC＝7，則△ABC的面積S為()A.B.C.D.2．在△ABC中，已知∠A＝60°，AB＝2，且△ABC的面積為，則BC的長為()A.B.C．2D．23．△ABC的對邊分別為a，b，c，若b＝2，c＝3，∠A＝30°，則△ABC的面積為()A.B.C.D.4．△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若∠B＝2∠A，a＝1，b＝，則c等于()A．2B．2C.D．15．在△ABC中，已知∠A＝15°，AB＝3，∠B＝135°，則AC＝()A．B．－C.D．－6．在△ABC中，acosA＝bcosB，則△ABC是()A．等腰三角形B．等邊三角形C．直角三角形D．等腰或直角三角形7．在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，則∠C等于()A．30°B．45°C．60°D．120°填空題8．在△ABC中，a∶b∶c＝2∶3∶4，則三角形為________三角形(填“銳角”“直角”或“鈍角”)．9．在△ABC中，“∠A>∠B”是“sinA>sinB”的．10．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠A＝60°，則cosB＝________.解答題11．在△