3.2.1雙曲線及其標準方程1.結合實際情景熟悉雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程的推導過程.(重點)2.掌握雙曲線的標準方程及其求法，并與橢圓的標準方程進行比較，并加以區分.(難點)3.會利用雙曲線的定義和標準方程解決簡單實際問題.(難點)

雙曲線是我們在平時生活中經常見到的圖形，這節課我們來研究雙曲線.我們知道,平面內與兩個定點F1,F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡是橢圓.一個自然的問題是:平面內與兩個定點的距離的差等于常數的點的軌跡是什么？下面我們借助信息技術進行探究.探究：如圖，在直線l上取兩個定點A，B，P是直線l上的動點，在平面內,取定點F1,F2，以點F1為圓心、線段PA為半徑作圓，再以F2為圓心、線段PB為半徑作圓.F1.F2..

探究：如圖，在直線l上取兩個定點A，B，P是直線l上的動點，在平面內,取定點F1,F2，以點F1為圓心、線段PA為半徑作圓，再以F2為圓心、線段PB為半徑作圓..情景1:當點

P在線段AB上運動時

F1F2..

探究：如圖，在直線l上取兩個定點A，B，P是直線l上的動點，在平面內,取定點F1,F2，以點F1為圓心、線段PA為半徑作圓，再以F2為圓心、線段PB為半徑作圓..情景2：當點P在線段AB外運動時F1F2..

雙曲線

類比思想橢圓雙曲線兩定點、兩定點、||MF1|-|MF2||=常數|MF1|+|MF2|=常數平面內到兩個定點F1、F2的距離之和等于常數（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓。平面內與兩個定點F1,F2的距離的差的絕對值等于非零常數（小于|F1F2|）的點的軌跡叫做雙曲線．概念生成雙曲線定義我們把平面內與兩個定點F1,F2的距離的差的絕對值等于非零常數（小于|F1F2|）的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．一般用2a表示一般用2c表示2FF1M符號表述：

F1F2MF1F2M2.若2a=2c,即||MF1|-|MF2||=|F1F2|，則軌跡是什么？3.若2a>2c,即||MF1|-|MF2||>|F1F2|，則軌跡是什么？4.若2a=0,即|MF1|=|MF2|，則軌跡是什么？此時軌跡為以F1或F2為端點的兩條射線此時軌跡不存在此時軌跡為線段F1F2的垂直平分線F1F2MF1F2M概念辨析：定義中有哪些關鍵詞？小試牛刀1.已知兩定點F1(－5,0)，F2(5,0)，動點P滿足|PF1|－|PF2|＝2a，則當a＝3時，P點的軌跡為(

)A．雙曲線B．一條射線C．雙曲線的一支D．軌跡不存在[變式1]當a＝5時，P點的軌跡為？[變式2]動點P滿足||PF1|－|PF2||＝2a，則當a＝3或5時，P點的軌跡為？當a＝3時，是雙曲線；當a=5時，是以F1或F2為端點的兩條射線以F2為端點的一條射線探究

類比求橢圓標準方程的過程，如何建立適當的坐標系，得出雙曲線的方程？

設M(x,y)

是雙曲線上任意一點

雙曲線的焦距為2c（c>0)，則有F1(-c,0)

,F2(c,0).

F1F2MxyO我們取經過兩焦點F1和F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系

(如圖).由雙曲線的定義，雙曲線就是下列點的集合：①建系②設點建系設點限式代入化簡③限式(1)④代入⑤化簡將方程(1)左邊的一個根式移到右邊，得(2)對方程(2)兩邊平方，得整理，得(3)對方程(3)兩邊平方，得對方程(3)兩邊平方，得整理，得兩邊同時除于

，得由雙曲線的定義知，即所以類比橢圓標準方程的建立，令其中，代入上式，得

我們把上述方程叫做雙曲線的標準方程，它表示焦點在x軸上，焦點坐標分別是F1(-c,0),F2(c,0)的雙曲線，這里c2=a2+b2.這個方程也是雙曲線的標準方程，它表示焦點在y軸上，焦點坐標分別是F1(0,-c),F2(0,c)的雙曲線，這里c2=a2+b2.

類比橢圓，請思考焦點在y軸上的雙曲線的標準方程是什么？思考小試牛刀2.下列哪些方程是雙曲線的方程？雙曲線標準方程的特征相同點不同點方程等號左邊是平方差的形式，右邊是1；②a>0,b>0，但a,b大小不定；③c2=a2+b2,

其中c最大；

如果x2的系數是正的，則焦點在x軸上；如果y2的系數是正的，則焦點在y軸上.化為標準方程，焦點跟著正項走歸納總結定義焦點位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖像方程焦點坐標焦點位置判斷a,b,c的關系a>0,b>0,c2=a2+b2

a,b,c中c最大||MF1|－|MF2||=2a(2a<2c)F1(－c,0),F2(c,0)F1(0,－c),F2(0,c)化為標準方程，焦點跟著正項走雙曲線知識歸納例1.已知雙曲線的焦點為F1(-5,0),F2(5,0)，雙曲線上一點到焦點的距離差的絕對值等于6，求雙曲線的標準方程.解：因為雙曲線的交點在x軸上，所以設它的標準方程為所以雙曲線的標準方程為例題講解變式訓練3.求焦點為(0,-6),(0,6)，且經過點(2,-5)的雙曲線的標準方程。解（待定系數法）:∵焦點在y軸上，故可設雙曲線的標準方程為是否還有其他方法求雙曲線標準方程的步驟和方法(1)步驟：①定位：是指確定與坐標系的相對位置，在標準方程的前提下，確定焦點位于哪條坐標軸上，以確定方程的形式.②定量：是指確定

的數值，常由條件列方程組求解.(2)方法：①定義法：根據雙曲線的定義得到相應的

，再寫出雙曲線的標準方程.②待定系數法：先設出雙曲線的標準方程

或者

然后根據條件求出待定的系數代入方程即可.歸納總結

l分析：因為在A處聽到爆炸聲的時間比在B處晚2s，所以在A處與爆炸點的距離比在B處遠680m<800m.因此爆炸點應位于以A，B為焦點且靠近B點的雙曲線的一支上.解如圖，建立平面直角坐標系Oxy，使A，B在x軸上，并且原點O與線段AB的中點重合，設炮彈爆炸點P的坐標為（x，y），則

例題講解利用定義法求軌跡方程的一般步驟1.建立直角坐標系，結合圖形確定動點滿足的幾何條件.2.依據幾何條件和曲線方程的定義確定軌跡的形狀.3.確定曲線方程中的參數并直接寫出方程.4.驗證所求方程（檢查是否有要去掉的點）.歸納總結變式訓練

橢圓雙曲線定義方程焦點在x軸上焦點在y軸上焦點a,b,c的關系F1(－c,0),F2(c,0)a>0,b>0,c2=a2+b2

a,b,c中c最大a>b>0,