PAGE299PAGE34第九章微分方程習題9.11.指出下列微分方程的階數，并指出哪些方程是線性微分方程：(1)(2)(3)(4)解:方程（1）是二階非線性微分方程。方程（2）是三階線性微分方程。方程（3）是二階線性微分方程。方程（4）是一階非線性微分方程。2.檢驗下列各題中的函數是否為所給微分方程的解：(1)(2)(3)(4)解：（1），則有，即滿足方程，所以是方程的解。（2），，，則有，既滿足方程，所以是方程的解。（3）,，，則即函數不滿足方程，所以，不是方程的解。（4），，即函數滿足方程，所以函數是方程的解。3.設曲線在點處的切線的斜率為，試建立該曲線所滿足的微分方程。解：設該曲線的方程為，則曲線在點處的切線的斜率為，由題意該曲線所滿足的微分方程為用微分方程表示一物理命題：某種氣體的氣壓對于溫度的變化率與氣壓成正比,與溫度的平方成反比。解：習題9.21.求下列微分方程的通解：(1)(2)(3)解：（1）該方程是可分離變量的方程，分離變量有方程兩邊積分有，有，該方程的通解為（2）該方程是可分離變量的方程，分離變量有方程兩邊積分有，有，該方程的通解為（3）該方程是可分離變量的方程，分離變量有方程兩邊積分有，有，該方程的通解為2.求下列微分方程的特解：(1)(2)解：(1)該方程是可分離變量的方程，分離變量有方程兩邊積分有，有，該方程的通解為,又,代入通解中有,得,所以,該方程的特解為(2)該方程是可分離變量的方程，分離變量有方程兩邊積分有，有該方程的通解為,又,代入通解中有,得,所以,該方程的特解為.3.設曲線過點,且它任意一點的切線的斜率等于橫坐標的兩倍,求這曲線的方程。解:設該曲線的方程為，則曲線在點處的切線的斜率為，由題意該曲線所滿足的微分方程為由,方程兩邊取不不定積分,存在常數C,使得,再由,得,所以,所求曲線方程為4.求下列微分方程的通解或特解：(1)(2)(3)(4)解:（1）該方程變形為這是齊次方程，令，則，則原方程變為即為分離變量得，兩邊積分有即，還原變量得，原方程的通解為（2）該方程變形為這是齊次方程，令，則，則原方程變為即為，兩邊積分有即，還原變量得原方程的通解為（3）該方程變形為這是齊次方程，令，則，則原方程變為即，兩邊積分有即，還原變量得原方程的通解為，即（4）該方程變形為這是齊次方程，令，則，則原方程變為即為分離變量得兩邊積分有即，還原變量得原方程的通解為由，有，得，所求原方程的特解為5.求下列微分方程的通解：(1)(2)(3)(4)解：（1）該方程是一階線性微分方程，其中，由一階線性方程通解公式，有（2）該方程是一階線性微分方程，其中，由一階線性方程通解公式，有（3）該方程是一階線性微分方程，其中，由一階線性方程通解公式，有(4)該方程不是以為未知函數的一階線性方程，方程變形為，即，這是以為自變量，未知函數的一階線性方程，其中，它的通解為6.設有連接和的上凸曲線弧，是上任意一點，若曲線弧與直線所圍成的面積為，試求曲線弧的方程。解:設曲線方程為，由題意有，，對上述積分方程，兩邊求導得當時，有這是一階線性微分方程，所以有由，有，所以，所求曲線方程為求滿足方程的連續函數。解：對方程兩邊求導得，此方程為一階線性微分方程，它的通解為由，有，習題9.31.求下列微分方程的通解:(1)(2)(3)(4)（5）（6）解：（1）方程的特征方程為，特征根是方程的通解為（2）方程的特征方程為，特征根是方程的通解為(3)方程的特征方程為，特征根是方程的通解為（4）方程的特征方程為，特征根是方程的通解為（5）方程的特征方程為，特征根是方程的通解為（6）方程的特征方程為，特征根是方程的通解為2.求下列微分方程的特解:（1）（2）（3）（4）解：（1）先求方程的通解。方程的特征方程為，特征根是方程的通解為由初始條件，有，解得，所以方程的特解為（2）方程的特征方程為，特征根是方程的通解為由初始條件，有，解得，所以方程的特解為（3）方程的特征方程為，特征根是方程的通解為由初始條件，有，所以方程的特解為（4）方程的特征方程為，特征根是方程的通解為由初始條件，有，即，所以方程的特解為3.求下列微分方程的通解:(1)(2)(3)(4)（5）解：（1）先求對應的齊次方程的通解。特征方程是，特征根是齊次方程的通解為再求方程的一個特解。設該方程的特解為，代入方程后有再設，代入上式有比較兩邊冪的系數，有解得，所以，該方程一個特解，方程的通解為（2）先求對應的齊次方程的通解。特征方程是，特征根是齊次方程的通解為再求方程的一個特解。設該方程的特解為，代入方程后有再設，代入上式有比較兩邊冪的系數，有解得，所以，該方程一個特解，方程的通解為(3)先求對應的齊次方程的通解。特征方程是，特征根是齊次方程的通解為再求方程的一個特解。設該方程的特解為，代入方程后有則，特解為，方程通解為(4)先求對應的齊次方程的通解。特征方程是，特征根是齊次方程的通解為再求方程的一個特解。設該方程的特解為，代入方程后有解得，該方程的特解為，方程的通解為（5）先求對應的齊次方程的通解。特征方程是，特征根是對應齊次方程的通解為再求方程的一個特解。先求的特解，設它的特解為，代入方程后有設，代入得，所以，的特解為的虛部即是方程的特解，所以，原方程的通解為4.求下列微分方程的特解:（1）（2）(3)(4)解：（1）先求該方程對應的齊次方程的通解。特征方程是，特征根是齊次方程的通解為易知該方程的一個特解為，所以，方程的通解為由初始條件，有，解得，所以，所求特解為（2）特征方程是，特征根是對應齊次方程的通解為再求方程的一個特解。設它的特解為，代入方程后有則有，所以方程的通解為再由初始條件，有，既，所以，所求特解為(3)特征方程是，特征根是齊次方程的通解為再求方程的一個特解。設它的特解為，代入方程后有則有，所以，方程的通解為再由初始條件，有，則有，所以，所求特解為。(4)特征方程是，特征根是對應齊次方程的通解為再求方程的一個特解。先求的特解，設它的特解為，代入方程后有解得，所以的特解的虛部即是方程的特解，所以，原方程的通解為再由初始條件，有解得，所以，原方程的通解為習題9.41.確定下列方程的階：（1）(2)解：（1）因為，所以方程的階為3。（2）因為，所以方程的階為6。2.求下列一階差分方程的通解和滿足初值條件的特解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）解：（1）對應的齊次方程的通解為，為任意常數。設特解為，則，即。原差分方程通解為。(2)對應的齊次方程的通解為，為任意常數。設特解為，代入原方程比較系數得，解得原差分方程通解為。(3)原方程即為對應的齊次方程的通解為，為任意常數。做變量代換，代入原方程得消去，整理得設特解為，代入方程整理得，原差分方程特解。原差分方程通解為。（4）對應的齊次方程的通解為，為任意常數。做變量代換，代入原方程得消去，整理得設特解為，代入方程整理得比較系數，解得，即。原差分方程通解為。（5）原方程即為對應的齊次方程的通解為，為任意常數。設原方程的特解為設特解為，代入原方程比較系數得，解得原差分方程通解為。由初始條件，代入通解中，得，所求特解為（6）對應的齊次方程的通解為，為任意常數。設非齊次方程的特解為，代入原方程得消去，整理得則，代入方程有，即。得非齊次方程的特解為。又非齊次方程的特解為。原方程的一個特解為。原方程的通解為由初始條件，得，所求特解為（7）對應的齊次方程的通解為，為任意常數。原方程的一個特解為，代入原方程得整理得比較系數有解得，原方程的一個特解為，原方程的通解為由初始條件，得，所求特解為（8）先求解。對應的齊次方程的通解為，為任意常數。做變量代換，代入方程得消去，整理得設該方程的特解為，代入上式有，原方程的一個特解為，取其虛部得原方程的一個特解，原方程的通解為由初始條件，得，所求特解為3.設分別是下列差分方程的解，證明：是差分方程的解。證明：因為分別是下列差分方程的解，所以，，，。滿足差分方程，所以是該差分方程的解。習題9.51.在農業生產中，種植先于產出及產品出售一個適當的時期，時刻該產品的價格決定著生產者在下一時期愿意提供市場的產量，還決定著本期該產品的需求量，因此有（均為正的常數）假設每個時期中價格總是在市場售清的水平上，且當時，是初值價格，求（1）確定價格滿足的差分方程，并求解該差分方程。（2）分析價格隨時間變動的規律。解：（1）因為假設在每一個時期中價格總是確定在市場售清的水平上，即，因此可以得到即，于是，得到價格滿足的差分方程為該方程的通解為（為任意常數）將當時，初值條件代入上式得記（靜態均衡價格），于是，滿足初值價格時的解為（2）（i）若初值價格，則由上式通解知這是“靜態均衡”的情形。（ii）若，當時，即價格（振蕩）穩定地趨于均衡價格。當時，，即隨著時間延續，價格將無限增大。當時，在時，價格在兩個數值和上來回擺動。2.求的均衡解并分析其穩定性。解：差分方程的均衡解為方程的通解為。因為，所以差分方程的均衡解為不是穩定的。3.求的均衡解，并分析其穩定性。解：方程的均衡解為。的均衡解是穩定的充要條件是特征根均小于零，而該方程的特征根為，故的均衡解不是穩定的。綜合習題9設方程的一個特解為,試確定的值,并求該方程的解。解:因為是方程的一個特解，所以，滿足該方程。代入方程有則有，解得。原方程為對應的齊次方程為，特征方程是，特征根是，齊次方程的通解為原方程的通解為設連續函數滿足方程，求。解：（1）（1）式兩邊求導，得（2）（2）式兩邊求導，得再由（1）和（2）的函數滿足初值問題（3）方程（3）的特征根為，對應的齊次方程的通解為方程（3）的一個特解為，方程（3）的一個通解為由，代入上面式中，有，得，，所以，連續函數為3.證明：為方程的通解。（為任意常數）證明：，，，則即滿足方程，故是該方程的解，又是二階方程，含有兩個獨立常數，所以，它是方程的通解。設對任意,曲線上的點處的切線在軸上的截距等于,試求的一般表達式。解：曲線上的點處的切線為切線在軸上的截距為，由條件有方程兩邊同乘，有兩邊求導得滿足的方程為整理得，，已知函數的圖像在原點與曲線相切，并滿足方程求函數。解：方程兩邊求導有即函數滿足微分方程（1）由的圖像在原點與曲線相切，得（2）方程（1）的特征方程為，特征根是，對應的齊次方程的通解設方程（1）的特解為，代入方程（1）有設，則，代入上式得比較等式兩邊有，解得，所以方程（1）的通解為由（2）有，，解得，所以6．證明:設是二階線性非齊次方程的兩個任意解,則是對應的齊次方程的解。解：是二階線性非齊次方程的解，所以有（1）（2）（1）式（2）式有即有所以，是對應的齊次方程的解。7.設二階可導,且,過曲線上任意一點作該曲線的切線及到軸的垂線,上述兩直線與軸所圍成的三角形的面積為,區間上以曲邊的曲邊梯形的面積為,已知,求。解：曲線在點的切線方程切線與軸的交點為，由于,從而，于是又由條件知（1）上式兩邊求導，并化簡得令，則上式方程可化為